江苏省2022-2021年高三第二次模拟考试 数学文

高考模拟考试 文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
1<=x x A ，{}
1<=x
e x B ，则（ ）
A ．{}1<=⋂x x
B A B ．{}
e x x B A <=⋃
C ．R B C A R =⋃
D ．{}
10<<=⋂x x B A C R
2.如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率（ ）
A ．
41 B ．21 C ．8π D ．4
π 3.下面四个命题中，正确的是（ ）
A ．若复数21z z =，则R z z ∈•21
B ．若复数z 满足R z ∈2
，则R z ∈ C ．若复数1z ，2z 满足21z z =，则21z z =或21z z -=
D ．若复数1z ，2z 满足R z z ∈+21，则R z ∈1，R z ∈2
4.已知双曲线1:2222=-b y a x C 的离心率为35
，其左焦点为)05(1，-F ，则双曲线C 的方程为（ ）
A ．13422=-y x
B ．14322=-y x C.191622=-y x D ．116
92
2=-y x 5.执行如图所示程序框图，则输出的结果为（ ）
A ．-4
B ．4 C.-6 D ．6
6.已知），（ππ
α2∈
，43-)tan(=-πα，则=-)4
cos(π
α（ ） A ．
102 B ．102- C.1027 D ．10
27-
7.已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数解析式可能为（ ）
A ．x x x y cos +
= B ．x x x y sin 2
+= C. x x x y cos -= D ．x
x x y sin -= 8.若将函数)0(cos >=ωωx y 的图象向右平移3
π
个单位长度后与函数x y ωsin =的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．
21 B ．23 C.25 D ．2
7 9.已知函数x
x
x f ln )(=
，则（ ） A ．)(x f 在e x =处取得最小值
e
1
B ．)(x f 有两个零点 C.)(x f y =的图象关于点）（0,1对称 D ．)3()()4(f f f <<π
10.在ABC ∆中，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，且
A
b B
a B B C cos cos sin sin sin 2=-，则A =（ ）
A ．
6π B ．4π C.3π D ．3
2π
11.已知三棱柱111C B A ABC -，平面β截此三棱柱，分别与AC ，BC ，11C B ，11C A 交于点E ，F ，
G ，H ，且直线//1CC 平面β.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面//β平面
11A ABB ；③若三棱柱111C B A ABC -是直棱柱，则平面⊥β平面111C B A .其中正确的命题为（ ）
A ．①②
B ．①③ C.①②③ D.②③
12.直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线x y C 8:2
=交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若
BAF ABF ∠=∠sin 2sin ，则k 的值是（ ）
A ．
32 B ．3
2
2 C.1 D ．2
12.设P 为双曲线122
22=-b
y a x 右支上一点，1F ，2F 分别为该双曲线的左右焦点，c ，e 分别表示该
双曲线的半焦距和离心率.若021=•PF ，直线2PF 交y 轴于点A ，则P AF 1∆的内切圆的半径为（ ）
A ．a
B ．b C.c D ．e
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数)253lg(11
)(2++-+-=
x x x
x f 的定义域为． 14.在等腰ABC ∆中，AC AB =，6=BC ，点D 为边BC 的中心，则=•．
15.已知圆C 的方程为42
2
=+y x ，)02(，-A ，)02(，B ，设P 为圆C 上任意一点（点P 不在坐标轴上），过P 作圆的切线分别交直线2=x 和2-=x 于E 、F 两点，设直线AF ,BE 的斜率分别为1k ，
2k ，则=⋅21k k ．
16.已知函数)(x f ，设数列{}n a 中不超过)(m f 的项数为)(*∈N m b m ，给出下列三个结论： ①2n a n =且2
)(m m f =，则3,2,1321===b b b ；
②n a n 2=且m m f =)(，{}m b 的前m 项和为m S ，则220181009=S
③n n a 2=且)()(*
3N A Am m f ∈=，若数列{}m b 中，521,,b b b 成公差为）（0≠d d 的等差数列，则
315+=b b .
