第一章 空间向量与立体几何 单元复习讲义 易错题型(解析版)

第一章 空间向量与立体几何 单元复习讲义 易错题
易错点一：空间向量的加减运算
1．已知正方体ABCD -A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中正确的是( ) A ．OA OD +与11OB OC +是一对相等向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量
D ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量
【详解】
A. 取AD,11B C
的中点M,N ，则：2OA OD OM +=,112OB OC ON =+，两者不是一对相等向量； B. OB OC CB -=，1111OA O A D D =-，两者是一对相等向量； C. 11OA OA AA =-，11OC O C C C -=，两者是一对相反向量；
D.设底面1111
,ABCD A B C D 的中心分别为P,Q ，则：
OA OB OC OD OP ++=+，1111OA OB OC OD OQ ++=+， 两者是一对相反向量；
故选：D.
2．已知在正方体1111
ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA AD
=++-，那么点M 必（ ）
A ．在平面1
BAD 内 B ．在平面1BA D 内
C ．在平面11BA D
内 D ．在平面11AB C 内
【详解】
因为1111111176464PM PB BA AA A D PB BA BA A D =++-=++-
11116PB B A BA =++-11111146()4()A D PA PA PB PD PA =+---111164PA PB PD =--，所以M ，B ，1A ，1D 四点共面 故选：C.
3．已知平行六面体ABCD -A'B'C'D',则下列四式中:①AB CB AC -=;①''''AC AB B C CC =++;①''AA CC =;①'''AB BB BC C C AC +++=. 其中正确的是_____.
【详解】
由题意得AB CB AB BC AC -=+=,①正确;'''''AB B C CC AB BC CC AC ++=++=,①正确;①显然正确;因为
''AB BB BC AC ++=,所以①不正确. 故答案为①①①
易错点二：空间向量的数量积
1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）
1111
ABCD A B C D -所有棱长都为1，
且
1160,45,
A AD A A
B DAB ︒∠=∠=∠=︒则
1BD =
（ ）
A ．31-
B ．21-
C ．32-
D ．32-
【详解】 如图：
由11,BD AD AB AA =-+
2
211()BD AD AB AA ∴=-+
222
111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅-⋅+⋅
21111211cos 45cos60c 12161os 0︒︒︒-⨯⨯=⨯+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 32=-,
13||2BD ∴=-, 故选：C
2．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足
||||3CO CB ==，若1
cos ,6EF BC <>=
，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3
【详解】
设(,,)C x y z ，(2,2,0)B ， (,,)
OC x y z =，(2,2,)BC x y z =--，(22,22,0)EF =-，
由(22,22,0)(2,2,)1
cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC
⋅-⋅--===
⋅⋅，
整理可得：
2
2x y -=-
， 由||||3CO CB ==，得2222
(2)(2)x y x y +=-+-， 化简得2x y +=，
以上方程组联立得232,44x y =
=，
则
()
(,,)0,22,0223
OC OF x y z y =⋅==.
故选：D.
3．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则
()()
a c
b
c -⋅-的最小值为__________．
【详解】 ·0＝a b ，且a b c ，，均为单位向量， ①
()
2
2222211202
+=
+=++⋅=++⨯=a b a b a b a b ，
|c |=1，2
1=c ,
①
()()()()
2
1-⋅-=⋅-++⋅-⋅=+a c b c a b a b c c a b c
.
设a b +与c 的夹角为θ， 则()()1cos 12cos θθ
-⋅-=-+=-a c b c a b c .
故
()()
a c
b
c -⋅-的最小值为1 2.-
故答案为：1 2.-
易错点三：用空间基底表示向量
1．在三棱柱
111A B C ABC
-中，D 是四边形
11BB C C
的中心，且1,,AA a AB b AC c ===，则1A D =（ ）
A ．1112
22a b c ++ B ．111222a b c -+ C ．111222a b c +- D ．111222a b c
-++
【详解】
由于D 是四边形11BB C C
的中心
()
111111111
11111()22222A D A B AC A A A B AC a b c =+=++=-++. 故选:D
2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）
A ．11
2
2a b c
-+ B ．a b c +- C ．a b c -+ D ．1122a b c -+- 【答案】A 【详解】
()
1111
2222OD OA AD OA AC OA OC OA OA OC
=+=+=+-=+， 因此，
1111
2222BD OD OB OA OB OC a b c
=-=-+=-+. 故选：A.
