重叠问题
第20讲 重叠问题(含解题思路和参考答案)
第20讲重叠问题（含解题思路与参考答案）一、解题方法1. 解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，如图，这两块木板各长多少厘米？解题思路：解题过程：把等长的两块木板的一端搭起来，搭在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20厘米，所以这两块木板的总长度是160+20＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2＝90（厘米）答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？例题2.三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，从前数是第2个，从后数是第4个。
三(2)班共有多少人？解题思路：解题过程：根据题意画右图。
由图可看出：亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，说明横有5+4－1＝8（个）人；从前数是第2个，从后数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个）人。
所以二（3）班有8×5＝40（个）（说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次）解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5＝40（人）答：三（2）班共有40人。
重叠问题
重叠问题例1、小涓洗了3块手帕，准备挂在绳上晾晒，每1块手帕的两头都必须有夹子夹住。
小娟用了几个夹子？练习1、幼儿园老师将8块手帕没有重叠地挂在绳上晾晒，每1块手帕的两边必须用夹子夹住，老师最多用几个夹子？最少用几个夹子？2、老师的办公室里，把5张课程表用图钉按在墙上可以随时查看，每一张课程表要用4个图钉按住，最多一共用多少个图钉？最少呢？3、幼儿园阿姨将洗好的手帕用夹子夹在绳上晾干，每块手帕的两边都用夹子夹住，同一个夹子可夹住相邻2块手帕的两边，这样一共用了15个夹子，问：绳上晾了多少块手帕？例2 1、小朋友排队做操，平平排在队伍的中间，无论从前数还是从后数，他都排在第6位，这一排有多少小朋友做操？2、小朋友排队做操，从前数晓东排在第3位，从后数晓东排在第9位，这一排共有多少个小朋友在做操？3、小朋友排队做操，从前数第4位是小华，从后数第5位是小芳，小华和小芳之间隔着2个小朋友，这一排共有多少个小朋友在做操？4、同学们做操，排成方形的队伍，无论从前数从后数还是从左数从右数，小红都是第5个，问：一共有多少人？练习1、小红和同学排成一队做游戏，小红排的位置，从前往后数是第5，从后往前数是第3，你知道有多少个小朋友在做游戏吗？2、15人排成一行，从左往右一二报数，老师要求报二的小朋友向前走一步，问留在原地不动的有多少人？3、20个小朋友排队，从左边数起小华是第11名，从右边数起小刚是第16名，小华和小刚之间隔着几个小朋友？4、同学们做操排成方形队伍，无论从前从后数，还是从左从右数，小刚都是第4个，这个队伍共有多少人？例3、老师出了两道数学题，在30个人中，做对第一题的有21人，做对第二题的有18人，两道题都做对的有几个人？练习1、老师出了两道数学题，在20个人中，8个人只做对第一题，7个人只做对第二题，其余的人两题都做对，两道题都做对的有几个人？只做对一道题的有几个人？2、老师出了两道数学题，在20个人中，做对第一题的有13个人，做对第二题的有12个人，两道题都做对的有几个人？3、101个同学带着水壶和水果去春游，带水壶的有78人，带水果的有71人，既带水果又带水壶的至少有多少人？4、50个同学参加期末考试，每个学生至少有一门是100分。
第14讲 重叠问题
第十四讲重叠问题知识要点在日常生活中，我们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现。
像这样有重复出现数量的问题，称为重叠问题。
典型例题例1 学校开展课外活动，每位同学至少参加一个活动小组。
三一班同学参加文艺活动小组的有34人，参加体育活动小组的有26人，既参加文艺小组又参加体育活动小组的有12人。
三一班一共有学生多少人？例2 三二班同学参加学校田径运动会,每人限报两项。
其中有25人参加径赛，有20人参加田赛，既参加径赛又参加田赛的有10人，两项都没有参加的有11人。
三二班共有学生多少人？例3 三一班有52名同学，其中只参加奥数兴趣小组的有24人，既参加奥数兴趣小组又参加写作小组的有8人，两个小组都没有参加的有5人，只参加写作小组的有多少人？例4 在擂台赛中，三年级148名同学答对第一题的有136人，答对第二题的有132人，两道题都答对的有122人。
