成都英才学校九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．一面足够长的墙，用总长为30米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD ，中间用栅栏隔成同样三块，若要围成的矩形面积为54平方米，设垂直于墙的边长为x 米，则x 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．3或5
D ．3或4.5
2．方程2240x x --=经过配方后，其结果正确的是（ ） A ．()215x -= B ．()217x -= C ．()214x -= D ．()2
15x += 3．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设1a =，则b =（ ）
A ．51-
B ．51+
C ．53+
D ．21+ 4．已知4是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实
数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ）
A ．7
B ．7或10
C ．10或11
D ．11
5．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（ ）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
6．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，则关于x 的方程()()220
a b x cx a b ++++=根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有且只有一个实数根
D ．没有实数根 7．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ） A ．1-
B ．1
C ．17-
D ．17 8．方程23x x =的根是（ ） A ．3x = B ．0x =
C ．123,0x x =-=
D ．123,0x x == 9．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+＝-有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．0m ≠
B ．14m
C ．14m <
D ．14
m > 10．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．4
B ．1
C ．﹣1
D ．﹣4 11．已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242020m m -+的值为（ ） A ．2022
B ．2021
C ．2020
D ．2019 12．如果2是方程x²−3x+k=0的一个根,则此方程的另一根为( )
A ．2
B ．1
C ．−1
D ．−2 二、填空题
13．写出有一个根为1的一元二次方程是______．
14．一元二次方程22(1)210a x x a +++-=，有一个根为零，则a 的值为________．
15．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则
11a b
+的值为______． 16．设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则m+n ＝_____． 17．已知x =1是一元二次方程（m -2）x 2+4x -m 2=0的一个根，则m 的值是_____． 18．已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，则m =________．
19．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了______人．
20．若方程()22
110a x ax -+-=的一个根为1x =，则a =_______． 三、解答题
21．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根．求m 的取值范围．
22．解下列方程：
（1）2x 2﹣4x ＋1＝0；
（2）（2x ﹣1）2＝（3﹣x ）2．
23．解方程：
（1）()2
316x -=
（2）22410x x --=（用公式法解）
24．解方程：2420x x ++=．
25．我们知道20x ≥，2()0a b ±≥，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如，探究多
项式2245x x +-的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式()2
225x x =+- ()222
22115x x =++-- 222(1)15x ⎡⎤=+--⎣⎦
22(1)25x =+--
22(1)7x =+-
因为()210x +≥，所以()221707x +-≥-，即()22177x +-≥-
所以()2
217x +-的最小值是7-，即224 5x x +-的最小值是7-．
请根据上面的探究思路，解答下列问题：
（1）多项式()2531x -+的最小值是_________；
（2）求多项式24163x x -+的最小值（写过程）．
26．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．
（1）分别求出甲乙两款积木的进价．
（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降()0m m >元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当m 为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
设AD 长为x 米，四边形ABCD 是矩形，根据矩形的性质，即可求得AB 的长；根据题意可得方程x （30−4x ）＝54，解此方程即可求得x 的值．
【详解】
解：设与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，
∴BC＝MN＝PQ＝x米，
∴AB＝30−AD−MN−PQ−BC＝30−4x（米），
根据题意得：x（30−4x）＝54，
解得：x＝3或x＝4.5，
AD的长为3或4.5米.
故选：D．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用中的围墙问题，正确列出一元二次方程，并注意解要符合实际意义．
2．A
解析：A
【分析】
配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】
解：∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x＝4，
∴x2﹣2x+1＝4+1，
∴（x﹣1）2＝5．
故选：A．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．B
解析：B
【分析】
根据上图可知正方形的边长为a+b，下图长方形的长为a+b+b，宽为b，并且它们的面积相等，由此可列出（a+b）2=b(a+b+b)，解方程即可求得结论．
【详解】
解：根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b，
则（a+b）2=b(a+b+b)，即a2﹣b2+ab=0，
∴2)10a a b b +
-=（，
解得：
a b =， ∵
a b ＞0，
∴a b =，
∴当a=1时，1
2b =
=， 故选：B ．
【点睛】 本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．
4．C
解析：C
【分析】
把x=4代入已知方程求得m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【详解】
解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x 2-7x+12=0，
解得x 1=3，x 2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，
①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11；
②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC 的周长为10或11．
故选C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
5．B
解析：B
【分析】
设大正方形的边长为 a ，小正方形的边长为 b ，利用图1得到一个 a 与 b 关系式，再利用图2得到一个 a 与 b 关系式，即可求出 a 和 b ，然后再求图3阴影面积即可.
