2021届山东师范大学附属中学高三11月学业水平测试数学试题(解析版)

2021届山东师范大学附属中学高三11月学业水平测试数学
试题
一、单选题
1．已知集合{}1,0,1,2A =-，集合{
}
1
124x B x -=∈≤≤R ，则A B =（）
A ．{}1,1-
B ．{}0,1,2
C ．{}1,2,3
D ．{}1,2
【答案】D
【分析】解不等式确定集合B ，然后由交集定义计算．
【详解】由1124x -≤≤，得012x ≤-≤，解得13x ≤≤，所以{|13}B x x =≤≤， 又{}1,0,1,2A =-，所以A B ={}1,2.
故选：D
2．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020
i 21i
a z =-
-是纯虚数“是“1a =”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先化简z ，求出a ，再判断即可.
【详解】复数()()22020222i 11i 11i 21i 21i 21i 1i 222
a a a a z +=-=-=-=-----+是纯虚数， 则21a =，1a =±，
1a =±是1a =的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰或直角三
角形 【答案】A
【分析】由条件和余弦定理可得222
2a c b a ac
c +-=⋅，然后化简可得答案.
【详解】因为cos c B a =，所以由余弦定理可得222
2a c b a ac c +-=⋅，即
22222a c b a +-=
所以222+c a b ，所以三角形的形状为直角三角形
故选：A
4．已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ=（） A ．45
-
B ．
35
C ．
35
D ．
45
【答案】D
【分析】由已知条件求得tan 2θ=，再利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得sin 2θ的值.
【详解】由题意可知，点()cos ,sin θθ在直线2y x =上，则sin 2cos θθ=，可得
tan 2θ=，
因此，222
2sin cos 2tan 4
sin 22sin cos sin cos tan 15
θθθθθθθθθ====++. 故选：D.
5．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”
边长的 4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为（） A ．9
1010a - B ．4
510a -
C ．4
510a
D ．9
1010a
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -
由题意可得：1
1011
10n
n n n a a a ---=⇔= 则数列{}n a 为首项为a ，公比为1
1010-的等比数列
即101
1
9
1010
101010
a a a ---
⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
则视力5.1的视标边长为9
1010a - 故选：A
【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.
6．向量a ，b 满足()
1,3a =，1=b ，3a b +=，则b 在a 方向上的投影为（） A ．-1 B ．1
2
-
C ．
12
D ．1
【答案】B
【分析】根据题条件，先求出a b ⋅，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足()
1,3a =，1=b ，3a b +=， 所以2
2
23a a b b
⋅=++，即4213a b ⋅=++，则1a b ⋅=-，
所以b 在a 方向上的投影为1
cos ,2
a b b a b a ⋅==
-. 故选：B.
7．已知函数())
lg
f x x =，若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
()1110f a -=-，()2020110f a -=，则2020S =（）
A ．1010-
B ．2020-
C ．2020
D ．1010
【答案】C
【分析】分析出函数())
lg
f x x =为R 上的奇函数且为增函数，由
()1110f a -=，()2020110f a -
=推导出120202a a +=，利用等差数列的求和公式可
求得2020S 的值.
【详解】对任意的x ∈R 0x
x x >+
≥，所以，函数()f x 的定义域为
R ，
()
))lg lg x
x
f x x
x
-===)
()lg
x f x ==
-=-，
所以，函数()f x 为奇函数， 当0x ≥时，由于内层函数u x =
为增函数，外层函数lg y u =也为增函数，
所以，函数()f x 在[)0,+∞上为增函数，
由于函数()f x 为奇函数，则该函数在(),0-∞上也为增函数， 因为函数()f x 在R 上连续，所以，函数()f x 在R 上为增函数，
因为()()()12020202011011f a f a f a -=-=--=-，1202011a a ∴-=-，可得
120202a a +=.
因此，()
120202020202020202
a a S +==.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查等差数列求和，利用函数()f x 在R 上的单调性与奇偶性推导出120202a a +=是求解的关键.