两道题都答错的有几人？例5 三一班45名同学在期末考试中，数学得优秀的有29人，语文得优秀的有20人，语文、数学都没有得优秀的有6人，语文、数学两门都得优秀的有多少人？例6 边长为8厘米的正方形与边长为5厘米的正方形（如图13-1所示），放在桌子上，它们盖住桌面的面积是多少平方厘米？巩固练习1．东海小学三（1）班学生每人都订阅报纸，其中订《少年报》的有35人，订《小学生学习周报》的有27人，两种报纸都订的有19人。
三（1）班有学生多少人？5图14-12．蓝猫读书活动中，读过甲书的有147人，读过乙书的有134人，两种书都读过的有125人。
参加红领巾读书活动的共有多少人？3．某校三年级学生参加期末考试，语文得优的有44人，数学得优的有72人，两门学科都得优的有36人，两门学科都没得优的有60人，这所学校三年级共有学生多少人？4．第一小组的同学都在做两道数学思考题，做对第一道的有15人，做对第二道的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？5．50学生参加期末考试，语文得100分的15人，数学得100分的24人，两门学科都得100分的9人。
重叠问题课件ppt
诊断重叠问题的工具和方法
鱼骨图
用于展示问题产生的原因和影 响，帮助团队全面了解问题的
各个方面。
5W分析法
通过对问题进行“为什么、是 什么、在哪里、何时、谁”的 分析，深入挖掘问题的根源。
流程图
用于梳理业务流程，发现流程 中的瓶颈和问题。
数据分析
利用统计学和数据挖掘技术， 对大量数据进行深入分析，发
现数据背后的规律和趋势。
重叠问题的根源分析
组织结构问题
组织结构不合理，导致 部门间沟通不畅、职责
不明确。
流程问题
业务流程存在缺陷或不 合理之处，导致工作效
率低下、资源浪费。
文化问题
企业文化不健康，缺乏 团队协作精神、创新精
神。
人员素质问题
员工素质不高，缺乏必 要的技能和知识，导致
工作质量低下。
2023
流程再造
对不合理流程进行重新设计，提高 流程效率和效益。
信息化管理
利用信息技术手段，实现流程自动 化和智能化。
资源整合
资源共享
实现资源在不同部门间的共享， 提高资源利用效率。
集中采购
通过集中采购降低成本，提高采 购效益。
内部市场
建立内部市场机制，促进资源优 化配置和有效利用。
激励机制设计
目标管理
2023
重叠问题课件
REPORTING
2023
目录
• 引言 • 重叠问题的识别与诊断 • 解决重叠问题的策略 • 重叠问题的案例分析 • 总结与展望
2023
PART 01
引言
REPORTING
什么是重叠问题
重叠问题是指两个或多个物体 或形状在空间上部分或全部重 叠在一起的问题。
《重叠问题》说课稿16篇
结合教材特点和学生已有的认知结构、心理特征，制定如下教学目标：
1、结合具体情境，学习借助直观图解决简单的重叠问题。
2、经历独立思考、合作探究的过程，提高思维能力பைடு நூலகம்促进思维发展，形成运用几何直观的方法解决问题的策略 ，增长学生的聪明才智，发展学生的智力。
3、通过活动激发学生学习数学的兴趣和欲望，体验成功的乐趣,产生学好数学的自信心。
三、教学重难点
本节课的教学重点是：理解简单的重叠问题的意义及解决问题的计算方。
教学难点是：理解前面的数量+中间部分+后面数量二总数。
数了两次的部分是重复的部分，要从总数中去掉。
四、教学模式
本节课采用合作探究教学模式。主要有：创设教学情境、找出有价值的数学信息、提出有效的数学问题并解决 、巩固练习、总结反思四大环节。其中提出问题和解决问题是核心环节，主要是通过学生自主、合作、探索，建立 数学模型。这样的教学模式，强调学生的自主探究与合作的意识，在参与数学活动的过程中去感知和体验，体现“以 人为本”的教学理念。
这是我的板书设计，将本节课的主要内容清楚明了的表现出来,重点突出，能帮助学生对所学知识进一步理解和 掌握。
我的说课到此结束，谢谢大家！ 篇2：《重叠问题》说课稿
大家好！ 今天我说课的课题是《重叠问题》。在认真学习了《数学课程标准》，深入钻研教材，充分了解学生的基础上 ，我将从说教材、说学情；说目标、说模式；说方法、说设计；说板书、说得失；四大方面展开我的说课°
3、练习巩固，形成技能。
在这个环节中，我安排了以下3个层次的练习。
1）、基本练习：自主练习第1题。
2）、变式练习：自主练习第2题。
3）、拓展练习：下面两只盒中可能有几种奖品？
第20讲重叠问题含解题思路和参考答案
第20讲重叠问题仁解题思路与参考答案）一、解题方法1 .解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当 两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2 .解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出 图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一 部分，从而找出解答方法。
