2.3.1双曲线及其标准方程课件人教新课标2

设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
由双曲线定义知
P
点在以
A、B
为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的一支上，
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5,0), F2(5,0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
变式训练 2:已知两定点 F1(5,0) , F2(5,0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程.
第二章 圆锥曲线与方程
2.3.1 双曲线及其标准方程
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
和
等于常数 y Mx, y
O
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0) F1 c, 0
注意：
x F2 c, 0
2. 引入问题：
变式训练 1:已知两定点 F1(5,0) , F2(5,0) ,动点 P 满足
PF1 PF2 6,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
为什么
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1(5,0), F2(5,0)
∴可设双曲线方程为:
依题意得 a = 680, c = 1020，b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
∴双曲线的方程为
x2 6802
y2 5 3402
1
用 y=－x 代入上式，得 x 680 5 ，∵|PB|>|PA|, x 680 5, y 680 5,即P(680 5,680 5), 故PO 680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.
y2 x2 1
20 16
3. 过点 -
2，-
3 ，
15 3
，,2
x2 y2 1 3
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B
地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
直觉巨响点的位置情况.
P y C
只要能把巨响点满足的两个曲线 A o B x
方程求出来.那么解方程组就可以确
定巨响点的位置.
要求曲线的方程,恰当的建立坐 标系是一个关键.
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0），B(1020,0），C(0,1020）.
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
4.化简
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0)
问题 1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2, y2 前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 分与联系?
双曲线与椭圆之间的区分与联系
椭圆
双曲线
定义 方程
分母大小
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
知识总结：
x2 y2 1的方程什么时候表示的是圆、椭圆、双曲线 mn
m n 0,表示圆 m 0, n 0,且m n,表示椭圆
mn 0,表示双曲线
例 1 已 知 两 定 点 F1(5,0) , F2(5,0) , 动 点 P 满 足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
思考 3: 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测
点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，
正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各
观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生
的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点
均在同一平面上).
分析:依题意画出图形(如图)
解： ∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10
∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y 0(x ≥5或x ≤5) .
练习
写出满足下列条件的双曲线的标准方程
1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
x2 y2 1或 y2 x2 1
9 16
9 16
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
1.距离之和； 2.2a>2c>0
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则
即 2a=680，a=340，
Ao Bx
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段义及其标准方程,并运用
双曲线的定义及其标准方程解决问题, 体会 双曲线在实际生活中的一个重要应用.
2.通过椭圆来类比学习双曲线，即把不 熟悉的问题往熟悉的方向转化.
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意： ⑴距离之差的绝对值；
⑵ 0<2a<2c ； 思考：
F1 o F2
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2
a2 b2 1(a 系0,b数 正0) 负
y2 x2 1(a 0,b 0) a2 b2
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2