反比例函数知识点总结

反比例函数知识点归纳
知识点1 反比例函数的定义
一般地，形如x
k
=
y （ k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来
理解：
（1）x 是自变量， y 是 x 的反比例函数；
（2）自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数值的取值范围是y ≠0. （3）比例系数k ≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分； （4）反比例函数有三种表达式：
①x
k =
y （k ≠0）
②1
y -=kx
（k ≠0）
③k y x =∙（定值）（k ≠0）
（5）函数
x k =y （k ≠0）与y k
=x （k ≠0）是等价的，所以当y 是x 的反比
例函数时， x 也是y 的反比例函数。

（ k 为常数，k ≠0 ）是反比例函数的一部
分，当k=0时，x
k
=
y 就不是反比例函数了，由于反比例函数 x
k
=
y （k ≠0）中，只有一个
待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数x
k
=
y （k ≠0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可
以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3 反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x ≠0 ，函数值y ≠0 ，所
以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；
④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4 反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说， 当 k>0时，y 随 x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的。

反过来，由反
比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。

如x
k
=
y 在第一、
三象限，则可知k ＞0。

k
☆反比例函数x
k
=
y （k ≠0）中比例系数k 的绝对值k 的几何
意义。

y
如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、 y 轴的垂线，
E 、
F 分别为足，则
OEPF S PE PF k 矩形=∙=∙==y x xy
☆反比例函数x
k =
y （k ≠0）中，k 越大，双曲线x
k =
y 越远离坐标原点；k 越小，双曲线
x
k =
y 越靠近坐标原点。

☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线 y=－x 。

反比例函数练习题
一、选择题（每题3分共30） 1、下列函数中，反比例函数是（ ）
A 、y=x+1
B 、2
1
y x = C 、
1=x
y
D 、3xy=2 2、函数y 1=kx 和x
k
=
2y 的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）
3、函数x
m
=
y 与m mx -=y (m ≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
4、反比例
函数2
x
k
y =(k ≠0)的图象的两个分支分别位于（
）象限。

A 、一、二
B 、一、三
C 、二、四
D 、一、四5、当三角形的面积一定时，三角形的底和底边上的高成（
）关系。

A 、正比例函数
B 、反比例函数
C 、一次函数
D 、二次函数 6、若点A(x1,1) 、B(x2,2)、C(x3,－3)在双曲线x
1
y -
=上，则（ ） A 、x1>x2>x3 B 、x1>x3>x2 C 、x3>x2>x1 D 、x3>x1>x2 7、如图1：是三个反比例函数:x k 1y ==
，x k
2y ==，x
k 3y == 在 x 轴上
的图像，由此观察得到k1、k2、k3 的大小关系为（ ） A 、k1>k2>k3 B 、k1>k3>k2 C 、k2>k3>k1 D 、k3>k1>k2
8、已知双曲线上x
k
=
y 上有一点P(m,n)且 m 、n 是关于03t 2=+-k t t 的一元二次方程，且
P 点到原点的距离为3，则双曲线的表达式为（ ） ）
A 、x 2y =
B 、x 3y -=
C 、x 2-y =
D 、x
4
y = 9、如图2，正比例函数y=x 与反比例x
y 1
-=的图象相交于A 、C 两点， AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x
轴于D ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A 、1
B 、23
C 、2
D 、2
5
10、如图3，已知点A 是一次函数y=x 的图象与反比例函数x
2
y =
的图象在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）
A 、2
B 、
2
2
C 、2
D 、22
二、填空（每题3分共30分）
1、已知y 与(2x+1) 成反比例且当x=0 时， y=2，那么当x=－ 1时， y=
2、如果反比例函数x
k =
y 的图象经过点(3,1)，那么k=
3、设反比例函数x
k 1y +=的图象经过点(x1,y1) 和(x2,y2)且有y1>y2，则k 的取值范围是。

4、若点（2,1）是反比例x
m m 1
2y 2-+=的图象上一点，当y=6 时，则x=。

5、函数x
21
y -
=与y=－2x 的图象的交点的坐标是 。

6、如果点（m,-2m ）在双曲线x
k =
y 上，那么双曲线在
象限。

7、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数x
ab
=y 的函数值随x 的增大而 。

8、已知
023
x =+y
，那么y 与x 成 比例，k= ，其图象在第 象限。

9、菱形面积为12cm 2，且对角线长分别为xcm 和ycm ，则y 关于x 的函数关系式是
10、反比例函数2
2
)12(y --=m x m ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是
三、解答题
1、（10分）y=kx 与反比例函数x
y 3
=
的图像都过A （m ，1）.求： (1)正比例函数的解析式；
(2)正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标．
2、（10分）一次函数的图象与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数的图象交于C 、D 两点，如果A 点坐标为2,0)，点 C 、D 在第一、三象限，且OA=OB=AC=BD ，试求一次函数和反比例函数的解析式？
3、（10分）如图，矩形ABCD ，AB = 3，AD = 4，以AD 为直径作半圆，M 为BC 上的一动点，可与B ，C 重合，AM 交半圆于N ，设AM=x ，DN=y ，求出y 关于自变量x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.
4、（10分）某蓄水池的排水管每时排水8m 3，6 小时（h ）可将满水池全部排空。

（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每时的排水量达到Q （m 3
）,那么将满池水排空所需的时间t(h)
将如何变化？
（3）写出t 与Ｑ之间的关系式
（4）如果准备在5h 内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每时12m 3,那么最少多长时间可将满池水全部排空？
5、（10分）已知反比例函数x
k
=
y 的图象经过点A （4,
2
1），若一次函数y=x+1的图象沿x 轴平移后经过该反比例函数图象上的点B(2,m)，求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标？ 6、（10分）已知反比例函数x
k
2y =和一次函数y=2x －1，其中一次函数的图象经过(a,b)，(a+k ，b+k+2) 两点。

（1）求反比例函数的解析式？
（2）已知A 在第一象限，是两个函数的交点，求A 点坐标？
（3）利用②的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？ 答案：
一、DCBBBCCCC
二、-2；3；k ＞-1；
31；（21-，1）（2
1
，-1）；二、四；减小；反，-6、二、四；x
24
y =
；-1
三、
1、3
y x =
；（ -3，-1） 2、y=x-2；x
2
22y +=
3、x
12
y =，（3≤x ≤5）
4、48m 3；减小；Q
48t =；3
m 548；4 小时
5、（1，0）
6、x
1
y ；A （1，1）；存在，分别为（1，0）（ 2, 0）。