3 .在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关 系，这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米， 如图，这两块木板各长多少厘米?解题思路: 把等长的两块木板的一端搭起来，搭 在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20 厘米，所以这两块木板的总长度是160+20 = 180 （厘米），每块木板的长度是180-2 =90 （厘米） 答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1.把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根 绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？4 .两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长 22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？5 . 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接 起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？ 解题过程:解：（160+20）-2= 180-2 =90 （厘米）例题2.三（2）班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5 个，巩固练习1.同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是 第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数狮第2个。
表演的同学共有 多少人？2 .小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，“国"字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。
小红一共写了多少个 字？3 .同学们排队做操，每行、每列人数同样多，小兰的位置无论从前数，从 后数，从左数、从右数都是第5个，做操的共有多少人？例题3.三（4）班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有 29巩固练习1.三(1)班有60人，每人都参加了航模或书法课外兴趣小组，参 加航模小组的有34人，参加书法小组的有40人。
二年级数学重叠问题
二年级数学重叠问题一、知识点讲解1. 重叠问题的概念在数学中，重叠问题是指有部分元素在不同的集合中重复出现的情况。
例如，同学们参加语文小组和数学小组，有一些同学既参加了语文小组又参加了数学小组，这就是重叠部分。
2. 解决重叠问题的方法常用的方法是画韦恩图（集合图）来直观地表示各个集合以及它们之间的重叠关系。
另外，也可以通过计算来解决，计算时要注意避免重复计算重叠部分。
例如：计算参加两个小组的总人数时，如果直接把参加语文小组的人数和参加数学小组的人数相加，就会把既参加语文小组又参加数学小组（重叠部分）的人数多计算一次，所以需要减去重叠部分的人数。
二、经典例题及解析1. 例题1题目：二（1）班同学参加课外活动，有20人参加英语班，25人参加电脑班，其中有10人两个班都参加了。
二（1）班一共有多少人参加课外活动？解析：我们可以画韦恩图来理解。
先画两个相交的圆，一个圆表示参加英语班的同学，另一个圆表示参加电脑班的同学，相交的部分就是两个班都参加的同学。
如果直接把参加英语班的20人和参加电脑班的25人相加：20 + 25=45（人），这里面把两个班都参加的10人重复计算了一次。
所以正确的计算方法是：20+25 10 = 35（人）。
2. 例题2题目：学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹钢琴的有22名，两项都不会的有3名。
两项都会的有多少名？解析：我们知道总共有42名新学员，其中两项都不会的有3名，那么至少会一项乐器的学员有42 3 = 39（名）。
会拉小提琴的有25名，会弹钢琴的有22名，那么25+22 = 47（名），这个数字比至少会一项乐器的39名多。
多出来的部分就是两项都会的人数，即47 39 = 8（名）。
3. 例题3题目：把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板，中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？解析：两块木板钉在一起后总长度是35厘米，但是中间重叠了11厘米。