3．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.
【详解】
MN MA AB BN =++ 11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++
13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫
∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC
=++
133,,888x y z ∴===
即
7
8x y z ++=
故答案为：7
8
易错点四：空间向量的坐标运算
1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且
2
3AC AB =
,则点C 的坐标为( ) A ． 715
(,,)
222- B ． 3(,3,2)8- C ． 7(,1,1)3-- D ． 573(,,)222-
【详解】
设C 的坐标是（x ，y ，z ） ①A(3,3,-5),B(2,-3,1)，
①166,335AB AC x y z =--=--+（，，）（，，） ①2
3AC AB =
，
①2
335166,
3x y z --+=--（，，）（，，）
由此解得7
,1,1,
3x y z ==-=- ，
故选C.
2．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP
与13PP 的夹角是（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90
【详解】
设向量12PP
与13PP 的夹角为θ， ()()()123,1,01
,1,22,2,2PP =--=-，
()()()
130,1,31,1,21,2,1PP =--=-，
则
12131213
cos 0
PP PP PP PP θ⋅==⋅，所以，90θ=，故选D.
3．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，E ，F 分别为D1C1，B1C1的中点，若以{}1
,,AB AD AA 为基底，
则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.
【详解】
因为1111
2AE AD DD D E AB AD AA =++=++，所以向量AE 的坐标为1,1,12
⎛⎫ ⎪
⎝⎭. 因为111
1
2AF AB BB B F AB AD AA =++=++， 所以向量AF 的坐标为
1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,. 因为11AC AB AD AA =++，所以向量1AC 的坐标为(1,1,1).
故答案为：1,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭；1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,；(1,1,1)
易错点五：空间向量运算的坐标表示
1．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系
是（ ）
A ．平行
B ．垂直
C ．相交但不垂直
D ．无法判定
【详解】
由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直.
故选：B.
2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA ·DB 取最小值时，点D 的坐标为( )
A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．884,,333⎛⎫ ⎪
⎝⎭
【详解】
设OD =t OC =（t ，t ，2t ），t≥0，
①A （1，2，3）、B （2，1，2）、C （1，1，2），O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动， ①DA =（1﹣t ，2﹣t ，3﹣2t ），DB =（2﹣t ，1﹣t ，2﹣2t ）， ①DA •DB =（1﹣t ）×（2﹣t ）+（2﹣t ）×（1﹣t ）+（3﹣2t ）（2﹣2t ） =6t2﹣16t+10
=6（t ﹣43）2+26
9，
当t=4
3时，DA •DB 取最小值，
此时D （448333，，）．
故答案为：C ．
3．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z)，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________．
【详解】
由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，
利用向量的数量积的运算公式，可得()352015603130
z x y x y z ⎧+-=⎪
-++=⎨⎪-+-=⎩
解得407x =，15
7y =-
，4z =，①
401525777x y +=-=.
易错点六：空间位置关系的向量证明
1．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱BC 的中点，则在棱1CC 上存在点F ，使得（ ）
A ．1//AF D E
B ．1AF D E ⊥
C ．//AF 平面11C
D
E D ．A
F ⊥平面11C D E
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0)A ，1(0,0,1)D ，1(,1,0)2E ，设(0,1,)F z （(01)z ≤≤，
则11
(,1,1)
2D E =-，(1,1,)AF z =-，
因为11
211≠-，所以1,AF D E 不可能平行，即1,AF D E
不可能平行，
又11102AF D E z ⋅=-+-=，
1
2z =
，因此1,AF D E 可以垂直，即AF 与1D E 可能垂直． 1(0,1,1)
C ，11(0,1,0)DC
=， 设平面11C D E
的一个法向量为(,,)n x y z =， 则111
0102n D C y n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取2x =，则(2,0,1)n =， AF 与n 不可能平行，因此AF 与平面11C D E 不可能垂直，
2[2,1]AF n z ⋅=-+∈--，因此AF 与n 不可能垂直，因此AF 与平面11C D E 不可能平行，
故选：B ．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=2
3
a
，则MN
与平面BB1C1C的位置关系是（）
A．相交B．平行C．垂直D．不能确定
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量(0,1,0)
n=.
