2024年浙江省绍兴市上虞区中考二模数学试题(含答案)

2024年初中毕业生学业水平调测
数学试题卷
考生须知：
1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟．2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效．
3．答题前，认真阅读答题卡上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器．
试卷I （选择题）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．要使运算式子“”成立，则“”内应填入的数是（ ）．
A ．
B ．2
C ．
D ．2．上虞越窑青瓷的历史文化渊源流长．如图是一只平放在水平桌面上的青花瓷碗，它的主视图是（
）．
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列计算正确的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．4．在周长为24的菱形中，若，则的长为（ ）．
A ．3
B ．6
C ．
D ．5．为做好“上虞氧气吉象音乐节”的安保工作，某基层公安派出所需从2名男警和2名女警中抽调两人前去音乐节现场做志愿者．则恰好抽到一名男警和一名女警的概率是（ ）．
A
．
B ．
C ．
D ．
6．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”。

意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶，1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，则下列方程组正确的是（
）．
53+= 2-1
2
-
(
)
2
a a
b a a ab -÷=-23
33a a a ⋅=()2
2
2
a b a b
+=+()
3
2
5
a
a =ABCD 30BAC ∠=︒BD 1
3
12
23
56
x y
A ．
B ．
C ．
D ．7．已知点，，都在二次函数的图象上，点在点的左侧，则下列选项正确的是（
）．
A ．若，则．
B ．若，则．
C ．若，则．
D ．若，则．
8．如图，在四边形中，，，分别是对角线，的中点，连结
，，．则下列判断不一定正确的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．9．点，是一次函数图象上的两点，若点在如图的位置，则下列可能表示的点是（
）．
A ．
B ．
C ．
D ．10．如图，在由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”中，四边形与四边形均为正方形，连结并延长，分别交边，于点，．若，，则的长为（
）
．
5352x y x y +=⎧⎨
+=⎩5253x y x y +=⎧⎨+=⎩53125x y x y +=⎧⎨+=⎩35
251
x y x y +=⎧⎨
+=⎩(),2A a (),2B b (),7C c ()2
12y x =--A B 0c <a c b <<0c <a b c <<0c >a c b <<0c >a b c <<ABCD 90ABC ADC ∠=∠=︒M N AC BD MB MD MN MB MD =MN BD
⊥2BMC BAC
∠=∠1
2
MN BD =
(),M a b (),N c d 21y x =+()3,3P a b ()3,3c d A B C D
ABCD EFGH HF AD BC M N 2EF =1
tan 2
BAF ∠=MN
A
B ．C
D ．卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3
分，共18分．）
11．分解因式：_________．12．不等式的解是_________．
13．如图，将一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，已知，，则_________°．
14．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠于点，并使较长边与相切于点．记角尺的直角顶点为，量得，，则的半径长为_________．
15．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点．则的值为_________．
16．如图，反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴的正半轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，点经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上．则的值为_________．
2
4x -=()216x +<130∠=︒250∠=︒3∠=O A O C B 8cm AB =16cm BC =O cm A B C D AB CD P cos APC ∠()0k
y x x
=
<()1,1A -A AB y ⊥B y ()0,P t P OA l l B B 't
三、解答题（本大题有8小题，第17，18小题每题6分，第19，20小题每题8分，第21，22小题每题10分，第23，24小题每题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
17．（1）计算：．
（2
）解方程：
．18．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无
刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．