8．已知变量()()12,0,0x x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（e 2.71828=为自然对数的底数）（）
A ．e B
C ．
1e
D ．1
【答案】A
【分析】不等式两边同时取对数，然后构造函数()ln x
f x x
=，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论. 【详解】
21122112ln ln x x x x x x x x <⇒<，()12,0,,0x x m m ∈>，
12
12
ln ln x x x x ∴
<恒成立， 设函数()ln x
f x x
=
，12x x <，()()12f x f x <， ()f x ∴在()0,m 上为增函数，函数的导数()2
1ln x
f x x -'=，
()00f x x e '>⇒<<，即函数()f x 的增区间是()0,e ，
则m 的最大值为e . 故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数研究函数的单调性，本题的关键点是对已知等
式变形，21
1212211212ln ln ln ln x x
x x x x x x x x x x <⇒<⇒
<，转化为求函数()ln x
f x x
=的单调区间. 二、多选题
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（）
A ．设a ，b 为非零向量，则“a b ⊥”是“a b a b +=-”的充要条件
B ．设a ，b 为非零向量，若0a b ⋅>，则a ，b 的夹角为锐角
C ．设a ，b ，c 为非零向量，则()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD
【分析】利用向量数量积的运算可判断A ，利用数量积的定义可判断B ，利用数乘及数量积定义可判断C ，利用向量的线性运算可判断D.
【详解】对于A ，因为2
2
()()0a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅= 所以“a b ⊥”是“a b a b +=-”的充要条件，A 正确； 对于B ，若0a b ⋅>，则a ，b 的夹角为锐角或零角，B 错误；
对于C ，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()
a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，所以两者不一定相等，故C 错误；
对于D ，如图，设BC 的中点为D ，因为G 为ABC 的重心， 所以2AG GD GB GC ==+，即0GA GB GC ++=，D 正确. 故选：AD
10．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤ D ．当且仅当0n
S <时，26n ≥
【答案】AB
【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，
又10a >，
所以12130,0a a ><，
所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误；因为125251325()
2502
a a S a +=
=<，故
D 错误， 故选：AB
【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.
11．已知函数()()πcos 206f x x ωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π2，将()f x 的图象向左
平移
π
6
个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（） A ．()00g =
B ．()g x 的图象关于点π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
C ．()g x 的图象关于π
4
x =-对称
D ．()g x 在ππ,123⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值是1 【答案】ABC
【分析】先由最小正周期求出2ω=，再根据函数的变换求出()sin 2g x x =-，结合三角函数的性质即可判断. 【详解】
()f x 因为最小正周期为π2，222ππ
ω
∴=，解得2ω=，
()πcos 46f x x ⎛
⎫∴=- ⎪⎝
⎭，
将()f x 的图象向左平移
π
6
个单位长度得πcos 4cos 4sin 4662y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得sin 2y x =-，即()sin 2g x x =-， 则()0sin00g =-=，故A 正确；
sin 02g ππ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭，∴()g x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称，故B 正确； sin 142g ππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴()g x 的图象关于π
4x =-对称，故C 正确；
当ππ,123x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，π2π2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即1sin 21,2x ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦
，
故()g x 在ππ,123⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为12，故D 错误.
故选：ABC.
【点睛】结论点睛：判断对称轴和对称中心的方法：对于()()sin f x A x =+ωϕ，若函数满足()00f x =，则()f x 关于点()0,0x 对称；若函数满足()0f x A =±，则()f x 关于0x x =对称. 12．已知函数()()2
2
14sin 2
x
x
e
x f x e -=
+，则下列说法正确的是（）
A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调
B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增
C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥
【答案】AD
【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】解：对A ，
()()
2
22
11
4sin =2cos 2x x x
x
e x e
f x x e e
-+=
+-， 定义域为R ，关于原点对称，
()2211
=2cos()2cos()()x x x x
e e
f x x x f x e e
--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，
()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；
对B ，1
()2sin x
x
f x e x e '=-
+， 11()2sin()=(2sin )()x x
x x f x e x e x f x e e
--''-=-
+---+=-， ()f x '∴是奇函数，
令1
()2sin x
x g x e x e =-
+， 则1()+2cos 2+2cos 0x
x g x e x x e
'=+≥≥，
()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；
对C ，1()2sin x x f x e x e
'=-
+，且()'
f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又
(0)0f '=，
π,02x ⎛⎫
∴∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
()y f x ∴=在π,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减，故C 错误；
对D ，
()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，
()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.