①A1M=AN=2
3
a
，①M
2
33
a a
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，，
，N
22
33
a a
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，，
，
①
2
33
a a
MN
⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
，，
.①0
MN n⋅=，
①MN①平面BB1C1C，
故选：B.
3．若直线l1的方向向量为1u=(1,3,2),直线l2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____.
【详解】
因为AB=(1,-1,1), 直线l1的方向向量为1u=(1,3,2),
1
u·AB=(1,3,2)·(1,-1,1)=0,所以两直线位置关系为垂直.
易错点七：异面直线夹角的向量求法
1．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA①平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB①AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为
A．
30
10
-
B
．
30
5
-
C．
30
5D．
30
10
【详解】
因为PA①平面ABC，所以PA①AB，PA①BC．过点A作AE①CB，又CB①AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．
故CP=(−4，2，2)，AD=(2，0，1)．所以cos〈AD，CP〉=
AD CP
AD CP
⋅
⋅
==−.
设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈AD，CP〉|=.
2．如图所示，在正方体1111
ABCD A B C D
-中，若E为
11
D C的中点，则
11
A C
→
与DE
→
所成角的余弦值为（）A．
10
10B．
1
3C．
2
4D．
5
5
【详解】
设正方体的棱长为1，
记AB a
→
=，AD b
→
=，1
AA c
→
=，则||||||1
a b c
===，0
a b b c c a
⋅=⋅=⋅=．
因为11
AC AB AD a b
AC
→→→→
==+=+，11111
1
2
DE DD D E DD D C c
→→
→→
→
=+=+=+
1
2
a
，
所以
22
11
11111
()
22222
AC DE a b c a a c b c a a b a
→→⎛⎫
⋅=+⋅+=⋅+⋅++⋅==
⎪
⎝⎭．
又因为11||2AC →=，
2
15||122DE →
⎛⎫=+=
⎪⎝⎭， 所以1111111102cos ,105||||
22AC AC DE AC DE →
→→→→
〈〉===⨯， 所以11AC
→
与DE →
所成角的余弦值为1010．
故选：A
3．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，
且满足1
2BP BC ≤，12AQ AO
≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.
【详解】
根据题意，以O 为原点，分别为OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
不妨设1OA OB OC ===，则()1,0,0A 、()0,1,0B 、()0,0,1C 、
()10,,112P b b b ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭、()1,0,002Q a a ⎛
⎫≤≤ ⎪
⎝⎭， ()
,,1QP a b b =--，
()
0,1,0OB =，
所以
()
2
2
2
221
cos ,1111QP OB b QP OB QP OB
a b b a b b ⋅<>==
=
⋅++-⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
因为[]0,1a b ∈，[]1
1,2b ∈，所以当0a =，1b =时， cos ,QP OB <>取得最大值，且最大值为1；
当12a b =
=时，cos ,QP OB <>取得最小值，且最小值为33，
所以PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是3,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
故答案为：3,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
易错点八：线面角的向量求法
1．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1A B 与平面BDE 的夹角为（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．2π
D ．56π 【详解】
以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭E ，1(1,0,1)A ， ①(1,1,0)DB =，
10,1,2DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,1,1)A B =-， 设平面BDE 的一个法向量(,,)n x y z =，
则00n DB n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，
令1x =，则1,2y z =-=，
所以平面BDE 的一个法向量(1,1,2)n =-，
①1(0,1,1)BA =-，
①
11123cos ,,,[0,]223BA n BA n π+<>==<>∈， ①1,6BA n π
<>=，
①直线1A B 与平面BDE 的夹角为3π.