三年级奥数4种重叠问题
三年级奥数4种重叠问题
以下是三年级奥数中的 4 种重叠问题:
1. 鸡兔同笼问题：假设有若干只鸡和若干只兔子，它们共有若干只脚。
如果假设其中的一些鸡变成了兔子，那么脚的总数会增加;如果假设其中的一些兔子变成了鸡，那么脚的总数会减少。
问有多少只鸡和兔子？
2. 重叠盒子问题：有若干个盒子，每个盒子都可以容纳若干只小动物。
现在要根据每个盒子的容量，将小动物平均分到每个盒子中。
问有多少个盒子和小动物？
3. 重叠蛋糕问题：有若干个蛋糕，每个蛋糕都可以切成若干份。
现在要根据每个蛋糕的切块数，将蛋糕平均分到每个小朋友手中。
问有多少个蛋糕和小朋友？
4. 重叠排队问题：有若干个小朋友，每个小朋友都可以排在若干种位置。
现在要根据每个小朋友的位置，将小朋友排队。
问有多少个小朋友和排队方式？。
重叠问题练习题集锦带答案
重叠问题练习题集锦带答案在数学的世界里，重叠问题常常让同学们感到困惑，但只要我们掌握了方法，就能轻松应对。
下面为大家准备了一些重叠问题的练习题，一起来挑战一下吧！一、基础篇1、学校组织兴趣小组，参加绘画小组的有 25 人，参加书法小组的有 20 人，两个小组都参加的有 8 人。
参加兴趣小组的一共有多少人？答案：参加绘画小组的有 25 人，参加书法小组的有 20 人，但是有8 人两个小组都参加了，这 8 人在计算总人数时被重复计算了一次，所以需要减去一次。
则参加兴趣小组的总人数为 25 ＋ 20 8 ＝ 37（人）2、三（1）班有 45 人，喜欢唱歌的有 28 人，喜欢跳舞的有 20 人，既喜欢唱歌又喜欢跳舞的有 10 人，两种都不喜欢的有多少人？答案：喜欢唱歌的有 28 人，喜欢跳舞的有 20 人，其中既喜欢唱歌又喜欢跳舞的有 10 人，所以喜欢唱歌或者喜欢跳舞的人数为 28 ＋ 20 10 ＝ 38（人）。
班级总人数为 45 人，那么两种都不喜欢的人数为 45 38 ＝ 7（人）3、一次数学测验，做对第一题的有 25 人，做对第二题的有 18 人，两题都做对的有 8 人，至少做对一题的有多少人？答案：做对第一题的有 25 人，做对第二题的有 18 人，两题都做对的有 8 人。
所以至少做对一题的人数为 25 ＋ 18 8 ＝ 35（人）二、提高篇1、某班有 50 名学生，在一次测验中，语文成绩优秀的有 30 人，数学成绩优秀的有 28 人，英语成绩优秀的有 20 人，语文和数学成绩都优秀的有 18 人，语文和英语成绩都优秀的有 12 人，数学和英语成绩都优秀的有 10 人，三科成绩都优秀的有 5 人。
请问：（1）三科成绩都不优秀的有多少人？（2）只有语文成绩优秀的有多少人？答案：（1）语文成绩优秀的有 30 人，数学成绩优秀的有 28 人，英语成绩优秀的有 20 人。
语文和数学成绩都优秀的有 18 人，语文和英语成绩都优秀的有 12 人，数学和英语成绩都优秀的有 10 人，三科成绩都优秀的有 5 人。
小学数学重叠问题
小学数学重叠问题在小学数学的学习中，我们常常会遇到一种特殊的数学问题，那就是重叠问题。
这种问题通常涉及到两个或多个集合之间的重叠部分，以及这些部分与各个集合之间的关系。
解决重叠问题的关键是理解并应用集合论的基本概念和运算规则。
一、什么是重叠问题？重叠问题是指在一个集合中，另一个集合的元素与之有部分重合，或者两个集合的元素完全重合。
例如，在一群学生中，有的学生既参加数学小组也参加科学小组，这就是两个集合的重叠。
二、如何解决重叠问题？解决重叠问题的关键是正确理解和应用集合论的基本概念和运算规则。
以下是解决重叠问题的基本步骤：1、确定问题的集合：我们需要确定问题的集合，包括所有的元素和它们之间的关系。
例如，在一群学生中，我们需要确定哪些学生参加了数学小组，哪些学生参加了科学小组，以及哪些学生同时参加了两个小组。
2、识别重叠部分：接下来，我们需要识别出集合之间的重叠部分。
在上述例子中，我们需要找出哪些学生既参加了数学小组也参加了科学小组。
3、应用集合运算规则：我们需要应用集合运算规则来解决问题。
例如，如果我们想知道参加数学小组的学生总数，我们需要把只参加数学小组的学生和既参加数学小组又参加科学小组的学生都计算在内。
三、如何避免重叠问题的误解？解决重叠问题时，我们需要注意以下几点以避免误解：1、仔细阅读题目：理解题目中的每个集合和它们之间的关系是解决重叠问题的关键。
我们需要仔细阅读题目，理解每个集合的元素和它们之间的关系。
2、正确应用集合运算规则：在计算集合的元素个数时，我们需要正确应用集合运算规则，例如并集、交集等。
如果我们错误地应用了运算规则，可能会导致误解。
3、画出集合图：画出集合图可以帮助我们更好地理解集合之间的关系和重叠部分。
通过画出图形，我们可以更直观地看到哪些元素属于哪个集合，以及它们之间的重合部分。
四、例子：解决一个简单的重叠问题为了更好地理解重叠问题的解决方法，让我们看一个简单的例子。
假设在一个班级中，有30个学生，其中10个学生同时参加了数学小组和科学小组，5个学生只参加了数学小组，10个学生只参加了科学小组。