故选：AD.
【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 三、填空题 13．若
11a
bi i
=++，其中a 、b 都是实数，i 是虚数单位，则a bi +=________．
【分析】利用复数除法和复数相等的知识得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，利用复数的模长公式可得出a bi +的值.
【详解】()()()1111122a i a a a bi i i i i -+===-++-，则12
2a a
b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪
⎩
，解得21a
b =⎧⎨=-⎩， 因此，
2a bi i +=-==【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的除法以及复数相等等知识的应用，建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 14．函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】1y e
=-
【解析】()()(1)x x y f x xe f x x e ==⇒=+'，令()01f x x =⇒=-'，此时
1
(1)f e
-=-
函数x y xe =在其极值点处的切线方程为1
y e
=- 【解析】：导数的几何意义.
15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为__________． 【答案】16 【分析】由ABC
ABD CBD S
S
S =+可推出ac c a =+，
即11
1a c
+=，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出3+a c 的最值. 【详解】由题可知ABC
ABD
CBD S
S
S
=+，
则由角平分线性质和三角形面积公式可得：
111
sin120sin 60sin 60222
ac c a =+， 化简得ac c a =+，即11
1a c
+=，
所以()11999101016a c a c a c a c c a ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当
9a c
c a
=即34c a ==时，取等号. 故答案为：16. 【点睛】思路点睛：
利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 四、双空题
16．如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，6BC =，且AD BC λ=，2AD AB ⋅=-则实数λ的值为__________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN =，则AM DN ⋅的最小值为_______． 【答案】
1311
4
【分析】求出120BAD ∠=︒，由2AD AB ⋅=-利用数量积公式求解λ的值即可；建立
坐标系，设(),0M m ，则()1,0N m +，利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.
【详解】因为AD BC λ=，所以//AD BC ， 因为60B ∠=︒，所以120BAD ∠=︒， 所以12co 0s AD AB AD AB ⋅=⋅︒
111622223
BC AB λλλ=-⋅=-⨯⨯=-⇒=；
建立如图所示的坐标系xoy ， 因为60B ∠=︒，2AB =，6BC =，
可得((,A D ，
设(),0M m ，因为1MN =，则()1,0N m +，
所以()(,3,1,AM m DN m =-=-，
()2
2
21111113244AM DN m m m m m ⎛
⎫⋅=-+
=-+=-+≥ ⎪⎝
⎭，
当1
2
m =
时等号成立， 所以AM DN ⋅的最小值为114
， 故答案为：
13,114
. 【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 五、解答题
17．已如函数()()2ππsin 2cos 12f x x x x ⎛⎫
=-+-+ ⎪⎝⎭
． （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2f A =，2a =，求ABC 面积的最大值．
【答案】（1）()πππ,π63k k k ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z ；（2
【分析】（1）先将函数整理，得到()π2sin 26f x x ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果； （2）由（1）根据题中条件，先求出π
3
A =，根据余弦定理，求出224b c bc bc =-+≥，进而可求出三角形面积的最值. 【详解】（1）
()1π
cos cos 222cos 22sin 226f x x x x x x x ⎫⎛
⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 由()πππ
2π22π262k x k k -
+≤-≤+∈Z ， 得()ππ
ππ63
k x k k -≤≤+∈Z ，
∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,π63k k k ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z ． （2）∵()2f A =，∴π2sin 226A ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，即πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， ∵ABC 为锐角三角形， ∴ππ262
A -
=，∴π
3A =．
在ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 又2a =，
∴2242b c bc bc bc bc =-+≥-=，当且仅当2b c ==时，()max 4bc =，
∴1
sin 2
ABC S bc A =
≤△，∴当2b c ==时，()
max
ABC S =
【点睛】方法点睛：
求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立+a b ，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解. 18．在①121n n S S +=+，②21
4
a =
，③112n n S a +=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足__________，__________；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
【答案】（1）答案见解析；（2）5352
n n
n
T +=-
． 【分析】（1）选择①②，可以判断{}n a 为112
a =，公比为1
2的等比数列，即可求出通
项公式；选择②③，由112n n S a +=-可判断{}n a 为112
a =，公比为1
2的等比数列，即
可求出通项公式；不能选择①③；根据{}n b 的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式；
（2）利用错位相减法可求解. 【详解】（1）选择①②：
当2n ≥时，由121n n S S +=+得121n n S S -=+， 两式相减，得12n n a a +=，即
()11
22
n n a n a +=≥， 由①得2121S S =+，即()12121a a a +=+，
∴1211
12122a a =-=-
=，得112
a =． ∴2112a a =，∴{}n a 为112