故选：B.
2．在棱长为1的正方体
1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）
A ．21
5B．
2
5C
．
3
5D．
4
5
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则111
1
(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)
2
A D M B
11
(1,0,0)
=-
A D，1
1
(0,1,)
2
=-
D M
，1
1
(1,0,)
2
=
MB
设平面11
A D M的法向量为(,,)
m x y z
=
则
11
1
=0
1
2
x
A D m
y z
D M m
-=
⎧
⎧⋅
⎪⎪
⇒
⎨⎨
-=
⋅=
⎪⎩⎪
⎩令1
y=可得2
z=，所以(0,1,2)
=
m
设直线1
B M
与平面11
A D M所成角为θ，
1
1
12
sin
5
5
5
2
θ
⋅
===
⋅
⨯
m MB
m MB
故选：B
3．在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．
【详解】
解：如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，
(0,,)
22
a a
P-
，
则CA ＝(2a ，0，0)，AP ＝
(,,)22a a a --，CB ＝(a ，a ，0)． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，
因为n ①CA ，n AP ⊥，
所以20,0,22ax a a ax y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩所以x ＝0，y ＝z ，
令y ＝1，则n ＝(0，1，1)是平面PAC 的一个法向量， 所以cos 〈,CB n
〉＝21222CB n a CB n a ⋅==⨯，
所以〈,CB n 〉＝60°，
所以直线BC 与平面PAC 的夹角为90°－60°＝30°．
故答案为：30°．
易错点九：面面角的向量求法
1．如图，在空间直角坐标系D xyz -中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，12AA AB AD ==，点E ，F 分
别为11C D ，1A B 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）
A ．
33- B ．32- C ．33 D ．32
【详解】 设1AD =，则
1(1,0,2)
A ，(1,2,0)B
①E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点
①(0,1,2)E ，(1,1,1)F ，即1(1,1,0)AE =-，1(0,2,2)A B =- 设(,,)m x y z =是平面1A BE 的法向量，则1100A E m A B m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x y y z -+=⎧⎨-=⎩
取1x =，则1y z ==，即有平面1A BE 的一个法向量为(1,1,1)m =
又DA ⊥平面11A B B ，即(1,0,0)DA =是平面11A B B 的一个法向量
①
13cos ,3||||3m DA m DA m DA ⋅〈〉=
==，又二面角11B A B E --为锐二面角 ①二面角11B A B E --的余弦值为3
3
故选：C
2．如图，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体， 12AA AB AD ==，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）
A ．
33- B ．32- C ．33 D ．32
【详解】 设1AD =，则1(1,0,2),(1,2,0)A B ，
因为E 为11C D 的中点，所以(0,1,2)E ，所以 11(1,1,0),(0,2,2)A E A B =-=-，
设(,,)m x y z =是平面 1A BE 的一个法向量，
则1100A E m A B m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即 0220x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1x =，则1y z ==，
所以平面1A BE 的一个法向量为(1,1,1)m =，
又因为DA ⊥平面11A B B ，所以(1,0,0)DA =是平面 11A B B 的一个法向量，
所以
13cos ,3||||3m DA m DA m DA ⋅〈〉=
==， 又因为二面角11B A B E --为锐二面角， 所以二面角11B A B E --的余弦值为3
3.
故选：C.
3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．
【解析】 分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，
利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案.
详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，
平面
1D EC
的法向量为(,,)m x y z =
由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=-
平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n = (,,)m x y z =为平面
1D EC 的法向量， ∴120(2)0m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=-
二面角
1D EC D --的大小为4π
∴cos
4m n
m n π⋅=⋅，即
22222(2)12λ=-++
解得 23λ=-，23λ=+（舍去）
∴23AE =-
故答案为23-。