重叠问题
重叠问题像这样重叠问题是我们生活中经常遇到的问题，今天我们就来学习有关重叠问题中的“木头重叠”和“人员重叠”。
例1：请按照示例给每个木板标数。
示例：木板长80厘米。
（1）木板长70厘米。
（2）上面的木板长70厘米，下面的木板长60厘米。
练习1：请你按照示例给每块木板标数。
示例：木板重叠部分长30厘米，下面的木板长70厘米。
（1）木板重叠部分长40厘米。
（2）上面的木板长100厘米，下面的木板长100厘米，重叠部分长50厘米。
例2：如图，一块木板长70厘米，另一块木板长80厘米，把它们钉在一起变成一块大木板，中间钉在一起的木板长20厘米。
这块大木板长多少厘米？练习2：如图，两块都是5米长的木板，把它们钉在一起变成一块大木板，中间钉在一起的木板长1米.这块大木板长多少米？对这类题目，我们可以从已知条件入手，认真分析（有时还要作图分析，借助图来思考），找出解题方法。
例3.如图一根木棍长90厘米，另一个木棍长60厘米，两个木棍钉在一起，共长120厘米，那么中间钉在一起的木棍长度是多少厘米？练习3：如图，两块一样长的木板都是10米，:钉在一起时木板共长15米，中间钉在一起的木板长度是多少米？例4：把两根一样长的钢筋焊接成长为8米的钢筋，中间焊接处的重叠部分长2米（如下图），这两根钢筋原来分别长多少米？练习4：把两块一样长的木板:钉成长为120厘米的大木板，中间钉在一起的木板长度是40厘米（如下图），这两块木板原来分别长多少厘米？例5：下午张老师问他们班的学生：“语文作业作文请举手！”有47人举手。
又说：“数学作业做完了请举手！”有33人举手。
“两科作业都做完的请举手！”又有27人举手。
后来张老师发现，每位同学至少做完了一门功课的作业，你能知道张老师班有多少名学生吗？例6：张老师出了两道智力题，让63个学生来回答，其中答对第:一道题的有54个人，答对第二道题的有46个人。
请问：两道题都答对的有几个人？课堂内外：爱上数学主动思考1.请你按照示例给每块木板标数。
重叠问题
重叠问题
1、同学们排除做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数是第4个，从右数是和经3个，从前数是第5个，从后数是第6个。
做操的同学一共有多少个？
2、同学们排除跳舞，每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数、从后数、从左数还是从右数都是第3个。
共有多少个同学跳舞？
3、把两块一样长的木板如下图钉在一起，使其成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分的长度是16厘米。
这两块木板各
长多少厘米？
4、把两段一样长的纸条黏合在一起，使其成了一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分的长度是6厘米。
原来两段纸条各长多少厘米？
5、一次数学测试，全班36人中做对第一道题的有21人，做对第二道题有18人，每人至少做对一道题。
两道题都做对的有几人？
6、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一项比赛。
已知参加赛跑的学生有36人，参加跳绳的学生有38人。
两项比赛都参加的学生有多少人？
7、三（2）班订《数学报》的学生有32人，订《阅读报》的学生有30人，两种报纸都订的学生有10人，全班学生每人至少订一种报纸。
三（2）班有学生多少人？
8、三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的小朋友有78人，带水果的小朋友有77人，要求矿泉水和水果每人至少带一种。
既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？。
重叠问题练习题
重叠问题练习题重叠问题是数学中常见的问题类型之一，涉及到平面上两个或多个图形之间的重叠关系。
解决重叠问题需要运用一些几何概念和技巧。
本文将介绍几道常见的重叠问题练习题，并逐步解答这些问题。
练习题一：已知平面上有两个圆，圆A的半径为r，圆心为O1；圆B的半径为R，圆心为O2。
如果两个圆的圆心距离为d，求问这两个圆是否重叠？解答一：为了判断这两个圆是否重叠，我们可以分情况讨论。
首先，两个圆没有重叠的情况是，当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，即d > r + R。
此时，两个圆之间没有交集，因此不重叠。
另一种情况是，两个圆完全包含在对方内部，即一个圆被另一个圆包围。
这种情况下，两个圆重叠。
具体来说，当两个圆心之间的距离小于两个圆的半径之差时，即d < |r - R|。
在这种情况下，大圆完全包围小圆，或者小圆完全包围大圆。
最后一种情况是，两个圆相互交叠但不能完全包含对方。
这种情况下，两个圆相交的部分形成一个圆环。