a =，公比为1
2的等比数列， ∴1
111222n n
n a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
． 选择②③：
当2n ≥时，由③112n n S a +=-，得112n n S a -=-，
两式相减，得122n n n a a a +=-，∴()11
22n n a n a +=≥， 又1212S a =-，得11
2
a =
， ∴2112a a =，∴{}n a 为112
a =，公比为1
2的等比数列， ∴1
11111222n n
n n a a q --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
． 选择①③，由于121n n S S +=+和112n n S a +=-等价，故不能选择； 设等差数列{}n b 的公差为d ，0d ≥， 且1b ，21b -，3b 成等比数列．
()21321b b b =-，即()()2
2221d d +=+，
解得3d =，1d =-（舍去），∴()21331n b n n =+-=-．
（2）312n n n n n c a b -==
，231132131
222n
n
n T ⨯-⨯--=+++， 2311311321343122222n n n n n T +⨯-⨯---=++++， ∴21113331533112222222
n n n n n n n T ++--=+++-=--， ∴5352
n n n
T +=-．
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
结构，
其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.
19．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，PA PC ⊥，
PA PC =，4PB =.
（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；
（2）点M 在棱PC 上，且2MC PM =，求二面角M AB C --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）30︒.
【分析】（1）取AC 的中点O ，连接PO ，OB ，先证PO AC ⊥，再证PO OB ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC . （2）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法计算. 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接PO
，OB ， 因为ABC 是正三角形， 所以OB AC ⊥，
因为PA PC =，所以PO AC ⊥.
在POB 中，2PO =，OB =4PB =， 所以222PO OB PB +=， 所以PO OB ⊥，
因为OB AC O =，
所以PO ⊥平面ABC ， 又PO ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABC .
（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 可知(0,2,0)A -
，B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，240,,
33M ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以(23,2,0)AB =，840,,
33AM ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 设平面ABM 的法向量为(,,)n x y z =，
所以232084
33AB n
x y AM n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
， 令x =(3,3,6)
n =-.
取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 记二面角M AB C --的平面角为θ，||cos ||||m n m n θ⋅=
=
， 易知θ为锐角，所以二面角M AB C --为30︒.
【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查用向量法求二面角，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.
20．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T 且0n a >，2
63n n n S a a =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记(
)()
122121
n
n n a n a a b +=
--，若n k T >恒成立，求k 的最小值．
【答案】（1）3n a n =；（2）
1
49
． 【分析】（1）利用n S 与n a 的关系，可得()132n n a a n --=≥，再利用等差数列的通项公式即可求解.
（2）利用裂项求和法可得()
111
49781n n T +=
--，再利用数列的单调性即可求解.
【详解】（1）当1n =时，2
11163a a a =+，解得13a =． 当2n ≥时，由2
63n n n S a a =+，得2
11163n n n S a a ---=+， 两式相减并化简得()()1130n n n n a a a a --+--=，
由于0n a >，所以130n n a a ---=，即()132n n a a n --=≥， 故{}n a 是首项为3，公差为3的等差数列，所以3n a n =．
（2）()()
11
2111781812121n n n a n n n a a b ++⎛⎫
==- ⎪----⎝⎭
． 故12n n T b b b =+++
()
1111111778149781n n ++⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭， 由于{}n T 是单调递增数列，()11114949
781n +-<-， 所以149k ≥
．故k 的最小值为149
． 【点睛】易错点睛：（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩下两项，后面也剩下两项；或者前面剩下几项，后面也剩几项.
（2）将通项裂项后，有时要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.
21．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 、B 材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图．
（1）由上面等高条形图，填写22⨯列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为
2
3
，且各生产环节相互独立．已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000元．如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？
附：参考公式：()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
【答案】（1）列联表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关；（2）2.1万元/吨. 【分析】（1）根据所给等高条形图，得到22⨯的列联表，利用公式，求得2K 的观测值，比较即可得到结论；
（2）设修复费用为X 万元．得出X 可得0，0.1，0.2，0.3，求得相应的概率，得到X 的分布列，利用公式求得数学期望.
