天津市近年数学中考试题18题答案及解析

天津市近年数学中考试题18题答案及解析
1.（天津市2006年3分）如图，已四边形纸片ABCD ，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到： ▲ （用“能”或“不能”填空）。

若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。

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【答案】能。

如图，取四边形ABCD 各边的中点E 、G 、F 、H ，连接EF 、GH ，
则EF 、GH 为裁剪线。

EF 、GH 将四边形ABCD 分成1、2、3、4四个部分，
拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H 、F 各旋转180°，3平移，
拼成的四边形满足条件。

【考点】平行四边形的判定，旋转和平移的性质。

【分析】由旋转、平移和中点，可知，
MO=MH ＋HO=HG=KJ ＋JI=KI ，
MK=ML ＋LK=EF=OF ＋FI=OI ，
∴四边形OIKM 是平行四边形。

2.（天津市2007年3分）如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，且与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，且AOC =
30，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q 。

问：是否存在点P ，使得QP=QO ； ▲ （用“存在”或“不存在”填空）。

若存在，满足上述条件的点有几个？并求出相应的∠OCP 的大小；若不存在，请简要说明理由：。

【答案】存在。

符合条件的点P共有3个：当点P在线段AO上时，∠OCP=40°；当点P在OB的延长线上时，∠OCP=20°；当点P在OA的延长线上时，∠OCP=100°。

【考点】点与圆的位置关系；三角形内角和定理，三角形外角定理。

【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可：
①当点P在线段AO上，如图1，
∵在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCQ。

在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO。

又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°
∴3∠OCP=120°。

∴∠OCP=40°。

②当点P在线段OA的延长线上，如图2，
∵OC=OQ，∴∠OQP=
180QOC
2
-∠。

∵OQ=PQ，∴∠OPQ=
00
180OQP180QOC
=
24
-∠+∠。

在△OCP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°，
∴
00
180QOC180QOC
30QOC180
24
-∠+∠
︒+∠++=︒，解得∠QOC=20°。

∴∠OQP=80°。

∴∠OCP=100°。

③当P在线段OA的反向延长线上，如图3，
∵OC=OQ，∴∠OCP=∠OQC=180COQ
2
︒-∠
，即∠COQ=1800－2∠OCP。

∵OQ=PQ，∴∠POQ=180OQP OQC OCP
222
︒-∠∠∠
==。

∵∠AOC=30°，∴∠COQ+∠POQ=150°。

∴1800－2∠OCP＋OCP 2∠=150°，解得∠OCP=20°。

3. （天津市2009年3分）有一张矩形纸片ABCD ，按下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 、D 重合，点C 落在点C′处，得折
痕EF ；
第二步：如图②，将五边形AEFC′D 折叠，使AE 、C′F 重合，得折痕DG ，再打开； 第三步：如图③，进一步折叠，使AE 、C′F 均落在DG 上，点A 、C′落在点A′处，
点E 、F 落
在点E′处，得折痕MN 、QP.
这样，就可以折出一个五边形DMNPQ.
（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段 ▲ （写出一组即可）；
（Ⅱ）若这样折出的五边形DMNPQ （如图③）恰好是一个正五边形，当AB a =，AD b =，
DM m =
时，有下列结论：
①222tan18a b ab -=︒； ②22tan18m a b =+⋅︒；
③tan18b m a =+︒； ④3tan182
b m m =+︒. 其中，正确结论的序号是 ▲ （把你认为正确结论的序号都．
填上）. 【答案】（Ⅰ）AD=C′D (答案不惟一，也可以是AE=C′F 等)；（Ⅱ）①②③。

【考点】矩形的性质，折叠的性质，
【分析】（Ⅰ）根据矩形和折叠的性质，直接得出结果。

（Ⅱ）①∵将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 、D 重合，∴DE=BE。

设AE=x ，则由AB a =得BE= DE=a x -。

在Rt△ADE 中，由勾股定理，得AE²+AD²=DE²，则由AE=x ，AD b =，DE=a x
-
得
()222=x b a x +-，展开得，222a b ax -=。

又∵在正五边形中（如图③），∠C'DA=108°，则∠ADE=108°－90°=18°。

∴在Rt△ADE 中，AE=AD·tan∠ADE，即·tan18x b =︒。

∴222tan18a b ab -=︒。

所以①正确。

②如图，连接GB ，NB 。

由矩形和折叠的性质知点D 、G 、B 共线；
点M 、N 、B 共线，且∠NGB=900。

由题意知：正五边形边长DM m =，则NG=12m ，∠GBN=18°，GB=2211DB 22a b =+。

∴在Rt△GBN 中，NG tan GBN GB
∠=， 即02222
12tan18tan1812m m a b a b =⇒=+⋅︒+。

所以②正确。

③由题意知：∠NBA=18°，AB a =，MA=b m -，
∴在Rt△ABM 中，MA tan NBA AB ∠=
， 即0tan18tan18b m b m a a
-=⇒=+︒。

