高三数学二轮专题复习 13基本初等函数Ⅰ课后作业 新人

【走向高考】2014届高三数学二轮专题复习 1-3基本初等函数Ⅰ课
后作业 新人教A 版
基本素能训练
一、选择题
1．(2013·浙江理，3)已知x 、y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y
＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )
＝2lg x ·2lg y
C ．2
lg x ·lg y ＝2lg x
＋2lg y
D ．2
lg(xy )
＝2lg x
·2lg y
[答案] D [解析] 2
lg(xy )
＝2
(lg x ＋lg y )
＝2lg x ·2lg y
.
点评：熟练掌握指、对公式是解决此类题的关键．
2．(2013·榆林一中模拟)若A ＝{x |2<2x <16 x ∈Z}，B ＝{x |x 2
－2x －3<0}，则A ∩B 中元素个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 [答案] B
[解析] 由2<2x
<16得1<x <4，∴A ＝{2,3}，由x 2
－2x －3<0得，－1<x <3，∴A ∩B ＝{2}，故选B.
3．(文)(2013·霍邱二中模拟)设a ＝log 954，b ＝log 953，c ＝log 545，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c [答案] D
[解析] ∵y ＝log 9x 为增函数，∴log 954>log 953，∴a >b ，又c ＝log 545＝1＋log 59>2，
a ＝log 954＝1＋log 96<2，∴c >a >
b ，故选D.
(理)(2013·新课标Ⅱ文，12)若存在正数x 使2x
(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞) [答案] D
[解析] 由题意得，a >x －(12
)x
(x >0)，
令f (x )＝x －(12)x
，则f (x )在(0，＋∞)上为增函数，
∴f (x )>f (0)＝－1，∴a >－1，故选D.
4．(2013·南开中学月考)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (1
3
)
＝0，则不等式f (log 1
8
x )>0的解集是( )
A ．(0，1
2
) B ．(2，＋∞)
C ．(0，12)∪(2，＋∞)
D ．(1
2，1)∪(2，＋∞)
[答案] C
[解析] 解法1：∵偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上为减函数， 又f (13)＝0，∴f (－1
3
)＝0，
由f (log 18x )>0得，log 18x >13或log 18x <－13，
∴0<x <1
2
或x >2，故选C.
解法2：∵f (x )为偶函数，∴f (log 18x )>0化为f (|log 1
8
x |)>0，
∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (13)＝0，∴|log 18x |>13，∴|log 8x |>13，∴log 8x >1
3或
log 8x <－1
3
，
∴x >2或0<x <1
2
.
5．(2013·重庆一中月考)下列函数图象中不正确的是( )
[答案] D
[解析] 由指数函数、对数函数的图象与性质知A 、B 正确，又C 是B 中函数图象位于
x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，故C 正确．
∵y ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨
⎪⎧
log 2x
x >0
log 2－x
x <0
是偶函数，其图象关于y 轴对称，故D 错误．
6．(2013·江西八校联考)已知实数a 、b ，则“2a
>2b
”是“log 2a >log 2b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] 由y ＝2x
为增函数知，2a
>2b
⇔a >b ；由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数知，
log 2a >log 2b ⇔a >b >0，∴a >b ⇒/ a >b >0，但a >b >0⇒a >b ，故选B.
二、填空题
7．(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
|x |－1，x ≤1，2－2x
，x >1，
若f (x )＝1，则x ＝________.
[答案] －2
[解析] 当x ≤1时，由|x |－1＝1，得x ＝±2，故可得x ＝－2；当x >1时，由2－2x
＝1，得x ＝0，不适合题意．故x ＝－2.
(理)(2013·大兴区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2－x
－1 x ≤0，x 1
2 x >0.在区间[－1，m ]上的最
大值是1，则m 的取值范围是________．
[答案] (－1,1]
[解析] ∵f (x )＝2－x
－1＝(12)x －1在[－1,0]上为减函数，∴在[－1,0]上f (x )的最大
值为f (－1)＝1，又f (x )＝x 1
2
在[0，m ]上为增函数，∴在[0，m ]上f (x )的最大值为m ，∵
f (x )在区间[－1，m ]上的最大值为1，
∴⎩⎨
⎧
m >0，m ≤1，
或－1<m ≤0，∴－1<m ≤1.