具体来说，当两个圆心之间的距离介于两个圆的半径之和和半径之差之间时，即|r - R| < d < r + R，两个圆形成一个圆环，重叠的部分就是这个圆环。
因此，通过对两个圆心距离和半径进行比较，我们可以判断出两个圆是否重叠。
练习题二：已知平面上有一个长方形ABCD，其中AB = a，BC = b。
另外，还有一个正方形EFGH，边长为s。
如果正方形完全位于长方形的内部，并且正方形的顶点之一恰好位于长方形的顶点A处，求问这两个图形的重叠面积是多少？解答二：首先，我们需要考虑正方形EFGH的位置。
根据题意，正方形的一个顶点位于长方形的顶点A处，那么我们可以确定正方形的位置。
由于正方形完全位于长方形的内部，那么正方形的另外三个顶点必然分别位于长方形的其他三个顶点，即B、C、D处。
接下来，我们需要求解两个图形的重叠面积。
重叠面积可以看作是正方形EFGH与长方形ABCD之间的交集部分。
重叠问题
重叠问题[ 例1 ] 洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。
三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。
[ 例2 ] 把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。
可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。
[ 例3 ] 有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。
现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。
算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长45厘米。
[ 例4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？22人8人13人分析：做对第一题的13个人里，有8个人也做对第二题，那么做对第二题的22个人里这8个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8个人。
算式：13+22-8=27（人）所以这个班一共有27人。
[ 例5 ]四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。
一个结用去1+1=2厘米，那么三个结用去2+2+2=6厘米，绳子总长8+8+8+8=32厘米，减去打结的6厘米，32-6=26，现在这根长绳是26厘米。
一年级重叠问题练习题及答案
一年级重叠问题练习题及答案一年级的同学们，今天我们来做一些有趣的重叠问题练习题。
这些问题会帮助你们更好地理解数学中的重叠概念。
让我们开始吧！问题1：小明有5个苹果和3个橙子，他想把它们放在一个篮子里。
如果篮子只能放6个水果，那么小明能把所有的水果都放进去吗？答案：小明有5个苹果和3个橙子，总共8个水果。
篮子只能放6个水果，所以他不能把所有的水果都放进去。
问题2：小华有3个红色气球和2个蓝色气球，她想把它们放在一个盒子里。
如果盒子只能放4个气球，那么小华能把所有气球都放进去吗？答案：小华有3个红色气球和2个蓝色气球，总共5个气球。
盒子只能放4个气球，所以她不能把所有的气球都放进去。
问题3：小刚有4本故事书和3本图画书，他想把它们放在书架上。
如果书架只能放5本书，那么小刚能把所有书都放进去吗？答案：小刚有4本故事书和3本图画书，总共7本书。
书架只能放5本书，所以他不能把所有的书都放进去。
问题4：小丽有6块巧克力和2块糖果，她想把它们放在一个盒子里。
如果盒子只能放7块零食，那么小丽能把所有零食都放进去吗？答案：小丽有6块巧克力和2块糖果，总共8块零食。
盒子只能放7块零食，所以她不能把所有的零食都放进去。
问题5：小强有5辆玩具车和3辆玩具飞机，他想把它们放在一个盒子里。
如果盒子只能放6个玩具，那么小强能把所有玩具都放进去吗？答案：小强有5辆玩具车和3辆玩具飞机，总共8个玩具。
盒子只能放6个玩具，所以他不能把所有的玩具都放进去。
问题6：小芳有4个篮球和3个足球，她想把它们放在一个篮子里。
如果篮子只能放6个球，那么小芳能把所有球都放进去吗？答案：小芳有4个篮球和3个足球，总共7个球。
篮子只能放6个球，所以她不能把所有的球都放进去。
结束语：同学们，你们做得很棒！通过这些练习题，你们应该对重叠问题有了更深的理解。
记得，数学不仅仅是数字，它也能帮助我们解决生活中的实际问题。
继续加油，你们会越来越棒的！。
重叠问题
1、学校组织看文艺演出，东东的座位从左边数是第8个，从右边数是第5个，这一行一共有几个座位？（先画图再列式）
2、小朋友排队去春游，从前边数，小云排第3，从后边数小云排第9，这一队一共有多少个人？（先画图再列式）
3、森林里举行赛跑比赛，小兔子从前面数排第4，从后面排第6，一共有多少只小动物参加比赛？（先画图再列式）