则正确结论的序号．（请填上所有正确结论的序号）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥，3
2
2sin =
∠BAC ，23=AB ，3=AD .
（1）求BD 的长； （2）求ABC ∆的面积.
18.如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，D A AA 11=，BC AB =，
120=∠ABC .
（1）证明：1BA AD ⊥；
（2）若平面⊥11A ADD 平面ABCD ，且AB D A =1，求直线1BA 与平面CD B A 11所成角的正弦值. 19.为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念.手机APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”.杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数.其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860
8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别：20000(-A 步)(说明:“20000-”表示大于等于0,小于等于2000.下同),50002000(-B 步),80005001(-C 步),100008001(-C 步),10001(E 步及以E ),且E D B ,,三种类别人数比例为4:3:1,将统计结果绘制如图所示的条形图.
若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型",否则被系统认定为“进步型”. （1）若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在10000~5001步的人数；
（2）请根据选取的样本数据完成下面的22⨯列联表并据此判断能否有以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关?
卫健型 进步型
总计 男
20 女
20 总计
40
（3）若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取10人，从中任意选取3人，记选到“卫健型”的人数为x ；女性好友中按比例选取5人，从中任意选取2人，记选到“卫健型”的人数为y ，求事件“1>-y x ”的概率.
附：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n ++++-=κ，
)(02k K P ≥
0.10 0.05 0.025 0.010
0k
2.706
3.841 5.024 6.635
20.已知抛物线)0(2:21>=x px y C 与椭圆)0(2:2222>=+m m y x C 的一个交点为),1(t P ，点F 是1C 的焦点，且2
3=
PF . （1）求1C 与2C 的方程；
（2）设O 为坐标原点，在第一象限内，椭圆2C 上是否存在点A ，使过O 作OA 的垂线交抛物线1C 于B ，直线AB 交y 轴于E ，且EOB OAE ∠=∠?若存在，求出点A 的坐标和AOB ∆的面积；若不存在，说明理由.
21.已知函数)(1ln )(R a x ax x f ∈--=.
（1）求)(x f 的单调区间；
（2）若0=a ，令2
2
3)1()(++++=x x tx f x g ，若1x ，2x 是)(x g 的两个极值点，且0)()(21>+x g x g ，求正实数t 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨
⎧=+=θθ
sin 2cos 22y x ，（θ为参数），M 为曲线1C 上的动点，
动点P 满足a =（0>a 且1≠a ），P 点的轨迹为曲线2C . （1）求曲线2C 的方程，并说明2C 是什么曲线；
（2）在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为)3
,
2(π
，射线
αθ=与2C 的异于极点的交点为B ，已知AOB ∆面积的最大值为324+，求a 的值.
23.选修4-5：不等式选讲 已知m x x x f -++=1)(.
（1）若2)(≥x f ，求m 的取值范围；
（2）已知1>m ，若)1,1(-∈∃x 使3)(2
++≥mx x x f 成立，求m 的取值范围.
高三文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:CCADB 6-10:BABDC 11、12：BB
二、填空题
13.
23π 14.9- 15.5 16.2
3 三、解答题
17.解：（1）∵66a S +是44a S +，55a S +的等差中项， ∴554466)(2a S a S a S +++=+ ∴66554466a S a S a S a S --+=--+， 化简得，464a a =，
设等比数列{}n a 的公比为q ，则41462==
a a q ， ∵)(0*N n a n ∈>，∴0>q ，∴2
1=
q ， ∴2
1)2
1()21(2--=⨯=n n n a .
（2）由（1）得：322
1
log log 3
-n 22
1122
1-===-n a b n n ）（，
设，1
21
321)12)(32(221--
-=--==
+n n n n b b C n n n ， ∴
1
221211)121321()5131()3111()1111(
21--=---=---+⋅⋅⋅+-+-+--=+⋅⋅⋅++=n n n n n C C C T n n .
18.
