人教版数列多选题 期末复习提优专项训练试卷

人教版数列多选题 期末复习提优专项训练试卷
一、数列多选题
1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ）
A ．512a =
B ．公差3d =
C ．()261n S n n =+
D ．数列11n n a a +⎧
⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前n 项和为64n
n + 【答案】BCD 【分析】
根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、
C ，
再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】
因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，
对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；
对于选项C ：()()
2222132612
n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：
()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以前n 项和为1111111
1132558811
3132n n ⎛⎫
-+-+-++
-
⎪-+⎝⎭
()611132322324
n n n n n ⎛⎫=-== ⎪
++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
2．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，
2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．2q
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
【答案】ABC 【分析】 计算可得2q
，故选项A 正确；8
510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数
列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】
{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,
12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩
解得234,8a a =⎧⎨=⎩或23
8,
4a a =⎧⎨=⎩，
∵{}n a 为递增数列，
∴234,
8
a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，21
2a a q ==，故选项A 正确； ∴2n
n a =，(
)1
2122
212
n
n n
S +⨯-==--，
∴9822510S =-=，1
22n n S ++=，
∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；
所以122n n S +=-,则9
822510S =-=，故选项C 正确.
又lg 2lg 2lg n
n n a ==⋅，
∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】
方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有： （1）定义法； （2）通项公式法 （3）等差（等比）中项法
（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
3．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】BC 【分析】
分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】
在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，
59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，
所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】
方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：
（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.
4．已知数列{}n a ，{}n b 满足，11a =，11
n n n a a a +=
+，1
(1)n n b n a =+，若
23
100
100122
2
23100b b b T b =+
+++
，则（ ） A ．n a n = B ．1
n n b n =
+ C ．100100
101
T =
D ．10099100
T =
【答案】BC 【分析】 先证明数列
1n a 是等差数列得1
n a n
=，进而得1(1)1n n n b n a n ==++，进一步得
()2
11111n b n n n n n ==-++，再结合裂项求和得100100101
T =. 【详解】 解:因为11n
n n a a a +=
+,两边取倒数得: 1111n n a a +=+,即
1
11
1n n
a a ,
所以数列1
n
a 是等差数列,公差为1,首项为
111a ,
故
()1
111n n n a =+-⨯=,所以1n a n
=, 所以1(1)1
n n n
b n a n =
=++，故()211111n b n n n n n ==-++，
所以3
1002100122
2111
1
2310022334
100101
b b b T b =+
+++
=++++
⨯⨯⨯
111111
11100122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 故BC 正确，AD 错误； 故选：BC 【点睛】
本题考查数列通项公式的求解，裂项求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明数列
1
n
a 是等差数列，进而结合裂项求和求解100T .
5．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列
C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数
列 【答案】AB 【分析】
对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出
2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能
10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶
数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
2n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以
142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正
确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，所以122(2)n
n S n -=-≥，所以
12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =
则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；
对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所
以选项C 错误；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
6．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ） A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.
B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =
C ．若1
2
n
n S =3+
，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215
a ＝ 【答案】AB 【分析】
直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】
选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-+
+-+
20191822211=+++
++=
故A 正确.
选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，
所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.
则1123n n a -+=⨯，即1
231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.
选项C. 由12n
n S =3+
，可得当1n =时，11722
a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛
⎫⎛⎫=-=+
-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫
=-=+
-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 显然2
213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误.
选项D. 由122n
n n a a a +=
+，可得
11112
n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，1
2为公差的等差数列.
所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826
a ==，即1518
a =，故D 错误. 故选：AB 【点睛】
关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得
()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列
()1311n n a a +=++，1111
2
n n a a +-=解决问题，属于中档题.
7．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}
F n ，则(){}
F n 的通项公式为（ ）
A ．(1)1()2
n n F n -+=
B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C ．(
)1122n n
F n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．(
)n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦
【答案】BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，
，
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，
所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ⎤+-
=--⎥⎣⎦
所以数列(
)()1F n n ⎧⎫⎪⎪
+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
为公比的等比数列， 所以(
)(
)1n
F n n +-=⎝⎭
115()n -
=+， 令
1
n
n n F b
-=
⎝⎭
，则11n n b ++，
所以1
n n b b +=
-， 所以
n b ⎧⎪
⎨⎪⎪
⎩⎭以
510
-3
2
-为公比的等比数列，
所以1
n n b -
+， 所以
()11
15n n n n
F n --⎤
⎤⎛⎫
+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
8．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()
*
1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）
A ．数列{}n a 的公比为p
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．1r p =--
D ．当1
4p r
-
取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】
先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由1
1
p q =
-判断选项A 错误，由11p
q p
+=
>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判
断C 错误，将r p =-代入1
4p r
-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】
依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()
*
1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是
q ，
2n ≥时，11
n n n n S pa r
S pa r +-=+⎧⎨
=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11
p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则1
1p q q =
=-，即210q q --=
，即p q ==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；
选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111
111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝
⎭是递增
数列，故正确；
选项C 中，由1
n n S pa r +=+，11n n q S q
-=-，11p q =-，1n
n a q +=知， 11111
11n n n n q p q q a q
r S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；
选项D 中， 因为r p =-，故(
)1111444p p p r p p -
=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =
，即12p =时等号成立，1
4p r
-取得最小值1，此时
13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.
故选：BD. 【点睛】 方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；
2、当两个正数,a b
的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式
a b +≥，当且仅当a b =取等号.
二、平面向量多选题
9．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）
A ．::7:5:3sinA sin
B sin
C = B ．0AB AC ⋅>
C ．若6c =，则ABC 的面积是
D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是3
【答案】ACD 【分析】
先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到
3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选
项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】
依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，
由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；
222222
cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=
222222.5 1.5 3.515
028
k k +-==-<，
故选项B 不正确；
若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，
所以222106141
cos 21062
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =
，
故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；
若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，
所以2225371
cos 2532
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =
， 则利用正弦定理得：
ABC 的外接圆半径是：12sin a A ⨯=
， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设
4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本
题的关键.
10．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3)
【答案】ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.。