4、小朋友排队玩滑梯，小华前面有4个人，后面有5个人，一共有几个小朋友一起玩？（先画图再列式）
5、小亮坐在缆车上，他发现在他前面有3辆车，后面也有3辆车，请问：一共有几辆缆车？（先画图再列式）
6、小明有8辆车，从左到右摆成一排，小汽车从左边数排第3，从右边数排第几呢？（先画图再回答）
7、排队上车，小红排在第8，后面还有5人，排队上车的有多少人？（先画图再列式）。
重叠问题
重叠问题1、两块一样长的木板钉在一起共长200厘米，中间重叠部分是10厘米，如图。
问：这两块木板各长多少厘米？2、把两根不一样的长的钢筋结成一根较长的钢筋，接成的钢筋共长112厘米，中间重叠部分长14厘米，其中一根钢筋长52厘米。
另一根钢筋长多少厘米？3、两块一样长的木板钉成一块长140厘米的长木板，两块木板钉在一起的重叠部分是12厘米。
原来两块木板各长多少厘米？4、把两块一样长的红条幅缝在一起变成一块长一点的条幅，现在这块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？5、两块不一样长的纸板钉在一起，变成一块长86厘米的纸板，其中一个纸板长41厘米，钉在一起的重叠部分是7厘米。
另一块纸板长多少厘米？6、一根长80厘米的木棍不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米。
两段木棍接起来后共长多少厘米？7、某班有学生56人，体育课上老师统计喜欢跳绳和跳远这两项活动的人数，喜欢跳绳的有41人，喜欢跳远的是37人，没有人这两项都不喜欢的。
这个班这两项活动都喜欢的有几个人？8、三（1）班有65人，一天下午自习课老师统计同学们做作业的情况，其中语文做完的有48人，数学做完的有53人，没有人这两种作业都没做完，那么两种作业都做完的有多少人？9、（4）班67位同学，准备儿童节买红、黄两种颜色的气球布置教室，其中喜欢红色气球的有51人，喜欢黄色气球的有63人，没有这两种颜色的气球都不喜欢的，那么两种颜色都喜欢的有多少人？10、（2）班订《少年月刊》的有45人，订《快乐学数学》的有39人，其中两种刊物都订的有27人，没有两种都不订的。
这个班共有多少人？11、在体育活动中心的一个小组中，会打篮球的有26人，会打排球的有19人，这两种球都会打的有11人，没有人两种球都不会打。
这个活动中心的这个小组共有多少人？12、两块木板板不一样长，其中一块比另一块长10厘米，当把两块木板钉在一起时总长是90厘米，其中定咋一起的部分长20厘米。
三年级数学重叠部分应用题
三年级数学重叠部分应用题在数学学习中，重叠问题是一种常见的应用题型，它要求学生能够理解和运用集合的概念来解决实际问题。
以下是一些关于重叠部分的应用题，适合三年级学生练习。
# 题目一：班级兴趣小组小明所在的班级有40名学生，其中参加数学兴趣小组的有15人，参加科学兴趣小组的有20人。
两个兴趣小组都有5人同时参加。
请问：1. 只参加数学兴趣小组的学生有多少人？2. 只参加科学兴趣小组的学生有多少人？3. 两个兴趣小组都不参加的学生有多少人？# 题目二：动物乐园动物乐园里有三种动物：猴子、大象和长颈鹿。
共有猴子20只，大象15只，长颈鹿10只。
其中，有5只猴子和大象是相同的，有3只大象和长颈鹿是相同的，还有2只猴子和长颈鹿是相同的。
请问：1. 至少有几种动物是重叠的？2. 动物乐园里总共有多少只动物？3. 没有重叠的猴子有多少只？# 题目三：图书馆借书图书馆里有三种类型的书：科幻书、历史书和童话书。
小明借了5本科幻书，小红借了3本历史书，小华借了4本童话书。
他们三人中有2本书是相同的科幻书，1本是相同的历史书，还有1本是相同的童话书。
请问：1. 他们三人总共借了多少本书？2. 他们三人中没有重叠的书有多少本？3. 如果图书馆里每种类型的书都只有10本，他们三人借的书是否超过了图书馆的藏书量？# 题目四：学校运动会学校运动会上，参加跑步比赛的学生有30人，参加跳远比赛的学生有25人，两项比赛都参加的学生有10人。
请问：1. 只参加跑步比赛的学生有多少人？2. 只参加跳远比赛的学生有多少人？3. 如果学校要求每个学生至少参加一项比赛，那么至少有多少学生参加了运动会？# 题目五：电影院观影电影院有三部电影正在放映，分别是《奇幻森林》、《星际穿越》和《海洋奇缘》。
共有100名观众，其中观看《奇幻森林》的有40人，观看《星际穿越》的有35人，观看《海洋奇缘》的有25人。
同时观看《奇幻森林》和《星际穿越》的有15人，同时观看《奇幻森林》和《海洋奇缘》的有10人，同时观看《星际穿越》和《海洋奇缘》的有5人。
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重叠问题
【探究必备】
日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，
解答重叠问题常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排除原理，也叫容斥原理。