（1）证明：取AD 中点O ，连接OB ，1OA ， ∵11DA AA =，∴1OA AD ⊥，
∵在 ABCD 中， 120=∠ABC ，∴
60=∠BAD ，
又∵BC AB =，则AD AB =，∴ABD ∆是正三角形， ∴OB AD ⊥
∵⊂1OA 平面1OBA ，⊂OB 平面1OBA ，O OB OA =⋂1， ∴⊥AD 平面1OBA ， ∴B A AD 1⊥.
（2）由题设知AD A 1∆与BAD ∆都是边长为4的正三角形，
∴321==OB O A ，∵621=B A ， ∴2
12
2
1B A OB O A =+，∴OB O A ⊥1， ∵AD O A ⊥1， ∴⊥O A 1平面ABCD ，
∴O A 1是平行六面体1111D C B A ABCD -的高，
又38324=⨯=⋅=OB AD S ABCD ，
设48323811111=⨯=⋅==-D A S V V ABCD D C B A ABCD ， 令8324322
1
3131111=⨯⨯⨯⨯=⋅=
=∆-O A S V V ABD ABD A ， ∴4011111=-=-V V V D C B A BCD ，即几何体1111D C B A BCD -的体积为40.
19.解：（1）在样本数据中，男性朋友B 类别设为x 人，则由题意可知204331=++++x x x ，可知2=x ，故B 类别有2人，类D 别有6人，E 类别有8人，走路步数在10000~5000步的包括C 、
D 两类别共计9人；女性朋友走路步数在10000~5000步共有16人.
用样本数据估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，则：
37540
16
9600=+⨯
人. （2）根据题意在抽取的40个样本数据的22⨯列联表：
卫健型 进步型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计
22
18
40
得：841.311
40
18222020)861214(4022
<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
χ， 故没有%95以上的把握认为认为“评定类型”与“性别”有关 （3）在步数大于10000的好友中分层选取5位好友，男性有：42
88
5=+⨯
人，记为A 、B 、C 、D ，女性1人记为e ；
从这5人中选取2人，基本事件是AB ，AC ，AD ，Ae 、BC 、BD 、Be 、CD 、Ce 、De 共10种，这2人中至少有一位女性好友的事件是Ae ，Be ，Ce ，De 共4种，故所求概率5
2104==
P . 20.（1）设),(y x P ，由题意，得23
33
4)3(22=
-+-x y x ，
整理，得14
22
=+y x ， 所以曲线E 的方程为14
22
=+y x . （3）①圆心)0,0(到直线l 的距离2
2
1n
m d +=
，
∵直线于圆有两个不同交点C ，D ，
∴)11(42
22
n m CD +-=，又)0(14
2
2≠=+n n m ， 故)4
34
1(42
22
+-
=m CD ， 由10<<d ，得0>m ，又2≤m ，∴20≤<m .
∴4
34
34102≤
+-
<m ， 因此]3,0(2
∈CD ，]3,0(∈CD ,
即CD 的取值范围为]3,0(.
②当0=m ，1=n 时，直线l 的方程为1=y ；当2=m ，0=n 时，直线l 的方程为2
1
=x ，根据椭圆对称性，猜想'E 的方程为142
2
=+y x .
下证：直线)0(1≠=+n ny mx 与142
2
=+y x 相切，其中14
22
=+n m ，
即4422=+n m ，
由⎪⎩
⎪⎨⎧-=
=+n mx y y x 11422消去y 得：012)4(2222=-+-+n mx x n m ， 即012422=-+-n mx x ，
∴0)44(4)1(1642222=-+=--=∆n m n m 恒成立，
从而直线1=+ny mx 与椭圆'E ：142
2=+y x 恒相切.
