高考数学一轮总复习坐标系与参数方程2参数方程课件文

考向 极坐标、参数方程的综合应用 例 3 [2016·全国卷Ⅲ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xy＝ ＝sin3αcosα， (α 为参数)．以坐标原点为极 点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极 坐标方程为 ρsinθ＋4π＝2 2. (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此 时 P 的直角坐标．
考点 2 直线、圆、椭圆的参数方程
曲线
参数方程
过点 M(x0，y0)，倾 斜角为 α 的直线 l
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttscionsαα， (t 为参数)
圆心在点 M(x0，y0)， 半径为 R 的圆
xy＝ ＝xy00＋ ＋RRcsionsθθ， (θ 为参数)
曲线 圆心在原点，半径为 R 的圆 椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)
(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标； (2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB| 的最大值．
解 (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，曲线
x＝t＋2， y＝1－2t
(t 为参数)与曲线 C2：xy＝ ＝33csionsθθ，
(θ 为参数)
相交于 A、B 两点，则线段 AB 的长为___4_____．
解析 曲线 C1 是直线 2x＋y－5＝0，曲线 C2 是圆 x2＋ y2＝9，圆心到直线的距离 d＝ 45＋1＝ 5，所以弦长为 2 r2－d2＝2 9－5＝4.
[解] 椭圆 C 的普通方程为 x2＋y42＝1.
x＝1＋12t，
将直线 l 的参数方程
y＝
3 2t
代入 x2＋y42＝1，

得1＋12t2＋
243t2＝1，即
7t2＋16t＝0，解得
t1＝0，t2
＝－176.所以 AB＝|t1－t2|＝176.
触类旁通 直线的参数方程的标准形式
(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁， 代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式， 以便于寻找最佳化简途径．
【变式训练 3】 [2015·全国卷Ⅱ]在直角坐标系 xOy 中，
曲线 C1：xy＝ ＝ttcsionsαα， (t 为参数，t≠0)，其中 0≤α<π.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝ 2sinθ，C3：ρ＝2 3cosθ.
选修4—4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 1 参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、 y 都是某个变数 t 的函数xy＝ ＝fgtt， (*)，如果对于 t 的每一 个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上， 那么方程组(*)就叫做这条曲线的 参数方程 ，变数 t 叫做参 数．
【变式训练 1】 在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯 第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命 名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)， 在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上 给定两点 A，B 设 P 点在同一平面上且满足PPAB＝λ(λ>0 且 λ≠1)，P 点的轨迹是个圆”．这个圆我们称之为“阿波罗尼 奥斯圆”．已知点 M 与长度为 3 的线段 OA 两端点的距离 之比为OMMA＝12，建立适当坐标系，求出 M 点的轨迹方程并 化为参数方程．
4．设 P(x，y)是曲线 C：xy＝ ＝s－in2θ＋cosθ， (θ 为参数， θ∈[0,2π))上任意一点，则yx的取值范围是___－ ___3_3_，__3_3___．
解析 yx表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设yx＝k，
则原问题转化为 y＝kx 和圆有交点的问题，即圆心到直线的
解 由题意，以 OA 所在直线为 x 轴，过 O 点作 OA 的垂线为 y 轴，建立直角坐标系，设 M(x，y)，则 O(0,0)， A(3,0)．因为OMMA＝12，即 x－x23＋2y＋2 y2＝12，化简得(x＋1)2＋ y2＝4，所以 M 的轨迹是以(－1,0)为圆心，2 为半径的圆．
距离 d≤r，所以 |－ 1＋2kk|2≤1，解得－ 33≤k≤
3 3.
5．[2017·南京模拟]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和
C2
的
参
数
方
程
分
别
为
x＝cosθ＋sinθ， y＝cosθ－sinθ
(θ 为 参 数 ) 和
x＝2－t， y＝t
(t 为参数)．以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极
参数方程
x＝Rcosθ， y＝ Rsinθ
(θ 为参数)
x＝acosφ， y＝bsinφ
(φ 为参数)
[双基夯实]
一、疑难辨析
判 断 下 列 结 论 的 正 误 ． ( 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打
“×”)
1
．
参
数
方
程
x＝t＋1， y＝2－t
(t≥1) 表 示 的 曲 线 为 直
[解]
(1)由曲线 C1：xy＝ ＝sin3αco，sα，

得
x3＝cosα，
y＝sinα，
即曲线 C1 的普通方程为x32＋y2＝1.
由曲线 C2：ρsinθ＋4π＝2 2，得 22ρ(sinθ＋cosθ)＝2 2，
即曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cosα，sinα)．因
为 C2 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α) 的最小值，
d(α)＝|
3cosα＋sinα－4|＝ 2
2sinα＋π3－2.
当且仅当 α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小
C2 的交点的直角坐标为(1,1)．ρ＝ 12＋12＝ 2，因为 tanθ ＝11＝1，点(1,1)在第一象限上，所以 θ＝π4，所以曲线 C1 与