容斥原理包含以下两条基本计算公式：
①容斥原理一：，如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：
被计数对象的总个数=A类元素个数+B类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数。
②容斥原理二，如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：
被计数对象的总个数=A类元素+B类元素个数+C类元素个数—同时属于A类和B 类的元素个数—同时属于A类和C类的元素个数—同时属于B类和C类的元素个数+同时属于A、B、C三类的元素个数。
这条原理比较复杂，等到高年级再向孩子介绍。
本讲学习简单的重叠问题，只需孩子理解容斥原理一就可以了。
运用容斥原理解答重叠问题应用题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。
【王牌例题】
例1、三（1）班有48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份报都订，那么：
（1）只订《少年报》的有多少人？
（2）只订《数学报》的有多少人？
（3）有多少人两种报都没订？
【解析】：
先画出订报情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母A
所在的椭圆表示订《少年报》的人数32人；字母B所在的椭圆表示订《数学报》的人数38人；字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报的人数25人；字母D所在的空白部分表示两种报都没有的订的人数。
（1）用订《少年报》的总人数A，减去重叠部分C,剩下来的就是只订《少年报》的人数：32-25=7（人）；
（2）同理,(B-C)就是只订《数学报》的人数：38-25=13（人）；
（3）先求出订报的总人数，即图中所有阴影部分表示的人数，再用班级总人数减去订报总人数，即是两种报都没订的人数D。
这题有两种解法。
解法一：在（1）、（2）两小题中已求出只订《少年报》的人数7人、只订《数学报》的人数13人，即图中纯黑色阴影部分和纯红色阴影表示的人数，中间重叠部分为25人，所以订报总人数为：7+25+13=45（人）。
所以，两种报都没有订的人数为：48-45=3（人）。
解法二：不考虑重叠部分，订《数学报》和《少年报》的总人数为：32+38=70（人）。
有25人两份报都订了，这些人既包含在32人之中，又包含在38人之中，我们在求和时，这25人就加了两遍，重复计算了一遍，要去掉多算的一遍。
因此，订报总人数为：70-25=45（人）。
两种报都没有订的人数就是：48-45=3（人）。
例2、一次老师给全班同学做两道智力趣题，结果全班10人两题都对，8人两题都错，第二道题有15人错，问只对第一道的同学有多少人？
【解析】：
解答这题要抓住题中的有效条件，避免受无效条件的干扰。
因为第二道题有15人错，全班只有8人两题都错，而两题都错的人第二道题肯定错了，所以两题都错的8个人包含在前面15人之中，从15人里去掉这8个人还剩：15-8=7（人）。
去掉两题都错的8人，剩下的7人肯定只错了一道题，他们第二道题错了，第一道题肯定是对的，所以只对第一道的同学有7人。
例3、100位旅游者中，70人懂中文，52人懂英语，还有10人两种语言都不懂。
（1）懂中文和英语的一共有多少人？
（2）既懂英语又懂中文的有多少人？
（3）只懂中文的有多少人？
（4）只懂英文的有多少人？
【解析】：
（1）100名旅游者中，有10人两种语言都不懂，所以懂中文和英语的人一共有：100-10=90（人）。
（2）70人懂中文，52人懂英语，不考虑重叠情况（即既懂英语又懂中文人数），懂两种语言的共有：70+52=122（人）。
在第（1）小题已经求出懂两种语言的总人数为90人，所以被重复计算的既懂英语又懂中文的人数为：122-90=32（人）。
（3）在第（2）小题已经求出既懂英语又懂中文的人数为32人，而懂中文的总人数为70人，这32人是包含在这70人当中的。
从懂中文的总人数中排除既懂英语又懂中文的人数，剩下的就是只懂中文不懂英语的人数：70-32=38（人）。
（4）与第（3）小题同理，从懂英文的52人中排除既懂英语又懂中文的32人，剩下的就是只懂英文不懂中文的人数：52-32=20（人）。
【举一反三】
1、上学期，某校三（1）班有36人订《小学生数学报》，有28人订《小学生之
友报》，两份报纸都订的有14人，全班每人至少订了其中的一种报纸，三（1）班有多少人？
2、有两根铁棒，一根长50厘米，一根长90厘米，给它们焊接在一起后，成为
一根长120厘米铁棒，重叠部分长多少厘米？
3、三（5）班有44人参加了暑期书法与绘画两个兴趣班的学习，其中参加书法
班的有30人，既参加书法班又参加绘画班的有14人，参加绘画班的有多少人？。