【详解】
图1中重叠部分的为正方形且其面积为4，∴重叠部分的边长为2，
设大正方形边长为a ，小正方形的边长为b ，∴a -b +2=b ，
如图2，阴影部分面积=a 2-2b 2+(b -2
a b -)2=44，解得：b =6，∴a =10， 如图3，两个小正方形重叠部分的面积=()2b b a ⨯-=12．
故答案为：B ．
【点睛】
此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键.
6．D
解析：D
【分析】
由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而()()2(2)4c a b a b =-++，根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】
∵a ，b ，c 分别是三角形的三边，
∴a+b ＞c ．
∴c+a+b ＞0，c-a-b ＜0，
∴()()2(2)4c a b a b =-++
2244()c a b =-+
()()40c a b c a b =++--<，
∴方程没有实数根．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对2244()c a b -+进行因式分解．
7．B
解析：B
【分析】
根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．
【详解】
由一元二次方程的根的定义得：2430m m -+=，即243m m -=-， 由一元二次方程的根与系数的关系得：441
m n -+=-
=， 则2234m m n m m m n -+=-++，
()()
24
m m m n
=-++，
34
=-+，
1
=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x＝0或x﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．
【详解】
解：∵x2＝3x，
∴x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
9．B
解析：B
【分析】
由方程有实数根即△＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于m的不等式，解之可得．
【详解】
解：根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：
1
4 m，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．10．C
解析：C
【分析】
据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
【详解】
解：∵方程x 2-4x-1=0的两个根是x 1，x 2，
∴x 1∙x 2=-1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-b a ，两根之积是c a ． 11．A
解析：A
【分析】
把x m =代入方程2210x x --=求出221m m -=，把2242020m m -+化成
()2222020m m -+，再整体代入求出即可．
【详解】
∵把x m =代入方程2210x x --=得：2210m m --=，
∴221m m -=，
∴()
222420202220202120202022m m m m -+=-+=⨯+=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，采用了整体代入的方法．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12．B
解析：B
【分析】
设方程的另一个根为x 1，根据根与系数的关系可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
设方程的另一个根为x 1，
根据题意得：2+x 1=3，
∴x 1=1．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和与系数的关系是解题的关键．
二、填空题
13．（答案不唯一）【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个只要含有因式x1的一元二次方程都有一个根是1【详解】可以用因式分解法写出原始方程然后化为一般形式即可如化为一般形式为：故答案为：【点睛】本题考 解析：20x x -=（答案不唯一）
【分析】
有一个根是1的一元二次方程有无数个，只要含有因式x-1的一元二次方程都有一个根是1．
【详解】
可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，
x x-=，
如()10
化为一般形式为：20
-=
x x
故答案为：20
-=．
x x
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根，有一个根是1的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．
14．1【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0再解关于a的方程然后利用一元二次方程的定义确定a的值【详解】解：把
x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0得a2
解析：1
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．
【详解】
解：把x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0得a2-1=0，
解得a=1或a=-1，
而a+1≠0，
所以a的值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为：-1【点睛】此题考查一元二次方程根与
解析：-1
【分析】
利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】
∵a，b是方程210
--=的两根，
x x
∴a+b=1，ab=-1，
∴11
+
a b
=
a b ab
+ =11
- =-1， 故答案为：-1.
【点睛】
此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则.
16．﹣2【分析】直接根据根与系数的关系求解即【详解】解：∵mn 是一元二次方程x2+2x ﹣7＝0的两个根∴m+n ＝﹣2故答案为﹣2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系是重要考点难度较易掌握相关知识是
解析：﹣2．
【分析】 直接根据根与系数的关系求解，即b m n a
+=-
． 【详解】
解：∵m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，
∴m+n ＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17．-1【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即把x=1代入方程求解可得m 的值【详解】把x=1代入方程（m-2）x2+4x-m2=0得到（m-2）+4-m2=
解析：-1
【分析】
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x =1代入方程求解可得m 的值．