（1）找出格点，连结，，使四边形是平行四边形．（2）过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．
19．为进一步增强学生的自我保护意识，某校组织七、八年级学生开展“校园安全知识竞赛”．本次竞赛满分为10分，所有学生的成绩均为整数分，9分及以上为优秀等级．在两个年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计整理，获得如下统计图表．
七年级抽取学生的竞赛成绩统计表
成绩（分）4678910人数
2
4
3
6
3
2
七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表年级
七年级
八年级
()0
6sin 603π︒+-21
12
x x =+68⨯A B C P D CD AD ABCD P l l ABCD
统计量
平均数7.47.4
中位数8
众数
7
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_________，_________．
（2）该校七、八年级共有学生1000名，估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数．（3）你认为哪个年级的学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好？请说明理由．
20．某款便捷式手机支架如图1所示，通过调节两支架夹角的大小可改变手机屏幕的高度．图2是该款手机支架的平面示意图，已知，．
（1）当时，求点到水平桌面的距离．
（2）当由调整到时，则点到水平桌面的距离将抬高多少？（结果精确到．参考数据：，，．）
21．图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在接下来的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图2所示．
（1）当时，求关于的函数解析式．（2）当容器内的水量为时，求对应的时间．（3）每分钟的进水和出水各是多少升？
22．【特例发现】正方形与正方形如图1所示放置，，，三点在同一直线上，点在边上，连结，．通过推理证明，我们可得到两个结论：①
；②．【旋转探究】将正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度到图2所示的位置，则在“特例发现”中所得到的关于与的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
【迁移拓广】如图3，在矩形与矩形中，若，．连结，．探
a
b
a =
b =50cm AC CD ==80CAE ∠=︒80DCA ∠=︒D EB DCA ∠80︒90︒D EB 0.1cm sin 800.98︒≈cos800.17︒≈tan 80 5.67︒≈4min 8min y L x min 412x ≤≤y x 26L x ABCD AEFG G A B E AD BE DG BE DG =BE DG ⊥AEFG A BE DG ABCD AEFG 2AB AD =2AE AG =BE DG
索线段与线段存在怎样的数量关系和位置关系？为什么？
【联想发散】如图4，与均为正三角形，连结，．则线段与线段的数量关系是________；直线与直线相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为________．
23．如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，．
（1）填空：该二次函数的解析式为________．
（2）已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由．
（3）过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点
，
，若
，试求以，，，为顶点的四边形的面积．24．如图，内接于，，与直径交于点．
（1）如图1，若，．则的长为________．
（2）如图2，在上取点，使，连结并延长交于点．求证：平分．（3）如图3，在（2）的条件下，已知，
的长．BE DG ABC △ADE △BD CE BD CE BD CE 2
y x bx c =++b c x A B y C 3OC =1x =0y =()11,x y ()22,x y 122x x +=101x <<1y 2y B C P P y x M N 1
3
PM MN =O C P M ABC △O 45C ∠=︒BC AD E 60BAC ∠=︒2OE =BE BC G BG BA =AG O F AF CAD ∠10AD =AF AC =EG
2024年初中毕业生学业水平调测
数学卷评分标准
一、选择题：（30分，每小题3分）
题号12345678910答案
A
C
B
B
C
A
D
D
B
C
二、填空题：（18分，每小题3分）
11．12．13．20
14．20
15
16
三、解答题：（共72分）
17．（本题6分，每小题
3分）（1）解：原式
（2）评分说明：结果正确得2分，检验1分．18．（本题6分）
评分说明：确定点并补全平行四边形．得到直线．
19．（本题8分）
解：（1）；．（2）人．所以估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数为250人．（3）七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．
理由如下：从平均数来看，两年级相同．从“中位数”“众数”这两个统计量来看，七年级均高于八年级，从而说明七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．20．（本题8分）
解：（1）如图1，当时，，．过点作于点，
