北京市海淀区2019-2020学年中考数学考前模拟卷(5)含解析

北京市海淀区2019-2020学年中考数学考前模拟卷（5）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（）
A．0.9米B．1.3米C．1.5米D．2米
2．下列运算正确的是（）
A．a•a2＝a2B．（ab）2＝ab C．3﹣1＝1
3
D．5510
+=
3．关于x的一元二次方程x2﹣23x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3D．m≥3
4．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任
意摸出1个球，是红球的概率为1
3
，则a等于（）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（）
A．1
5
B．
3
10
C．
1
3
D．
1
2
6．在平面直角坐标系内，点P（a，a+3）的位置一定不在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（）
A．
2
3
x
x
≥
⎧
⎨
>-
⎩
B．
2
3
x
x
≤
⎧
⎨
<-
⎩
C．
2
3
x
x
≥
⎧
⎨
<-
⎩
D．
2
3
x
x
≤
⎧
⎨
>-
⎩
8．如图，AB∥ED，CD=BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（）
A．AC=EF B．BC=DF C．AB=DE D．∠B=∠E
9．某校九年级一班全体学生2017年中招理化生实验操作考试的成绩统计如下表，根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（）
成绩（分）30 29 28 26 18
人数（人）32 4 2 1 1
A．该班共有40名学生
B．该班学生这次考试成绩的平均数为29.4分
C．该班学生这次考试成绩的众数为30分
D．该班学生这次考试成绩的中位数为28分
10．在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
11．下表是某校合唱团成员的年龄分布.
年龄/岁13 14 15 16
频数 5 15 x 10x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）
A．众数、中位数B．平均数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差
12．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|c﹣a|﹣|a+b|的值等于（）
A．c+b B．b﹣c C．c﹣2a+b D．c﹣2a﹣b
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为____m.
14．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，
可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．
15．用4块完全相同的长方形拼成正方形(如图)，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个、的等式为________.
关于a b
16．阅读下面材料：
数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P.用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”
小艾的作法如下：
（1）在直线l上任取点A，以A为圆心，AP长为半径画弧．
（2）在直线l上任取点B，以B为圆心，BP长为半径画弧．
（3）两弧分别交于点P和点M
（4）连接PM，与直线l交于点Q，直线PQ即为所求．
老师表扬了小艾的作法是对的．
请回答：小艾这样作图的依据是_____．
17．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________
18．安全问题大于天，为加大宣传力度，提高学生的安全意识，乐陵某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池．小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
20．（6分）. 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树
状图或表格列出点M 所有可能的坐标，并求出点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．
21．（6分）如图， 二次函数2
3y ax bx =++的图象与 x 轴交于()30A -,
和()10B ,两点，与 y 轴交于点 C ，一次函数的图象过点 A 、C ．
（1）求二次函数的表达式
（2）根据函数图象直接写出使二次函数值大于一次函数值的自变量 x 的取值范围． 22．（8分）计算：（﹣1）2018﹣29+|1﹣3|+3tan30°． 23．（8分）解方程：
25
2112x x x
+--＝1． 24．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，DB ⊥AB ，点E 是BC 边的中点，过点E 作EF ⊥CD ，垂足为F ，交AB 的延长线于点G ． （1）求证：四边形BDFG 是矩形；
（2）若AE 平分∠BAD ，求tan ∠BAE 的值．
25．（10分）某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下： 甲 7.2 9.69.67.89.3 4 6.58.59.99.6 乙 5.89.79.76.89.96.98.26.78.69.7 根据上面的数据，将下表补充完整：
4.0≤x≤4.9
5.0≤x≤5.9
6.0≤x≤6.9
7.0≤x≤7.9
8.0≤x≤8.9
9.0≤x≤10.0
甲 1 0 1 2 1 5
乙____ ____ _____ ______ _____ _______
（说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7.0～7.9万元为良好，6.0～6.9万元为合格，6.0万元以下为不合格）
两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
结论：
人员平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）
甲8.2 8.9 9.6
乙8.2 8.4 9.7
（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有______个；
（2）可以推断出_____业务员的销售业绩好，理由为_______．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）26．（12分）尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，保留痕迹．
已知：如图，线段a，h．
求作：△ABC，使AB=AC，且∠BAC=∠α，高AD=h．
27．（12分）如图,在中，,点是上一点．尺规作图：作，使与、
都相切．（不写作法与证明，保留作图痕迹）若与相切于点D，与的另一个交点为点，连接、，求证：．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
试题分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
解：在Rt△ACB中，AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=1，
∴AC=2，
∵BD=0.9，
∴CD=2.1．
在Rt△ECD中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.12=0.19，
∴EC=0.7，
∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.2．
故选B．
考点：勾股定理的应用．
2．C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据积的乘方对B进行判断；根据负整数指数幂的意义对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．
【详解】
解：A、原式＝a3，所以A选项错误；
B、原式＝a2b2，所以B选项错误；
C、原式＝1
3
，所以C选项正确；
D、原式＝D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．也考查了整式的运算．
3．A
【解析】
分析：根据关于x的一元二次方程x2有两个不相等的实数根可得△=（2-4m＞0，求出m的取值范围即可．
详解：∵关于x的一元二次方程x2有两个不相等的实数根，
∴△=（2-4m＞0，
点睛：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 4．A 【解析】 【分析】 【详解】
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：
21
233
a =++， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A.