所以③正确。

④如图，过点N 作NH∥BD，交MQ 于点H 。

则∠MNH=∠GBN=18°，MN=DM m =，MA′= MA=b m -，HA′=
NG=1
2m ，即MH= MA′－HA′=b m -－12m =32
b m -。

∴在Rt△MNH 中，MH sin MNH MN
∠=， 即03332sin18sin1822
b m b m m -=⇒=+︒。

所以④3tan182
b m m =+︒不正确。

综上所述，正确结论的序号是①②③。

4.（天津市2010年3分）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点，DE=1．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ADE′，连接EE′，则EE′的长等于 ▲ ．
【答案】25。

【考点】正方形的性质，旋转的性质，勾股定理。

【分析】在直角△EE′C 中，利用勾股定理即可求解：
根据正方形的性质和旋转的性质得到：BE′=DE=1。

在直角△EE′C 中：EC=DC －DE=2，CE′=BC＋BE′=4。

根据勾股定理得到：2222EE EC CE 242025'+'+
5、（天津市2011年3分） （18）如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD ，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．
（Ⅰ）该正方形的边长为 （结果保留根号）；
（Ⅱ）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：___________________________．
答案 如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD ，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．
(Ⅰ) 该正方形的边长为15。

(结果保留根号)
(Ⅱ) 现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，
并简要说明剪拼的过程：_如图．①作出BN=15 (BM=4，MN=1，
∠MNB=90°)：
②画出两条裁剪线AK ，BE 15BE ⊥AK)：
③平移△ABE 和△ADK ．
此时，得到的四边形BEF'G 即为所求．________。

作图—应用与设计作图．专题：作图题．
分析：（I ）设正方形的边长为a ，则a 2=3×5，可解得正方形的边长；
（II ）以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N ，使MN=1，连接BN ，则∠MNB=90°，由勾股定理，得BN= 42-12= 15，由此构造正方形的边长，利用平移法画正方形．
解答：解：（I ）设正方形的边长为a ，则a 2=3×5，解得a=
15；
（II ）如图，
（1）以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N ，使MN=1，连接BN ，由勾股定理，得BN=
15；
（2）以A 为圆心，BN 长为半径画弧，交CD 于K 点，连接AK ，
（3）过B 点作BE ⊥AK ，垂足为E ，
（4）平移△ABE ，△ADK ，得到四边形BEFG 即为所求． 点评：本题考查了应用与设计作图．关键是理解题意，根据已知图形设计分割方案
6、（2012天津市3分）“三等分任意角”是数学史上一个著名问题．
已知一个角∠MAN 设1MAN 3
α∠=∠ （Ⅰ）当∠MAN =690
时，α∠的大小为 ▲ （度）；
（Ⅱ）如图，将∠MAN 放置在每个小正方形的边长为1cm 的网格中，角的一边AM 与水平方向的网格线平行，另一边AN 经过格点B ，且AB =2.5cm ．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出α∠，并简要说明作法（不要求证明） ▲ ．
【答案】（Ⅰ）23。

（Ⅱ）如图，让直尺有刻度一边过点A ，设该边与过点B 的竖直方向的网格线交于
点C，与过点B水平方向的网格线交于点D，保持直尺有刻度的一边过点A，调整点C、D 的位置，使CD=5cm，画射线AD，此时∠MAD即为所求的∠α。

【考点】作图（应用与设计作图），直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质，平行的性质。

【分析】（Ⅰ）根据题意，用69°乘以1
3
，计算即可得解：
1
3
×69°=23°。

（Ⅱ）利用网格结构，作以点B为直角顶点的直角三角形，并且使斜边所在的直线过点A，且斜边的长度为5，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边上的中线等于AB的长度，再结合三角形的外角性质可知，∠BAD=2∠BDC，再根据两直线平行，
内错角相等可得∠BDC=∠MAD，从而得到∠MAD=1
3
∠MAN。

7、（2013天津市3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于6；
（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB 的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．
考点：作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；
（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边
形DEFG即为所求
解答：
解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3=6；
（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，
与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，
则四边形DEFG即为所求．
故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求
点评：此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．。