【详解】
把x =1代入方程（m -2）x 2+4x -m 2=0得到（m -2）+4-m 2=0，
整理得：220m m --=，
因式分解得：()()120m m +-=，
解得：m =-1或m =2，
∵m -2≠0
∴m =-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是正确的代入求解．注意：二次项系数不为0的条件．
18．0【分析】先将方程化成一般式然后再运用根的判别式求解即可【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根∴关于的方程有两个相等的实数根∴△=02-4m=0解得m=0故答案为0【点睛】本题主要考查了一元二次 解析：0
【分析】
先将方程化成一般式，然后再运用根的判别式求解即可．
【详解】
解：∵关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，
∴关于x 的方程20x m -=有两个相等的实数根，
∴△=02-4m=0，解得m=0．
故答案为0．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解答本题的关键．
19．3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人则第一轮共有人患病第二轮后患病人数有人从而列方程再解方程可得答案【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人则：或或经检验：不符合题意舍去取答：每轮传染中平均一 解析：3
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮共有()1x +人患病，第二轮后患病人数有()21x +人，从而列方程，再解方程可得答案．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，
则：()1+116,x x x ++=
()2
116,x ∴+=
14x ∴+=或14,x +=- 3x ∴=或5,x =-
经检验：5x =-不符合题意，舍去，取 3.x =
答：每轮传染中平均一个人传染了3人．
故答案为：3.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用中的传播问题是解题的关键．
20．或【分析】分类讨论方程为一元一次和一元二次把x=1代入方程计算即可
求出a 的值【详解】解：若方程为一元一次方程此时此时解得当时方程的解是满足条件当时方程的解是不满足题意；若方程为一元二次方程此时此时此 解析：1或2-
【分析】
分类讨论方程为一元一次和一元二次，把x =1代入方程计算即可求出a 的值．
【详解】
解：若方程为一元一次方程，此时210a -=，此时解得±1a =，当1a =时，方程的解是1x =满足条件，当1a =-时，方程的解是1x =-不满足题意；
若方程为一元二次方程，此时210a -≠，此时±a ≠1，此时将1x =代入方程可得2110a a -+-=解得122,1()a a =-=舍
综上所述，a =1或-2
故答案为：1或2-
【点睛】
本题主要考查方程的相关定义，分类讨论是解题的关键．
三、解答题
21．m<2．
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根列得4-4（m-1）>0，求解即可．
【详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴4-4（m-1）>0，
解得m<2．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式：当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．
22．（1）x 1＝1＋
2，x 2＝1﹣2；（2）x 1＝﹣2，x 2＝43 【分析】
（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】
（1）解：2x 2﹣4x ＋1＝0，
x 2﹣2x ＝﹣12
， x 2﹣2x ＋1＝﹣12＋1，即（x ﹣1）2＝12
，
∴x ﹣1＝±
2，
∴x 1＝1＋2，x 2＝1﹣2
； （2）解：（2x ﹣1）2＝（3﹣x ）2．
（2x ﹣1）2﹣（3﹣x ）2＝0，
[（2x ﹣1）＋（3﹣x ）][（2x ﹣1）﹣（3﹣x ）]＝0，
∴x ＋2＝0或3x ﹣4＝0，
∴x 1＝﹣2，x 2＝
43． 【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法，并熟练运用是关键．
23．（1）11x =21x =-2）11x =+，21x =． 【分析】
（1）两边除以3后再开方，即可得出两个一元一次方程，求解即可；
（2）求出24b ac -的值，代入公式求出即可．
【详解】
解：（1）()2316x -=
方程两边除以3，得：()2
12x -=，
两边开平方，得：1x -=
则：11x =+21x =
（2）22410x x --=
∵2a =，4b =-，1c =-，
∴()()224442124b ac -=--⨯⨯-=
∴x ==，
∴11x =21x =； 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的应用，熟悉相关的解法是解题的关键．
24．12x =-22x =-
【分析】
方程利用配方法求出解即可．
【详解】
∵2420x x ++=，
∴242x x +=-，
∴24424x x ++=-+，
∴()2
22x +=， ∴
2x =-±
∴12x =-22x =-
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 25．（1）1；（2）13-．
【分析】
（1）根据偶次方的非负性得到2(3)0x -，得到答案；
（2）根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】
解：（1）∵2(3)0x -≥，
∴25(3)11x -+≥，
∴多项式25(3)1x -+的最小值是1．
故答案为：1；
（2）24163x x -+
(
)2443x x =-+ ()
22244223x x =-+-+ 24(2)43x ⎡⎤=--+⎣⎦
24(2)163x =--+
24(2)13x =--
∵2(2)0x -≥，
∴24(2)1313x --≥-，
∴多项式24163x x -+的最小值为13-．
【点睛】
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 26．（1）（1）甲款每盒400元，乙款每盒320元；（2）40．
【分析】
（1）设甲款积木的进价为每盒x 元，乙款积木的进价为每盒y 元，列出二元一次方程组计算即可；
（2）根据题意得出()()8040224405760m m -++⨯=，计算即可；
【详解】
（1）设甲款积木的进价为每盒x 元，乙款积木的进价为每盒y 元， 则()()72048021.51202640x y x y +=⎧⎨++-=⎩
， 解得：400320x y =⎧⎨=⎩
． 答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元． （2）由题可得：()()8040224405760m m -++⨯=， 解得120m =，240m =，
因为顾客能获取更多的优惠，所以40m =．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，结合二元一次方程组求解计算是解题的关键．。