5．D 【解析】 【分析】
两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可． 【详解】
因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，
所以P(飞镖落在黑色区域)=48=12
. 故答案选：D. 【点睛】
本题考查了几何概率，解题的关键是熟练的掌握几何概率的相关知识点. 6．D 【解析】 【分析】
判断出P 的横纵坐标的符号,即可判断出点P 所在的相应象限. 【详解】
当a 为正数的时候,a+3一定为正数,所以点P 可能在第一象限,一定不在第四象限, 当a 为负数的时候,a+3可能为正数,也可能为负数,所以点P 可能在第二象限,也可能在第三象限, 故选D. 【点睛】
本题考查了点的坐标的知识点，解题的关键是由a 的取值判断出相应的象限. 7．D
此题涉及的知识点是不等式组的表示方法，根据规律可得答案． 【详解】
由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为2
3
x x ≤⎧⎨-⎩f ，
故选D ． 【点睛】
本题重点考查学生对于在数轴上表示不等式的解集的掌握程度，不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间是解题关键． 8．C 【解析】 【分析】
根据平行线性质和全等三角形的判定定理逐个分析. 【详解】
由//AB ED ，得∠B=∠D, 因为CD BF =，
若ABC V ≌EDF V ，则还需要补充的条件可以是： AB=DE,或∠E=∠A, ∠EFD=∠ACB, 故选C 【点睛】
本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题关键点：熟记全等三角形判定定理. 9．D 【解析】
A.∵32+4+2+1+1=40（人），故A 正确；
B. ∵（30×32+29×4+28×2+26+18）÷40=29.4（分），故B 正确；
C. ∵成绩是30分的人有32人，最多，故C 正确；
D. 该班学生这次考试成绩的中位数为30分，故D 错误； 10．C 【解析】 【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行分析即可. 【详解】
A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；
B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；
C 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；
D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形．故此选项错误． 故选C ． 【点睛】
考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形 11．A 【解析】 【分析】
由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案． 【详解】
由题中表格可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为1010x x +-=，则总人数为3151030++=，故该组数据的众数为14岁，中位数为1414
142
+=（岁），所以对于不同的x ，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选A. 【点睛】
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 12．A 【解析】 【分析】
根据数轴得到b ＜a ＜0＜c ，根据有理数的加法法则，减法法则得到c-a ＞0，a+b ＜0，根据绝对值的性质化简计算． 【详解】
由数轴可知，b ＜a ＜0＜c ， ∴c-a ＞0，a+b ＜0， 则|c-a|-|a+b|=c-a+a+b=c+b ， 故选A ． 【点睛】
本题考查的是实数与数轴，绝对值的性质，能够根据数轴比较实数的大小，掌握绝对值的性质是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．3 【解析】
试题分析：如图，∵CD ∥AB ∥MN ， ∴△ABE ∽△CDE ，△ABF ∽△MNF ，
∴
,CD DE FN MN
AB BE FB AB ==， 即1.8 1.8 1.5 1.5
,1.8 1.5 2.7AB BD AB BD
==++-， 解得：AB=3m ， 答：路灯的高为3m ．
考点：中心投影． 14．1 【解析】 【分析】
本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】
解：设利润为w 元，
则w ＝（20﹣x ）（x ﹣10）＝﹣（x ﹣1）2+25， ∵10≤x≤20，
∴当x ＝1时，二次函数有最大值25， 故答案是：1． 【点睛】
本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 15．（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4ab 【解析】 【分析】
根据长方形面积公式列①式，根据面积差列②式，得出结论． 【详解】
S 阴影＝4S 长方形＝4ab ①，
S 阴影＝S 大正方形﹣S 空白小正方形＝（a+b ）2﹣（b ﹣a ）2②，
由①②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故答案为（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
【点睛】
本题考查了完全平方公式几何意义的理解，此题有机地把代数与几何图形联系在一起，利用几何图形的面积公式直接得出或由其图形的和或差得出．
16．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或sss或全等三角形对应角相等或等腰三角形的三线合一
【解析】
【分析】
从作图方法以及作图结果入手考虑其作图依据..
【详解】
解：依题意，AP＝AM，BP＝BM，根据垂直平分线的定义可知PM⊥直线l.因此易知小艾的作图依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.故答案为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.
【点睛】
本题主要考查尺规作图，掌握尺规作图的常用方法是解题关键.
17．x=±1
【解析】
移项得x1=4，
∴x=±1．
故答案是：x=±1．
18．2 3
【解析】
【分析】
根据事件的描述可得到描述正确的有①②③⑥，即可得到答案.