8．(2012·湖北鄂州市一模)已知x ＋x －1
＝3，则x 12－x －12＝________.
[答案] ±1
[解析] (x 12－x －12)2＝(x 12)2－2x 12·x －12＋(x －12)2＝x ＋x －1
－2＝3－2＝1，∴x 12－x －
12＝±1.
9．计算(lg 14－lg25)÷100－1
2＝________.
[答案] －20
[解析] 原式＝lg0.01÷100－1
2
＝－2×10＝－20.
能力提高训练
一、选择题
1．(2013·天津和平区质检)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x 3
＋x －2的零点分别为x 1、x 2、x 3，则( )
A ．x 3<x 1<x 2
B ．x 1<x 3<x 2
C ．x 2<x 3<x 1
D ．x 1<x 2<x 3 [答案] D
[解析] x 1＝－2x 1<0，若x >1，则g (x )＝x ＋ln x >1，∴0<x 2<1，x 3＝1，∴x 1<x 2<x 3. 2．(文)(2013·榆林一中模拟)命题p ：函数f (x )＝a x
－2(a >0且a ≠1)的图象恒过点(0，－2)；命题q ：函数f (x )＝lg|x |(x ≠0)有两个零点．
则下列说法正确的是( )
A ．“p 或q ”是真命题
B ．“p 且q ”是真命题
C ．綈p 为假命题
D ．綈q 为真命题 [答案] A
[解析] ∵f (0)＝a 0
－2＝－1，∴p 为假命题；令lg|x |＝0得，|x |＝1，∴x ＝±1，故q 为真命题，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，綈p 为真，綈q 为假，故选A.
(理)(2013·德阳市二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋12，x ≤0log 2x ，x >0
(其中a ∈R)，函数g (x )
＝f [f (x )]＋1.下列关于函数g (x )的零点个数的判断，正确的是( )
A ．当a >0时，有4个零点；当a <0时，有2个零点，当a ＝0时，有无数个零点
B ．当a >0时，有4个零点；当a <0时，有3个零点，当a ＝0时，有2个零点
C ．当a >0时，有2个零点；当a ≤0时，有1个零点
D ．当a ≠0时，有2个零点；当a ＝0时，有1个零点 [答案] A
[解析] 取a ＝1，令x ＋12＝－1得x ＝－32，令log 2x ＝－1得，x ＝12.令x ＋12＝－3
2得x
＝－2，令log 2x ＝－32得x ＝2－32，令log 2x ＝12得x ＝2，令x ＋12＝1
2
得x ＝0，由此可排除C 、
D ；令a ＝0，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
12
x ≤0，
log 2x x >0.
由log 2x ＝－1得x ＝12，由f (x )＝1
2
知，对任
意x ≤0，有f (x )＝1
2
，故a ＝0时，g (x )有无数个零点．
3．(文)(2013·天津市六校联考)设a ＝30.5
，b ＝log 32，c ＝cos2，则( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．a <b <c D ．b <c <a [答案] B
[解析] a ＝30.5
>1，b ＝log 32∈(0,1)，c ＝cos2<0， ∴c <b <a ，故选A.
(理)(2013·天津南开中学月考)设a ＝(34)23，b ＝(23)34，c ＝log 234
3，则a 、b 、c 的大小
关系是( )
A ．a >c >b
B ．a >b >c
C ．c >b >a
D ．b >c >a [答案] B
[解析] ∵y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，34>2
3
，
∴(34)23>(23)23.又y ＝(23)x 在R 上为减函数，34>23，∴0<(23)34<(23)2
3，∴a >b >0， 又y ＝log 2
3x 在(0，＋∞)上为减函数，
∴log 2343<log 2
3
1＝0，∴a >b >c .
4．(2013·新课标Ⅱ文，8)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b [答案] D
[解析] 本题考查换底公式，对数函数的性质． ∵log 25>log 23>log 22＝1，∴1>
1log 23>1
log 25
>0，由换底公式得0<log 52<log 32<1，故c >a >b ，选D.
5．(2013·安徽理，6)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >1
2
}，则
f (10x )>0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >－lg2}
B ．{x |－1<x <－lg2}
C ．{x |x >－lg2}
D ．{x |x <－lg2}
[答案] D
[解析] 由条件知f (x )>0的解集为{x |－1<x <1
2}，
又已知f (10x
)>0，
∴－1<10x <1
2
，∴x <－lg2.
