广西壮族自治区南宁市宾阳县武陵中学高二数学文期末试卷含解析

广西壮族自治区南宁市宾阳县武陵中学高二数学文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在等比数列{a n}中，若，，则（）
A. 3或－3
B. 3
C. －9或9
D. 9
参考答案：
B
【分析】
根据等比数列的通项公式求解，注意此题解的唯一性.
【详解】是和的等比中项，则，
解得，由等比数列的符号特征知．选B.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，属于基础题.
2. 已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0行，则它们之间的距离是（）
A．B．C．8 D．2
参考答案：
D
【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出 m，利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离．
【解答】解：∵直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，∴=≠，∴m=8，
故直线6x+my+14=0 即3x+4y+7=0，故两平行直线间的距离为=2，
故选 D．
3. 为正实数，为虚数单位，，则（）
A．2 B. C. D.1
参考答案：B
4. 若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是( )
A．2 B．1 C．D．
参考答案：
B
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】由椭圆的定义可得 m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得m2+n2=4②，由①②可得m?n的值，利用△F1PF2的面积是m?n求得结果．
【解答】解：由椭圆的方程可得 a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，
由椭圆的定义可得 m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，
由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4②，由①②可得m?n=2，
∴△F1PF2的面积是m?n=1，
故选B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质和定义，以及勾股定理的应用．
5. 直线x﹣y+3=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于（）
A．2B．C．D．
参考答案：
B
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长．
【解答】解：圆的方程化为（x+2）2+（y﹣2）2=2，
∴圆心（﹣2，2），半径r=，
∵圆心到直线x﹣y+3=0的距离d==，
∴直线被圆截得的弦长为2=．
故选B．
6. 已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P（1，3），离心率为的双曲线的标准方程为
（）
A． =1 B． =1 C． =1 D． =1
参考答案：
D
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线得离心率可知为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），把点P的坐标代入即可得出．
【解答】解：∵，∴a=b，
∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），又点P（1，3）
在双曲线上，则λ=1﹣9=﹣8，
∴所求双曲线的标准方程为．
故选D．
7. 下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝－0.7x＋a，则a等于( )
A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25
参考答案：
D
试题分析：因为，所以样本中心点为。

将点
代入线性回归方程可得。

故D正确。

考点：线性回归方程。

8. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有
A．种 B．种 C．种 D．种
参考答案：
D
略
9. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）
A．3 B．4 C．5 D．8
参考答案：
B
【考点】循环结构．
【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．
【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：
故选B．
10. 的值等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
D 【分析】
利用还原的方式将积分变为，代入求得结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查定积分的运算，属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式4x ＞
的解集为 ．
参考答案：
{x|﹣1＜x ＜3}．
根据指数函数的性质得到一元二次不等式，解出即可． 解：∵4x ＞2
，
∴2x ＞x 2﹣3，即x 2﹣2x ﹣3＜0， 解得：﹣1＜x ＜3， 故答案为：{x|﹣1＜x ＜3}．
12. （几何证明选讲选做题）如图所示，圆的直径，为圆周上一点，
．过作圆的切线，过
作的垂线
，
分别与直线、圆交于点
，则线段
的长
为 ．
参考答案： 3
13. 动点P 与平面上两定点连线的斜率的积为定值，则动点P 的轨迹方
程为_______________. 参考答案：
14. 有下列命题：①双曲线﹣=1与椭圆+y 2=1有相同的焦点；②（lnx ）′=；③
（tanx ）′=；④（）′=；⑤?x∈R，x 2﹣3x+3≠0．其中是真命题的
有： ．（把你认为正确命题的序号都填上）
参考答案：
①③⑤
【考点】双曲线的简单性质；全称命题；导数的运算；椭圆的简单性质． 【专题】计算题．
【分析】对于①分别计算双曲线、椭圆中的c 2
，再根据焦点都在x 轴上，可判断；对于②③④直接利用导数公式可判断，对于⑤△＜0，故正确．
【解答】解：对于①双曲线中c 2
=25+9=24，椭圆c 2
=35﹣1=34，且焦点都在x 轴上，故正确；
对于，故不正确；对于，故正确；
对于
故不正确；
对于⑤△＜0，故正确， 故答案为①③⑤
【点评】本题真命题的个数的判断，必须一一进行验证，属于基础题．
15. 上午4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，都安排在上午，若不能3
节连上，这个教师的课有 种不同的排法． 参考答案： 12
16. 已知命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为?；命题q：函数y=（2a2﹣a）x为增函数，若函数“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是．
参考答案：
a＞或a＜﹣
【考点】复合命题的真假．
【分析】假设p、q是真命题，分别求出a的范围，再由p∨q是真命题，分类讨论即可得解【解答】解：当命题p是真命题时：
∵x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为?
∴（a﹣1）2﹣4a2＜0
∴
当命题q是真命题时：
∵函数y=（2a2﹣a）x为增函数
∴2a2﹣a＞1
∴a＜或a＞1
∵“p∨q”为真命题
∴可能的情况有：p真q真、p真q假、p假q真
①当p真q真时
∴a＜﹣1或a＞1
②当p真q假时
∴
③当p假q真时∴
∴
故答案为：
【点评】本题考查简单命题和符合命题的真假性，注意或命题为真命题时有三种情况，且命题为假命题时有三种情况，要注意分类讨论．属简单题
17. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数
.
参考答案：
渐近线：；直线斜率：，由垂直知：，
∴
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．
参考答案：
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥AF，AD⊥AB，从而AD⊥平面ABEF，由此能证明平面PAD⊥平面ABFE．（Ⅱ）以A 为原点，AB、AE、AD的正方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出h的值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，
∴AD⊥AF，AD⊥AB，
又AF∩AB=A，
∴AD⊥平面ABEF，
又AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABFE．
解：（Ⅱ）以A 为原点，AB、AE、AD的正方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz
设正四棱棱的高为h，AE=AD=2，
则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），P（1，﹣1，1）设平面ACF的一个法向量=（x，y，z），
=（2，2，0），=（2，0，2），
则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），
设平面ACP的一个法向量=（a，b，c），
则，取b=1，则=（﹣1，1，1+h），
二面角C﹣AF﹣P的余弦值，
∴|cos＜＞|===，
解得h=1．19. 本题满分10分).
在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求角的大小．
参考答案：
解：（Ⅰ），……………………………….3分又………………………….4分所以………………………….5分（Ⅱ）由正弦定理，又，故即：…………………………………..8分
故是以为直角的直角三角形
又∵，∴………………………………………10分
略
20. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
参考答案：
【考点】四种命题的真假关系；抛物线的简单性质．
【分析】（1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，
（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出A，B两点的坐标根据向量运算求证即可．
【解答】解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，
此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．
∴=3；
当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，
由得ky2﹣2y﹣6k=0?y1y2=﹣6
又∵，
∴，
综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；
（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，
如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．
例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），
此时=3，
直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得y1y2=﹣6，
或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．
21. （本小题满分12分）已知圆的方程为，直线的倾斜角为．
（1）若直线经过圆的圆心，求直线的方程；
（2）若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
参考答案：
（1）由已知，圆的标准方程为，
圆心，半径为，直线的斜率，
所以直线的方程为，即．
（2）设直线的方程为，
由已知，圆心到直线的距离为，
由，解得，所以或，
所求直线的方程为，或．
22. 下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a ，求a 的值．
参考答案：
5.25
【考点】线性回归方程．
【分析】首先求出x，y 的平均数，根据所给的线性回归方程知道b 的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a 的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解： =（1+2+3+4）=2.5， =（4.5+4+3+2.5）=3.5，
将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a，
故a=5.25．。