C2 的交点的极坐标为
2，π4.
板块二 典例探究·考向突破
考向 参数方程与普通方程的互化 例 1 [2015·福建高考]在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为xy＝ ＝－ 1＋23＋co3ssti， nt (t 为参数)．在极坐标系(与平 面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点， 以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 2ρsinθ－π4＝ m(m∈R)． (1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值．
物线xy＝ ＝44tt2， (t 为参数)上，则|PF|等于(
)
A．4
B．3
C．2
D．5
解析 由xy＝ ＝44tt2， (t 为参数)，得 y2＝4x，则焦点为 (1,0)，准线 x＝－1，故|PF|＝3＋1＝4.故选 A.
3．[课本改编]在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：
【变式训练 2】 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数 方程为xy＝ ＝1t－ ＋3t， (t 为参数)，在以直角坐标系的原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标 方程为 ρ＝2scino2sθθ.
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求△AOB 的面 积．
过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线参数方程的标准 形式为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsionsαα， (t 为参数)，t 的几何意义是直线上 的点 P 到点 P0(x0，y0)的数量，即 t＝|PP0|时为距离．使用该 式时直线上任意两点 P1、P2 对应的参数分别为 t1、t2，则|P1P2| ＝|t1－t2|，P1P2 的中点对应的参数为12(t1＋t2)．
(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y2 ＝2x，得 t2－8t＋7＝0，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1， t2 ， 则 t1 ＋ t2 ＝ 8 ， t1t2 ＝ 7 ， 所 以 |AB| ＝ 2 |t1 － t2| ＝ 2 × t1＋t22－4t1t2＝ 2× 82－4×7＝6 2，因为原点到直 线 x－y－4＝0 的距离 d＝ |－ 1＋4|1＝2 2，所以△AOB 的面积 是12|AB|·d＝12×6 2×2 2＝12.
由圆的参数方程可得xy＝ ＝22csionsθθ.－1，
考向 直线的参数方程 例 2 [2016·江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，已知
直线
lห้องสมุดไป่ตู้
的参数方程为 x＝1＋12t，
y＝
3 2t
(t 为参数)，椭圆 C 的参
数方程为xy＝ ＝c2osisnθθ， (θ 为参数)．设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长．
值为 2，此时 P 的直角坐标为32，12.
触类旁通 极坐标与参数方程综合应用中注意的问题
(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切 线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标 解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解 决．转化时要注意两坐标系的关系，注意 ρ，θ 的取值范围， 取值范围不同对应的曲线不同．
二、小题快练
1．
[
课本
改编
]
曲线
x＝5cosθ， y＝4sinθ
(θ 为参数)的焦距是
(
)
A．3
C．8
B．6 D．10
解析 由曲线xy＝ ＝54csionsθθ， (θ 为参数)，知该椭圆 a＝5，
b＝4，所以 c＝ a2－b2＝3，椭圆的焦距为 6，选 B.
2．[2017·苏州模拟]已知点 P(3，m)在以 F 为焦点的抛
解 (1)由曲线 C 的极坐标方程 ρ＝2scino2sθθ，得 ρ2sin2θ＝ 2ρcosθ，所以曲线 C 的直角坐标方程是 y2＝2x.由直线 l 的 参数方程xy＝ ＝1t－ ＋3t， ， 得 t＝3＋y，代入 x＝1＋t 中，消去 t 得 x－y－4＝0，所以直线 l 的普通方程为 x－y－4＝0.
[解] (1)消去参数 t，得到圆 C 的普通方程为(x－1)2＋ (y＋2)2＝9.
由 2ρsinθ－π4＝m，得 ρsinθ－ρcosθ－m＝0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋m＝0. (2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2， 即|1－－22＋m|＝2，解得 m＝－3±2 2.
线．( × )
2．直线 y＝x 与曲线xy＝ ＝33csionsαα， (α 为参数)的交点个
数为 1.( × )
3．直线xy＝ ＝－ 1＋2＋ tsintc1o5s03°0°， (t 为参数)的倾斜角 α 为 30°.( √ )
4．参数方程xy＝ ＝25csionsθθ， θ为参数且θ∈0，π2表示的 曲线为椭圆．( × )
轴，建立极坐标系，则曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标为

2，4π
.
解析 曲线 C1：xy＝ ＝ccoossθθ＋ －ssiinnθθ， (θ 为参数)的普通方
程为 x2＋y2＝2，曲线 C2：xy＝ ＝2t －t， (t 为参数)的普通方
程为 x＝2－y.由xx2＝＋2y－2＝y， 2， 得xy＝ ＝11， ， 所以曲线 C1 与
触类旁通 将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结 构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消 参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数 方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2θ＋cos2θ＝1 等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等 价性，不要增解．