泰勒公式余项

a n 1 xn
2!
n!

a

a
1 n
a 1!

n

1


an1
xn1
1 x
5. ln 1+x x 1 x2 1 x3 1 n1 1 xn o xn ;
23
n


1n

n
xn1
11

n1
其误差 | R2(n(2(4nx))2n|1)1s|!i(n((12)nn1x(12c)n!o2.ms211)为! x)使2n公1 |式 (误|2xn差|2n小11)!于 510 7 ,
取n 5即可,因为
1 3108. 11!
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铃
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) ,
则马克劳林为：
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
解 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!

x4 24
x4
令
0.005
24
解得
x 0.588
即当 x 0.588 时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到源自0.005 .首页上页
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( 在 x0 与x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f (x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( )
2 (!
(x x0 )2
在 x0 与x
之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
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•误差估计
设M是 | f (n1) (x) | 在[x0，x]或[x, x0 ]上的一个上界，那么
泰勒公式的误差
Rn (x)
f (x) [ f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(
n) (x0 n!
)
(
x

x0
)
n


f
(n) (x0 n!
)
(x

x0
)n
]
有下列估计公式：
||RRnn((xx))|||| ff(((n(nnn11)1)1()()!!))((xxxx00))nn11||((nnMM11))!!||xxxx00||nn11
1 x .
习题 4-3 1. (2),(5);2.(1);3.(1);4.(1),(2);6.
补例 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过
解: 已知 的麦克劳林公式为
ex 1 x x2 x3 xn
2! 3!
n!
令x=1,得
11 1 1
e
故得到 即
F ( x) f (n1) (xn1) ,
G(x) (n 1)!
将xn1换成 , 上式
F ( x)

f
(n1) ( xn1) (n 1)!
(x

x0
)n1.
就是要证的公式 .
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f (x)
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
证 假如x x0，则上述公式显然成立 . 因此，不妨设
x x0. 我们令

f (x0 )

f
(x 1!
0
)
(t

x0
)


f
(n) (x0 n!
)
(t

x0
)
n
,
G(t) (t x0 )n1,
其中x0 t x或x t x0.容易验证
F (x0 ) G(x0 ) 0, F (k) (x0 ) G(k) (x0 ) 0, k 1,2,, n.
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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补例 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
f
(x0 ) (x 2!

x0 )2

特例:
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
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初等函数带拉格朗日余项的几个泰勒公式:
1.
ex 1 x
x2 2!
x3 3!


xn n!
e xn1 (n 1) !
( x ).
2. sinx x 1 x3 3!


1 n1

x 2 n 1
2n 1!

1n
由柯西中值定理
F ( x) G(x)

F(x) F(x0) G(x) G(x0 )

F (x1) G( x1 )
,
其中x1是介于x0与x之间的一点.
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F (x1) F (x1) F (x0 ) F (x2) , G(x1) G(x1) G(x0 ) G(x2 )
2!
n ! (n 1) !
由于 0 e e 3, 欲使
Rn (1)

3 106 (n 1) !
(0 1) (0 1)
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e 11 1 1 2.718281
2!
9!
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例1 设 x ,在使用带拉格朗日余项的泰勒公式
cos
2n 1!
x 2 n 1
x ;
3. cosx 1 1 x2 2!

1n
x2n
2n!


1 n1

cos
2n 2!
x
4. 1+xa 1 ax a a 1 x2
a a 1

其其中中 Rn(x)
f (n1)( )
(n 1)!
(x

x0)n1
((介于xx00与与x之x 之间间) )
而Rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项
注意
Rn (x) o[(x x0 )n ]
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为带皮
亚诺(Peano) 余项 的泰勒公式.
4-4 关于泰勒公式的余项
定理 1 设函数f(x)在(a b)内有(n1)的阶导数,则对(a b) 中任意取定的一点x0及任意的x(a, b) 有
f
(x)

f
(x0)

f
(x0)(x

x0)

1 2!
f
(x0)(x

x0)2




1 n!
f
(n) (x0)(x
x0)n

Rn(x)
x f
(nx1)0f()2x(!)0)fxM22(x!,0)则(x有误fx(0nn差))!2(0估) 计xn式

f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
x0 )n Mf((nn1x)1()n!)1 (x x0 )n1
(n 1) !
( 在 x0 与x 之间)
其中x2是介于x0与x1之间的一点. 也即是介于 x0与x 之间的一点. 如此下去，共使用n 1次柯西中值定理，最后得到
F ( x) G(x)

F (n1) G(n1)
( (
xn1) xn1 )
,
其中xn
是介于
1
x0与x1之间的一点
.
另一方面，不难看出
F (n1) (t) f (n1) (t), G(n1) (t) (n 1)!,
4
4
计算sin x时，为使公式误差小于5107。应在泰勒公式中
取多少项？
解
f (n) (x) sin(x n ),
2
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 (1)n cos x2n1.
3! 5!
(2n 1) !
(2n 1)!