高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和思维导图

等差数列的前n 项和
【思维导图】
【微试题】
1. 已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为 ( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－1
4
【答案】A
2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，S 3=12，则a 6等于（ ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14 【答案】C
3. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n
b n
为整数的正整数n 的个
数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
4. (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；
(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和T n.
【答案】（1）当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为130；（2）T n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2n 2
＋23n
n ，
2n 2
－23n ＋n
【解析】解：(1)方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－5
3.
∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－53＝－53n ＋653.
∴a 13＝0，即当n ≤12时， a n >0，n ≥14时，a n <0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为
S 13＝S 12＝12×20＋
12×112×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－53＝130. 方法二 同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋
n
n －
2
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－53
＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524
.
∵n ∈N *
，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 同方法一得d ＝－5
3
.
又由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.
∴当n ＝12或13时，S n 有最大值.且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.
所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列.
令⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝
n ＋－25≥0， ② 由①得n <614；由②得n ≥51
4
，所以n ＝6.
即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差
数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3.则
T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
21n ＋n n －2－n 66＋n －
＋
n －
n －
2
n
＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
－2n 2
＋23n n ，
2n 2－23n ＋
n。