()()
22x x +-2
x <61=-1
3
x =D l 7.5a =8b =55
1000100%25040
+⨯
⨯=80DCA ∠=︒80CAE ∠=︒ CD AB ∴∥A AH CD ⊥H
在中，，
，．
点到水平桌面的距离为．
如图2，当由调整到时，则，过点作于点，，
在中，，，．
当由调整到时，点到水平桌面的距离将抬高．
21．（本题10分）
解：（1）当时，设关于的函数解析式为，
，两点在函数图象上，
，．
关于的函数解析式为．（2）当容器内的水量为时，即，由（1）知，．对应的时间．（3）每分钟的进水量为．每分钟的出水量为．
每分钟的进水量为，出水量为．
Rt ACH △50cm AC = sin sin 8050
AH AH
DCA AC ∠=︒=
=
500.9849.0cm AH ∴=⨯=∴D EB 49.0cm DCA ∠80︒90︒10DCE ∠=︒D DH CE ⊥H 80CDH ∴∠=︒Rt DCH △50cm CD = cos cos8050
DH DH
CDH CD ∠=︒=
=
500.178.5cm DH ∴=⨯=∴DCA ∠80︒90︒D EB 8.5cm 412x ≤≤y x y kx b =+()4,20 ()12,302043012k b k b =+⎧∴⎨=+⎩5415
k b ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩
y ∴x ()5
154124
y x x =
+≤≤26L 26y =5
154
y x =
+445x ∴=
∴445
x =2054=20583015
1244
+⨯-=-∴5L 15
L 4
22．（本题10分）
【旋转探究】结论仍然成立．理由如下：在正方形与正方形中，
，，，
，，，，．
延长交于点，交于点，
在与中，，，
．．
【迁移拓广】
有结论：①；②．理由如下：
，，，．，，，
，，又，，，．
【联想发散】
，．
23．（本题12分）
解：（1）．
（2），两点在该二次函数的图象上，
，，
ABCD AEFG AD AB =AG AE =90DAB GAE ∠=∠=︒11DAB GAE ∴∠-∠=∠-∠DAG BAE ∴∠=∠DAG BAE ∴△≌△DG BE ∴=ADG ABE ∠=∠DG AB K BE H DAK △BKH △ADG ABE ∠=∠ DKA BKH ∠=∠90BHK DAK ∴∠=∠=︒BE DG ∴⊥BE DG =BE DG ⊥2AB AD = 2AE AG =2AB AE AD AG ∴
==AB AD
AE AG
∴=
11GAE BAD ∠+∠=∠+∠ DAG BAE ∴∠=∠DAG BAE ∴△∽△12
DG AG BE AE ∴==AGD AEB ∠=∠AKG HKE ∠=∠ 90EHK GAK ∴∠=∠=︒2BE DG ∴=BE DG ⊥BD CE =60︒2
43y x x =-+()11,x y ()22,x y 211143y x x ∴=-+222243y x x =-+
又，，，
．
，，．
（3），，．．
设，则，．
下分两种情况：
①当时，即，如图1．
，
，
，，解得：，．（均不合题意，舍去）②当时，若，如图2．
，，
，，解得：（不合题意，舍去），．此时以，，，为顶点的四边形的面积为．
若，如图3．
122x x += 212x x ∴=-()()2
2112423y x x ∴=---+()()()2
2121111114324234441y y x x x x x x ⎡⎤∴-=-+----+=-+=-⎣⎦
101x << ()1410x ∴->12y y ∴>2
43y x x =-+ ()3,0B ∴()0,3C 3BC y x ∴=-+(),0M t (),3P t t -+()
2
,43N t t t -+P N y y >03t <<3PM t =-+ ()243MN t t =--+1
3
PM MN =()
2
31
3
43t t t -+∴
=--+13t =24t =P N y y <3t >()3PM t =--+ 243MN t t =-+1
3
PM MN =231
433
t t t -∴
=
-+13t =24t =O C P M ()1348
2
+⨯=0t <
，
，，，解得：（不合题意，舍去），．此时以，，，为顶点的四边形的面积为
．
24．（本题12分）
解：（1）4．
（2）如图1，，，，，
．即平分．
（3），不妨设，则，如图2，延长交的延长线于点，连结，
是直径，，又平分，
3PM t =-+ 243MN t t =-
+13PM MN =2314
33
t t t -+∴=-+13t =22t =-O C P M ()35282+⨯=45BGA C FAC FAC ∠=∠+∠=︒+∠ 45BAG BAD DAF DAF ∠=∠+∠=︒+∠BG BA = BGA BAG ∴∠=∠FAC DAF ∴∠=∠AF CAD ∠AF AC = AF =8AC x =DF AC H CF AD 90AFD ∴∠=︒AF CAD ∠
，，
而为等腰三角形，，
，，，由，与均为等腰三角形，
，，而，，，
而，，，解得（负值已舍去）．，，，
由（2）知，点是弧的中点，，在中，
，，
，，，，
．线段
．CAF DAF ∴∠=∠DF FC ∴=ADH △FH DF =FH FC DF ∴==10AH AD == 108CH AH AC x ∴=-=-H H ∠=∠AHD △FHC △AHD FHC ∴△∽△FC CH AD DH
∴=2DH CF =10AD =25040CF x ∴=-()2
222210DF AD AF =-=-CF DF = ()2
2504010x ∴-=-1x =AF =10AH =8AC =B ABD AB BG ===ABC △AB =8AC =45C ∠=︒BC ∴=45BAD C ∠=∠=︒ B B ∠=∠ABE CBA ∴△∽△AB BE BC AB ∴==BE ∴=EG BG BE AB BE ∴=-=-==∴EG。