湖北省黄石三中-度高一数学下学期期中考试试卷

湖北省黄石三中2007-2008学年度高一数学下学期期中考试试卷
第Ⅰ卷(共75分)
一 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．求值=-⋅-+-⋅-)6
17
()49sin()5sec()314(ππππctg tg （ ）
A ．66332--
B ．2632+-
C ．2632--
D ．6
6
332+-
2．若函数2
1
()sin ()2
f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A 最小正周期为
π
2
的奇函数 B 最小正周期为π的奇函数
C 最小正周期为2π的偶函数
D 最小正周期为π的偶函数
3. 若点(3,)P y 是角α终边上的一点，且满足3
0,cos 5
y α<=
，则tan α=（ ） A ．34- B ．34 C ．43 D ．4
3
-
4. 设()cos30()1f x g x =-，且1
(30)2
f =，则()
g x 可以是（ ）
A ．1cos 2x
B ．1
sin 2
x C ．2cos x D ．2sin x
5．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2,则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．1或4 C ．4 D ．2或4 6． 如果
()()sin ,sin a b
αβαβ+=-那么
tan tan α
β等于 （ ）
A ．
a b
a b -+ B ．
a b
a b
+- C ．
b a
b a
-+ D ．
b a
b a
+- 7. 如图，是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那
么f(x)可以写成（ ）
A ．sin (1-x)
B ．cos (1-x)
C ．sin (x-1)
D ．cos (x-1)
8．ABC ∆中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=则C ∠的大小为 （ ）
A ．
56
π B ．
6
π
C ．
6π或56π D ．3
π或23π
9．函数2()2sin sin 21f x x x =-++，给出下列四个命题:
（1）函数在区间5,88ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上是减函数 （2）直线8x π=是函数图象的一条对称轴
（3）函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移
4
π
得到
（4）若0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的值域是⎡⎣． 其中正确命题为（ ） A ．（１）（３） B ．（３）（４）． C ．（１）（２）
D ．（１）（４）
10. 如图，函数
()()()0,0s i n
>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示，则()()()2008.........21f f f +++的值等于 ( )
A.0
B.-2
C.2
D.
2
二 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．若
2cos sin cos sin =-+α
αα
α，则=--αααα22cos 5cos sin 3sin 4 . 12．函数x y sin =的图像向左平移
3
π
个单位长度，横坐标变为原来的2倍，然后纵坐标变为原来的2倍，则新图像对应的函数的单调递增区间为 。

13．若函数f(x)是周期为５的偶数，且f(2)=-3，则]3
)7(cos[π
π+-f 的值是
_________,]4
)12(3
sin[
π
π
-
f 的值是_________.
14．已知()()00,,11tan >≤⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=x x x f x x f π，则
=⎪⎭
⎫
⎝⎛43f . 15．已知方程2
cos sin 20x x a ++-=在[0,2]π内恰有两个不相等的实数根，则a ∈ ．
第Ⅱ卷（共75分）
三、解答题（本大题共6小题，共计75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. （本题满分12分）已知3,(,)4παβπ∈，tan()24πα-=-，3sin()5
αβ+=-. （1）求sin 2α的值；
（2）求tan()4
π
β+的值.
17．已知
()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=43,4,262sin 2πππx b a x a x f ，是否存在常数Q b a ∈,，使得
()x f 的值域为]
[13,3--？若存在，求出b a ,的值；若不存在，说明理由.
18．利用三角公式化简：)10tan 31(50sin ︒+︒
19．已知某海滨浴场的海浪高度()y m 是时间t （时）(024)t ≤≤的函数，记作()y f t =.下表是某日各时的浪高数据：
经长期观察，()y f t =的曲线可近似的看成函数cos (0)y A t b ωω=+>.
（1）根据表中数据，求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1m 时才对冲浪者开放，请根据（1）中的结论，判断一天中的上午8：00到晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者运动？
20．（本题满分12分）已知函数426cos 5sin 4
()cos 2x x f x x
+-=
（1）求()f x 的定义域并判断它的奇偶性； （2）求()f x 的值域.
21．()sin (1cos )cos 1,0,,04f x a x x a x x a π⎡⎤
=+++∈≠⎢⎥⎣⎦
. （1）求()f x 的最小值；
（2）若11()11,0)sin cos 2f x a πθθθ⎛⎫⎛⎫
>--+<<>
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
恒成立，求实数a 的取值
范围.
