..基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件

解析：由题知，f′(x0)＝－2<0.
答案：B
sinx 4．函数 y＝ 的导数为________． x
sinx′x－sinx· x′ xcosx－sinx 解析：y′＝ ＝ . 2 2 x x
xcosx－sinx 答案： 2 x
5．已知 f(x)＝x ＋ax＋b，g(x)＝x ＋cx＋d，又 f(2x＋1) ＝4g(x)，且 f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求 g(4)．
解析：①y＝ln2 为常数，所以 y′＝0，①错；②③④均 正确，直接利用公式即可验证．
答案：D
2．曲线 y＝xn 在 x＝2 处的导数为 12，则 n 等于( A．1 B．2 C．3 D．4
)
解析：y′|x＝2＝n· 2
n－1
＝12，解得 n＝3.
答案：C
3．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 2x＋y －1＝0，则( ) A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
[分析] (1)利用导数的几何意义和导数的运算法则，求 出切线的斜率，由点斜式写出切线的方程．(2)将切线方程与 曲线 C 的方程联立，看是否还有其他解即可．
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
2
2
解：由 f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d， a＋2＝2c， ① 于是有 a＋b＋1＝4d. ② 由 f′(x)＝g′(x)，得 2x＋a＝2x＋c， ∴a＝c.③
由 f(5)＝30，得 25＋5a＋b＝30.④ ∴由①③可得 a＝c＝2. 1 又由④，得 b＝－5.再由②，得 d＝－ . 2 1 1 47 2 ∴g(x)＝x ＋2x－ .故 g(4)＝16＋8－ ＝ . 2 2 2
思考探究 能否认为函数 f(x)＝a2＋2ax－x2 的导数 f′(x)与函数 f(a) 2 ＝a ＋2ax－x2 的导对自变量的求导，要分清表达式中的自 变量，f′(x)＝2a－2x，f′(a)＝2a＋2x.故 f′(x)与 f′(a) 不相同．
1.下列结论正确的个数为( ) 1 1 2 ①y＝ln2，则 y′＝ ②y＝ 2，则 y′|x＝3＝－ 2 x 27 1 x x ③y＝2 ，则 y′＝2 ln2 ④y＝log2x，则 y′＝ xln2 A．0 B．1 C．2 D．3
[点拨] 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解 决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题 解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某 些特征的函数．
练 2 求满足下列条件的函数 f(x)． (1)f(x)是二次函数，且 f(0)＝4，f′(0)＝－1，f′(1)＝7； (2)f′(x)是二次函数，(x2＋1)f′(x)－(3x＋1)f(x)＝5.
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
求函数的解析式 例 2 已知 f′(x)是一次函数，x2· f′(x)－(2x－1)· f(x)＝ 1 对一切 x∈R 恒成立，求 f(x)的解析式．
[分析] 根据 f′(x)为一次函数， 可设 f(x)的解析式为 f(x) 2 ＝ax ＋bx＋c(a≠0)，然后利用对一切 x∈R 方程恒成立，转 化为关于 a，b，c 的方程组，即可求出 f(x)的解析式．
[解] 由 f′(x)为一次函数可知 f(x)为二次函数， 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f′(x)＝2ax＋b， 把 f(x)，f′(x)代入方程得 x2(2ax＋b)－(2x－1)· (ax2＋bx＋c) ＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0， a－b＝0， 又对一切 x∈R 方程恒成立，所以b－2c＝0， c－1＝0， a＝2， 2 b ＝ 2 ， 解得 所以 f(x)＝2x ＋2x＋1. c＝1，
3．2.2
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
1. 能利用给出的基本初等函数的导数公式求函数的导 数． 2．能利用初等函数的导数公式和导数的运算法则求简 单函数的导数.
1.基本初等函数的导数公式 (1)若 f(x)＝c，则 f′(x)＝________. 0
nx (2)若 f(x)＝x ，则 f′(x)＝________.
(2)设 (1)中的切线与曲线 C 还有其他公共点，于是由 4 3 2 y＝3x －2x －9x ＋4， y＝－12x＋8. 整理得 3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0. 3 2 3 x (3x－2)－(3x－2) ＝0，(3x－2)(x －3x＋2)＝0， 2 即(x＋2)(3x－2)(x－1) ＝0. 2 所以 x＝－2，x＝ ，x＝1. 3 2 即除切点外还有交点(－2,32)和( ，0)． 3
[解] ∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t. 根据基本初等函数的导数公式表， 有 p′(t)＝(1.05t)′＝ 1.05t· ln1.05. ∴p′(10)＝1.0510· ln1.05≈0.08(元/年)． 因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约以 0.08 元/年 的速度上涨．
x
x
x
x
2．导数运算法则 f′x± g′x (1)[f(x)± g(x)]′＝_______________________.
f′xgx＋fxg′x (2)[f(x)· g(x)]′＝_______________________.