若点),(n m M 是曲线Γ：)0(122≠⋅=+B A By Ax 上的动点，则直线l ：1=+ny mx 与定曲线'Γ：
)0(12
2≠⋅=+B A B
y A x 恒相切. 21.解：（1）)1()()('-+-+-=a a ax e e a x x f x
x
，
∴2
)1()0('-=a f ，又a f -=)0(，
∴切线方程为：)0()1(2
--=+x a a y ，
令0=y 得2)
1(2
=-=
a a
x ， ∴02522
=+-a a ，
∴2=a 或2
1=
a .
（2）)1()()('-+-+-=a a ax e e a x x f x x =))](1([a e a x x ---，
当0≤a 时，0≥-a e x ，
)1,(--∞∈a x ，0)0('<f ，）
（x f 为减函数， ),1(+∞-∈a x ，0)('>x f ，)(x f 为增函数；
当0>a 时，令0)('=x f ，得11-=a x ，a x ln 2=， 令a a a g ln 1)(--=，
则a
a a a g 1
11)('-=-
=， 当)1,0(∈a 时，0)('<a g ，)(a g 为减函数，
当),1(+∞∈a 时，0)('>a g ，)(a g 为增函数，
∴0)1()(min =g a g ，
∴a a ln 1≥-（当且仅当1=a 时取“=”）， ∴当10<<a 或1>a 时，
)(,0)('),ln ,(x f x f a x >-∞∈为增函数， )(,0)('),1,(ln x f x f a a x <-∈为减函数， )(,0)('),,1(x f x f a x >+∞-∈为减函数，
1=a 时，)(,0)1()('x f e x x f x ≥-=在),(+∞-∞上为增函数.
综上所述：0≤a 时，)(x f 在)1,(--∞a 上为减函数，在),1(+∞-a 上为增函数，10<<a 或1>a 时，)(x f 在)1,(ln -a a 上为减函数，在)ln ,(a -∞和),1(+∞-a 上为增函数；1=a 时，)(x f 在
),(+∞-∞上为增函数.
22.解：（1）设),(y x P ，),(00y x M ，由a =得⎩⎨⎧==00ay y ax x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==a y
y a
x x 00
∵M 在1C 上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=θ
θsin 2cos 22a
y a
x
即⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22a y a a x （θ为参数），
消去参数θ得)1(4)2(2
2
2
≠=+-a a y a x ，
∴曲线2C 是以)0,2(a 为圆心，以a 2为半径的圆.
（2）法1：A 点的直角坐标为)3,1(，∴直线OA 的普通方程为x y 3=，即03=-y x ，
设B 点坐标为)sin 2,cos 22(ααa a a +，则B 点到直线03=-y x 的距离
3)6
cos(22
3
2sin 2cos 32++
=+-=
π
αααa a d ，
∴当6
π
α-
=时，a d )23(max +=，
∴AOB S ∆的最大值为
324)23(22
1
+=+⨯⨯a ，∴2=a .
法2：将θρcos =x ，θρsin =y 代入2224)2(a y a x =+-并整理得：θρcos 4a =，
令αθ=得αρcos 4a =，∴),cos 4(ααa B ，
∴
3
)3
2sin(232cos 32sin cos 32cos sin 2)3sin(cos 4sin 212--=--=-=-=∠⋅⋅⋅=∆π
αααα
ααπ
ααa a a a AOB OB OA S AOB ，
∴当12
π
α-
=时，AOB S ∆取得最大值a )32(+，依题意324)32(+=+a ，∴2=a .
23.解：（1）∵11)(+≥-++=m m x x x f ，
∴只需要21≥+m ， ∴21≥+m 或21-≤+m ，
∴m 的取值范围为是1≥m 或3-≤m .
（2）∵1>m ，∴当()1,1-∈x 时，1)(+=m x f ，
∴不等式3)(2
++≥mx x x f 即22++≥mx x m ，
∴2)1(2
+≥-x x m ，x
x m -+≥12
2，
令213
)1(13)1(2)1(12)(22--+-=-+---=-+=
x
x x x x x x x g ， ∵210<-<x ，
∴3213
)1(≥-+
-x
x （当31-=x 时取“=”），∴232)(min -=x g ， ∴232-≥m .。