答题卷
一、
11. 12. 13.
14. 15._________________
16、(1)
(2)
17、
18、
19、(1) (2) 20、(1)
(2)
21、(1) (2)
答案
一、选择题答题卡（每小题5分，共60分.）
二、填空题答题卡(每小题5分，共25分.)
11.511
12.()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
+⎢⎣
⎡-34,354ππππ 13.21- , 2
2 14.0
15. 3
(1,3)4
a a =
∈或 16. 解析：（1）由tan()24πα-=-知，22tan()
44tan(2)23
1tan ()4
π
απαπα--==--， 即4
cot 23α=-
3tan 24α∴=-，又32(
,2)2παπ∈，可得3
sin 25α=- （2）由33(,2),sin()25παβπαβ+∈+=-知，3tan()4αβ+=- 3
(2)
14tan()tan ()()34421()(2)4
ππβαβα---⎡⎤∴+=+--==⎢⎥⎣
⎦+-⋅-
17.解：假设存在Q b a ∈,满足条件，
⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈35,3262,43,4πππππx x
2362sin 1≤
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+≤-∴πx （1）()⎪⎩⎪⎨⎧-=++-⨯--=++⨯->13212322
320b a a b a a a 时有，舍去Q b a b a ∈⎩⎨⎧-==∴,531
（2）()⎪⎩⎪
⎨⎧-=++⨯--=++-⨯-<1322
3
232120b a a b a a a 时有 ⎩⎨⎧=-=∴11b a 综上⎩⎨
⎧=-=∴1
1b a
18. 解：原式=)10cos 10sin 31(50sin ︒
︒
+
︒
=︒
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛︒+︒⋅
︒10cos 10sin 2310cos 21250sin
︒
︒
︒+︒︒⋅
︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2
110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒
︒
=︒︒=︒︒⋅
︒= 19. 解析：（1）由表中数据，12T =，故6
π
ω=
同时有11.520.51A b A A b b ⎧
+==
⎧⎪⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎩
，故函数1()cos 126f t t π=+
（2）由题意，当1y >时才能对冲浪者开放，即
1cos 11cos 0266t t ππ+>∴> 22,262
k t k k Z πππππ∴-+<<
+∈，可得123123,k t k k Z -<<+∈ 又024,0,1,2t k ≤≤∴=
得03t ≤<或915t <<或2124t <≤ 故在一天中的上午8：00到晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即 上午9：00至下午15：00.
20. 解析：（1）cos 20,2(),2x x k k Z π
π≠∴≠+∈ 即()42
k x k Z π
π≠+∈ 故()f x 的定义域为|,42k x x k Z ππ⎧
⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
()f x 的定义域关于原点对称，且426cos ()5sin ()4()cos(2)
x x f x x -+---=- 426cos 5sin 4()cos 2x x f x x
+-==，故()f x 为偶函数. （2）当24k x ππ≠+时，422226cos 5sin 4(2cos 1)(3cos 1)()3cos 1cos 2cos 2x x f x x x
+---===- 31cos 222x =
+ 又cos 20,x ≠故()f x 的值域为11[1,)(,2]22-.
21. 解：（1）整理可得：()()sin cos sin cos 1,f x a x x a x x =+++令sin cos x x t +=
则0,4x t π⎡⎤⎡∈∴∈⎢⎥⎣⎣⎦
()222111*********
t y at a at at at a t a -∴=++=++-=+-+ 0 1.a ≠∴若0,a >则当1t =，即0x =时min 1y a =+
2.若0,a <则当t =4x π=时min 112y a ⎫=+⎪⎭ （2）由已知可得：()min 001a y f a >∴==+，则原问题等价于：
m i n 11111sin cos y a θθ⎛⎫⎛⎫=+>--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立
令11()11sin cos g θθθ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
则()()1sin cos 11111sin cos sin cos sin cos g θθθθθθθθθ
-+⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭
令sin cos k θθ+=，则(0,2k πθ⎛⎫∈∴∈ ⎪⎝⎭ ()()
22121111k g k k
θ--∴=++++-+ (
1,2k ∈ ()g θ∴(
⎤∈⎦ ()min 1y a g θ=+>对于0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立()max 13a g θ∴+>= 2a ∴>
a ∴的取值范围是2a >.。