高三数学精选数列多选题测试题

高三数学精选数列多选题测试题
一、数列多选题
1．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若11a >，公比1q ≠，则下列命题正确的是（ ）
A ．若59T T =，则必有141T =
B ．若59T T =，则必有7T 是n T 中最大的项
C ．若67T T >，则必有78T T >
D ．若67T T >，则必有56T T >
【答案】ABC 【分析】
根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】
由等比数列{}n a 可知1
1n n a a q -=⋅，由等比数列{}n a 的前n 项积结合等差数列性质可知：
()
12
1
1212
11111
1
123n n n n n n n n a a q a q a q
a a T a a a q a q
--+++-=⋅⋅⋅==⋅=
对于A ，若59T T =，可得51093611a q a q =，即42611a q =，()
71491426
2
11141a q q T a ∴===，故
A 正确；
对于B ，若59T T =，可得4
26
1
1a q =，即132
1
1a q
=，又11a >，故1q <，又59T T =，可知
67891a a a a =，利用等比数列性质知78691a a a a ==，可知67891,1,1,1a a a a >><<，故7T 是n T 中最大的项，故B 正确；
对于C ，若67T T >，则61572111a q a q >，即611a q <，又10a >，则1q <，可得
768118
7
1T T a a q a q <=<=，故78T T >，故C 正确； 对于D ，若67T T >，则611a q <，566
5
1T a T a q ==，无法判断其与“1”的大小关系，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前n 项和公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于较难题.
2．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B ．若()21n
n a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”
C ．若(),2n r
a n r r n
*=+
∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知2
2021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则
54t -<≤-
【答案】BCD 【分析】
利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误. 【详解】
选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则
()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()
110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；
选项B 中，()()
()()()21212111n k
n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣
⎦-=⎣⎦⎣⎦
，
当n 是奇数时，()211k
n k n a a k +=---+，则存在1k
时，0n k n a a +->成立，即对任
意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211k
n k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在
2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；
选项C 中，
()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛
⎫⎛⎫++-+=+
=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦
=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02
k -<，故2
()f n n kn r =+-在n *∈N 时单
调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，
又k *∈N ，2k ≥，,2r r *
∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意
n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；
选项D 中，因为2
2021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则
()()()
2
222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦
++，即
20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，
故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使
2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使
0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.
3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >
B ．20210a <
C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅
D ．2019n =时，n T 取得最大值
【答案】ABC 【分析】
根据题设条件，得到2021202020212020201920200,0S S a S S a -=<-=>，进而求得
201920220a a >->，20192020a a >20212022a a ，再结合“裂项法”求得
12121112n n n T d a a a a ++⎫
⎛=
-⎪
⎝⎭
，结合0d <，即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，
20212019S S -=202120200a a +>，
即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->， 所以20192020a a >20212022a a ，0d <，即数列{}n a 递减， 且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <， 又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n b a a a ++==1
121112n n n n d a a a a +++⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则
122323341121211111111122n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a +++⎛⎫⎛=
-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪
⎝⎝⎭121n n a a ++⎫
⎪⎭
，由0d <，要使n T 取最大值，则12
1211n n a a a a ++⎛⎫
- ⎪⎝⎭取得最小值， 显然
12
1
0n n a a ++>，而23a a >34201920202021202220222023a a a a a a a a >⋅⋅⋅>><<⋅⋅⋅， 所以当2020n =时，12
1211n n a a a a ++⎛⎫
- ⎪⎝⎭取得最小值. 综上可得，正确的选项为ABC. 故选：ABC. 【点睛】
本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项n a 和n S 的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
4．已知数列{} n a 满足11a =，1
21++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()211
21n n
S n a -=-⋅ B ．212
n n S S =
C ．2311222
n n n S S ≥
-+ D ．212
n n S S ≥+
【答案】CD 【分析】
根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：
22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.
【详解】
因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，
所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()13
22122
⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122
S =+=，而 111
22S =，故错误；
C. 当1n =时， 213122
S =+
=，而 3113
2222-+=，成立，当2n ≥时，
211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以
11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)
n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n
-=+++++++，令()1111
...1232f n n n n n
=+++++++，因为
()11111
1()021*******
f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，
所以()()1
12
f n f ≥=，故正确； 故选：CD 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.
5．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，(
)*
n F n ∈N
为边BC 上的一列点，连接
n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N 满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅，其中数列
{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）
A ．313a =
B ．数列{}3n a +是等比数列
C ．43n a n =-
D ．1
22n n S n +=--
【答案】AB 【分析】
化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到
1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到
答案. 【详解】
()()
11
2232
n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅
+， 故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故
1230n n a a +--=，
即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故1
23n n a +=-.
432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；
1
23n n a +=-，C 错误；2124323412
n
n n S n n +-=-=---，故D 错误.
故选：AB . 【点睛】
本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.
6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ） A ．若2
1,n S n =-则{}n a 是等差数列
B ．若21,n
n S =-则{}n a 是等比数列
C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =
D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则2
21212n n n S S S -+⋅>
【答案】BC 【分析】
由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与2
2S 大小即可判断D. 【详解】
对于A 选项，若2
1n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A
错误；
对于B 选项，若21n
n S =-，则1
112,21,1
n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足
12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；
对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()
199995099992
a a S a +=
=，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，(
)()
2
2
2
2
2213211
1110S S S a q q
a q a q ⋅-=++-+=-<，故当
1n =时不等式不等式，故2
21212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.
故选：BC 【点睛】
本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，
13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2
,1
n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数
列，则()2121n n S n a -=-.
7．（多选题）已知函数()22()
()
n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则n
a 等于（ ）
A ．()21n -+
B ．21n -
C ．21n
D ．12n -
【答案】AC 【分析】
对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】
当n 为奇数时，()()()()2
2112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，
所以()()()2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩
当为奇数时当为偶数时. 故选：AC . 【点睛】
易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，
1n +为奇数.
8．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ） A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.
B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =
C ．若1
2
n
n S =3+
，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11
212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215
a ＝ 【答案】AB 【分析】
直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】
选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-+
+-+
20191822211=+++
++=
故A 正确.
选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，
所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.
则1123n n a -+=⨯，即1
231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.
选项C. 由12n
n S =3+
，可得当1n =时，11722
a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+
-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 显然2
213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误. 选项D. 由122n
n n a a a +=
+，可得
11112
n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，1
2为公差的等差数列.
所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826
a ==，即1518
a =，故D 错误. 故选：AB 【点睛】
关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得
()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列
()1311n n a a +=++，
1111
2
n n a a +-=解决问题，属于中档题.
二、平面向量多选题
9．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =
C ．若a b >，则1k <
D ．若a b a b +=-，则a b ⊥
【答案】AD 【分析】
先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式
4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据
a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.
【详解】
解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =
±，
故选项B 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得
11k -<<，故选项C 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以
a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.
10．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，
则（ ）
A ．12
AF AD AB =+ B ．1
()2
EF AD AB =
+ C ．2133
AG AD AB =
- D ．3BG GD =
【答案】AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33AG AD AB =
+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11
22
AF AD DF AD DC AD AB =+=+
=+，即A 正确 11
()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有
||||1
||||2
GF GE AG CG ==
∴
211121
()
333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C错误
同理
21212
()() 33333
BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-
211
()
333
DG DF DA AB DA
=+=+，即
1
()
3
GD AD AB
=-
∴2
BG GD
=，即D错误
故选：AB
【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系。