f ( x) g ( x)－f ( x) g ( x) fx 2 g ( x) (3)[ ]′＝___________________________. gx
[点拨] 理解和掌握求导法则和公式的结构是灵活进行 求导运算的前提条件， 当函数解析式较为复杂时， 应先变形， 然后求导，当函数解析式不能直接用公式时，也要先变形， 使其符合公式形式．
练 1 求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6； 2 (2)y＝(2x ＋3)(3x－2)； x－1 (3)y＝ . x＋1
1.对基本初等函数的导数公式的理解 (1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式， 学 会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握． (2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别， 这是易 错点．
2．对导数的运算法则的理解 (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)± g(x)]′ ＝ f′(x)± g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函 数的导数的和(或差)．
[解] (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－5(x2)′＋6′ 4 2 ＝5x －9x －10x. (2)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)· 3＝18x2－8x＋9. 2 解法二：∵y＝(2x ＋3)· (3x－2) ＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
n
n－1
cos x (3)若 f(x)＝sinx，则 f′(x)＝________.
－sin x (4)若 f(x)＝cosx，则 f′(x)＝________.
a lna (5)若 f(x)＝a ，则 f′(x)＝________. e (6)若 f(x)＝e ，则 f′(x)＝________. 1 xlna (7)若 f(x)＝logax 则 f′(x)＝________. 1 (8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝________. x
[解] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f′(x)＝2ax＋b. 由 f(0)＝4，得 c＝4.由 f′(0)＝－1，得 b＝－1.由 f′(1) 2 ＝7，得 2a＋b＝7，得 a＝4，所以 f(x)＝4x －x＋4. (2)由 f′(x)为二次函数可知 f(x)为三次函数，设 f(x)＝ ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 2 2 把 f(x)、f′(x)代入方程得(x ＋1)(3ax ＋2bx＋c)－(3x＋ 1)(ax3＋bx2＋cx＋d)＝5，即(－a－b)x3＋(3a－b－2c)x2＋(2b －c－3d)x＋c－d－5＝0.
(3)两个函数商的函数的求导法则 设函数 f(x)，g(x)是可导的，且 g(x)≠0 f′xgx－fxg′x fx ，则[ ]′＝ ，特别地， 2 gx [gx] 当 f(x)＝1 时， g′x 1 有[ ]′＝－ 2. gx [gx]
利用求导公式和运算法则求导数 例 1 求下列函数的导数． (1)y＝tanx； 2 (2)y＝3x ＋x· cosx； x x 2 (3)y＝( x－2) －sin · cos . 2 2
要使对任意 x 方程都成立，
－a－b＝0， 3a－b－2c＝0， 则需 2b－c－3d＝0， c－d－5＝0.
3 a＝ ， 2 3 解得b＝－2， c＝3， d＝－2.
3 3 3 2 所以 f(x)＝ x － x ＋3x－2. 2 2
求曲线的切线方程 例 3 已知曲线 C：y＝3x4－2x3－9x2＋4. (1)求曲线 C 在点(1，－4)的切线方程； (2)对于(1)中的切线与曲线 C 是否还有其他公共点？若 有，求出公共点；若没有，说明理由．
(2)两个函数积的函数的求导法则 设函数 f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)· g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数 乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数． 推论： 常数与函数的积的导数， 等于常数乘函数的导数． 即[cf(x)]′＝cf′(x)．
[分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再 求导两种方法，要注意正确区分．
sinx [解] (1)y′＝(tanx)′＝( )′＝ cosx sinx′cosx－sinxcosx′ cos2x＋sin2x 1 ＝ ＝ 2 . 2 2 cos x cosx cosx (2)y′＝(3x2＋x· cosx)′＝(3x2)′＋(x· cosx)′ ＝6x＋x′· cosx＋x· (cosx)′＝6x＋cosx－xsinx. 1 x x 2 2 (3)y′ ＝ [( x － 2) － sin · cos ]′ ＝ [( x － 2) ]′ － ( 2 2 2 1 2 1 sinx)′＝(x－4 x＋4)′－ cosx＝1－ － cosx. 2 x 2
导数在实际中的应用 例 4 假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5%，物价 p(单位：元)与时间 t(单位：年)有如下函数关系： p(t)＝p0(1＋5%)t，其中 p0 为 t＝0 时的物价，假定某种 商品的 p0＝1，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的 速度大约是多少？(精确到 0.01)
x－1 (3)解法一：y′＝( )′ x＋1 x－1′x＋1－x－1x＋1′ ＝ x＋12 x＋1－x－1 2 ＝ ＝ . 2 x＋1 x＋12 x－1 x＋1－2 2 解法二：∵y＝ ＝ ＝1－ ， x＋1 x＋1 x＋1 2 2 ∴y′＝(1－ )′＝(－ )′ x＋1 x＋1 2′x＋1－2x＋1′ 2 ＝－ ＝ . x＋12 x＋12