6．(2013·新课标Ⅱ文，11)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )
A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0
B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形
C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减
D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 [答案] C
[解析] 本题考查函数的图象与性质及导数的应用．
由题意得，f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，该函数图象开口向上，若x 0为极小值点，如图，f ′(x )的图象应为：
故f (x )在区间(－∞，x 0)不单调递减，C 错，故选C. 二、填空题
7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
log 3x ＋1，x >0，3－x
，
x ≤0.若f (m )>1，则m 的取值范围是
________．
[答案] (－∞，0)∪(2，＋∞)
[解析] 当m >0时，由f (m )>1得，log 3(m ＋1)>1， ∴m ＋1>3，∴m >2；
当m ≤0时，由f (m )>1得，3－m
>1. ∴－m >0，∴m <0. 综上知m <0或m >2.
8．(2013·吉林省吉大附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
－1，x >0，
－x 2
－2x ，x ≤0，
若函数g (x )＝
f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．
[答案] (0,1)
[解析] 函数f (x )的图象如图所示：
当0<m <1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象有三个交点． 三、解答题
9．(文)设函数f (x )＝x 2
＋x －14
.
(1)若函数f (x )的定义域为[0,3]，求f (x )的值域；
(2)若f (x )的定义域为[a ，a ＋1]时，值域为[－12，1
16]，求a 的值．
[解析] (1)∵f (x )＝x 2
＋x －14＝(x ＋12)2－12，
∴对称轴为x ＝－1
2
.
∵－1
2<0≤x ≤3，∴f (x )在[0,3]上单调递增，
∴f (x )的值域为[f (0)，f (3)]，即[－14，47
4
]．
(2)∵f (x )的最小值为－1
2，
∴对称轴x ＝－1
2
∈[a ，a ＋1]，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤－1
2
，
a ＋1≥－1
2
，解得－32≤a ≤－12
.
又∵区间[a ，a ＋1]的中点为x 0＝a ＋1
2
，
∴当a ＋12≥－12，即－1≤a ≤－12时，f (x )的最大值为f (a ＋1)＝116，即(a ＋1)2
＋(a ＋
1)－14＝1
16
，
∴16a 2
＋48a ＋27＝0， ∴a ＝－34(a ＝－9
4
舍去)．
当a ＋12<－12，即－32≤a <－1时，f (x )的最大值为f (a )＝116，∴a 2＋a －14＝116，∴16a
2
＋16a －5＝0，
∴a ＝－54(a ＝1
4舍去)．
综上，a ＝－54或a ＝－3
4
.
(理)已知函数f (x )＝1
x
＋a ln x (a ≠0，a ∈R)．
(1)若a ＝1，求实数f (x )的极值和单调区间；
(2)若a <0且在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)因为f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1
x
2，
当a ＝1时，f ′(x )＝
x －1
x 2
，令f ′(x )＝0， 得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f ′(x )
－
＋
f (x ) ↘ 极小值 ↗
所以x ＝1时，f (x )的极小值为1.
f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
(2)因为f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x 2，且a ≠0，令f ′(x )＝0，得x ＝1
a
，若在区间(0，
e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，其充要条件是f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.
因为a <0，所以x ＝1
a
<0，f ′(x )<0对x ∈(0，＋∞)成立，
所以f (x )在区间(0，e]上单调递减，
故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a lne ＝1
e ＋a ，
由1e ＋a <0，得a <－1e ，即a ∈(－∞，－1
e
)． 10．已知函数f (x )＝a ·2x
＋b ·3x
，其中常数a 、b 满足a ·b ≠0. (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；
(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．
[解析] (1)设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(a ·2x 1＋b ·3x 1)－(a ·2x 2＋b ·3x 2)＝a ·(2x 1
－2x 2)＋b ·(3x 1－3x 2)，
由x 1<x 2得，2x 1－2x 2<0,3x 1－3x 2<0，因为a ·b >0， 当a >0，b >0时，f (x 1)－f (x 2)<0，f (x )为增函数； 当a <0，b <0时，f (x 1)－f (x 2)>0，f (x )为减函数． (2)由f (x ＋1)>f (x )得，a ·2
x ＋1＋b ·3
x ＋1
>a ·2x ＋b ·3x ，即a ·2x >－2b ·3x
，
因为a ·b <0，所以a 、b 异号．。