【详解】
∵共有6张纸条，其中正确的有①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；⑥选择有人看护的游泳池，共4张，
∴抽到内容描述正确的纸条的概率是42 63 ，
故答案为：2
3
．
【点睛】
此题考查简单事件的概率的计算，正确掌握事件的概率计算公式是解题的关键.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．每件衬衫应降价1元.
【解析】
【分析】
利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.
【详解】
解：设每件衬衫应降价x元.
根据题意，得（40-x）（1+2x）=110,
整理，得x2-30x+10=0,
解得x1=10，x2=1．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应舍去，
∴x=1.
答：每件衬衫应降价1元.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.
20．（1）；（2）列表见解析，.
【解析】
试题分析：（1）一共有3种等可能的结果总数，摸出标有数字2的小球有1种可能，因此摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）利用列表得出共有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，可求得结果.
试题解析：（1）P（摸出的球为标有数字2的小球）=；（2）列表如下：
小华
-1 0 2
小丽
-1 （-1，-1）（-1，0）（-1，2）
0 （0，-1）（0，0）（0，2）
2
（2，-1）
（2，0）
（2，2）
共有9种等可能的结果数，其中点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6， ∴P （点M 落在如图所示的正方形网格内）==.
考点：1列表或树状图求概率；2平面直角坐标系.
21．（1）2
23y x x =--+；（2）30x -<<．
【解析】 【分析】
（1）将()30A -,
和()10B ,两点代入函数解析式即可； （2）结合二次函数图象即可． 【详解】
解：(1)∵二次函数2
3y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点，
933030a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩ 解得1
2a b =-⎧⎨=-⎩
∴二次函数的表达式为223y x x =--+．
(2)由函数图象可知，二次函数值大于一次函数值的自变量x 的取值范围是30x -<<． 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 22．﹣3 【解析】
分析：直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案． 详解：原式=1﹣31+3×
3
3
=﹣33=﹣3
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 23．1
2
x =-
【解析】
【分析】
先把分式方程化为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可得分式方程的解. 【详解】 原方程变形为
25
32121
x x x -=--， 方程两边同乘以（2x ﹣1），得2x ﹣5＝1（2x ﹣1）， 解得1
2
x =- ．
检验：把1
2x =-代入（2x ﹣1），（2x ﹣1）≠0，
∴1
2x =-是原方程的解，
∴原方程的1
2
x =-．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，把分式方程化为整式方程是解决问题的关键，解分式方程时，要注意验根.
24．（1）见解析；（2）tan 3
BAE ∠= 【解析】 【分析】
（1）根据矩形的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质解答即可． 【详解】
证明：（1）∵BD ⊥AB ，EF ⊥CD ， ∴∠ABD ＝90°，∠EFD ＝90°， 根据题意，在▱ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠BDC ＝∠ABD ＝90°， ∴BD ∥GF ，
∴四边形BDFG 为平行四边形， ∵∠BDC ＝90°， ∴四边形BDFG 为矩形； （2）∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE ＝∠DAE ， ∵AD ∥BC ， ∴∠BEA ＝∠DAE ， ∴∠BAE ＝∠BEA ， ∴BA ＝BE ，
∵在Rt △BCD 中，点E 为BC 边的中点， ∴BE ＝ED ＝EC ，
∵在▱ABCD 中，AB ＝CD ， ∴△ECD 为等边三角形，∠C ＝60°， ∴1
302
BAE BAD ∠=
∠=︒，
∴tan 3
BAE ∠=． 【点睛】
本题考查了矩形的判定、等边三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和等边三角形的性质解答是解题关键．
25．填表见解析；（1）6；（2）甲；甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多． 【解析】 【分析】
（1）月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，去销售额中找到乙大于8.0的个数即可解题, （2）根据中位数和平均数即可解题. 【详解】 解：如图，
（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有6个；
（2）可以推断出甲业务员的销售业绩好，理由为：甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多．
故答案为0，1，3，0，2，4；6；甲，甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多． 【点睛】
本题考查了统计的相关知识,众数,平均数的应用,属于简单题,将图表信息转换成有用信息是解题关键. 26．见解析 【解析】
【分析】
作∠CAB=∠α，再作∠CAB的平分线，在角平分线上截取AD=h，可得点D，过点D作AD的垂线，从而得出△ABC．
【详解】
解：如图所示，△ABC即为所求．
【点睛】
考查作图-复杂作图，掌握做一个角等于已知角、作角平分线及过直线上一点作已知直线的垂线的基本作图和等腰三角形的性质是解题的关键．
27．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的性质作出∠BAC的角平分线，利用角平分线上的点到角的两边距离相等得出O点位置，进而得出答案．
（2）根据切线的性质，圆周角的性质，由相似判定可证△CDB∽△DEB，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图，及为所求．
（2）连接．
∵是的切线，
∴，
∴，
即，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又
∴∽
∴
∴．
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作是解决此类题目的关键．。