【详解】（1）根据所给等高条形图，得到22⨯的列联表：
2K 的观测值()2
10045205301250507525
K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于12 6.635>，
故有99%的把握认为试验成功与材料有关．
（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元．易知X 可得0，0.1，0.2，0.3．
()3280327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2
1321120.13327P X C ⎛⎫==⨯= ⎪
⎝⎭， ()2
23
1260.23327P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2
110.3327
P X ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，
则Ｘ的分布列为：（分布列也可以不列）
修复费用的期望：()100.10.20.30.127272727
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=．
所以石墨烯发热膜的定价至少为0.111 2.1++=万元/吨，才能实现预期的利润目标． 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 1、理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 2、求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；
4、若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
22．已知函数()()1211222
x f x x e x x -=--
++，()()24cos ln 1g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R ．
（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；
（2）用{}max ,m n 表示m ，n 的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数．
【答案】（1）增函数；()1,+∞；（2）答案见解析.
【分析】（1）先对函数求导，得到()()()
1
11x f x x e -'=--，根据导数的方法，即可判
定其单调性，进而可求出不等式的解集.
（2）1x >时，()0F x >恒成立，当11x -<<时，()0f x <恒成立，故()F x 的零点即为函数()g x 的零点，讨论()g x 在11x -<<的零点个数得到答案.
【详解】（1）()()()()
111111x x f x x e x x e --'=--+=--，
当1x >时，10x ->，110x e -->，∴()0f x '>， 当1x <时，10x -<，110x e --<，∴()0f x '>， 当1x =时，()0f x '=，
所以当x ∈R 时，()0f x '≥，即()f x 在R 上是增函数； 又()10f =，所以()0f x >的解集为()1,+∞． （2））函数()F x 的定义域为(1,)-+∞
由（1）得，函数()f x 在x ∈R 单调递增，()10f = 当1x >时，()0f x >，又()max{(),()}F x f x g x =，
所以1x >时，()0F x >恒成立，即1x >时，()0F x =无零点.
当11x -<<时，()0f x <恒成立，所以()F x 的零点即为函数()g x 的零点 下面讨论函数()g x 在11x -<<的零点个数：
1()214sin 1
g x ax a x x '=--+
+，所以21()24cos (11)(1)g x a a x x x ''=---<<+ ①当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈
又函数cos y x =在区间π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭递减，所以π1cos1cos 32
>=
即当11x -<<时，12cos 0x -<，2
1
()2(12cos )0(1)g x a x x ''=--
<+
所以()g x '单调递减，由()00g '=得：当10x -<<时()0g x '>，()g x 递增 当01x <<时()0g x '<，()g x 递减
当1x →-时ln(1)x +→-∞，()g x ∴→-∞，当0x =时(0)40g a => 又(1)14cos1ln 2g a a =-++，()10f =
当1ln 2
(1)014cos1g a ->⇒>
+时，函数()F x 有1个零点；
当1ln 2
(1)014cos1
g a -=⇒=+时，函数()F x 有2个零点；
当1ln 2
(1)0014cos1
g a -<⇒<<+时，函数()F x 有3个零点；
②当0a =时，()ln(1)g x x x =+-，由①得：当10x -<<时，()0g x '>，()g x 递增， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 递减，所以max ()(0)0g x g ==，(1)ln 210g =-<， 所以当0a =时函数()F x 有2个零点
③当0a <时，(
)
2
()4cos ln(1)g x a x x x x =+-++
()24cos 0a x x +<，ln(1)0x x -++≤，即()0g x <成立，由()10f =，
所以当0a <时函数()F x 有1个零点 综上所述：当1ln 2
14cos1
a ->+或0a <时，函数()F x 有1个零点；
当1ln 2
14cos1
a -=
+或0a =时，函数()F x 有2个零点；
当
1ln2
14cos1
a
-
<<
+
时，函数()
F x有3个零点.
【点睛】思路点睛：
导数的方法研究函数的零点时，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，极值或最值等，有时需要借助数形结合的方法求解.。