烟台市初三中考数学一模模拟试卷【含答案】

第6题图
A
B
C
D
E
第7
题图
图②
图①
120°
1
2
3
4
120°
第10题图
图1
图2
2
烟台市初三中考数学一模模拟试卷【含答案】
一、选择题(3分×
10=30分) 1. 下列各数中,是5的相反数的是( )
A ． -5
B ． 5
C ．0.5
D ． 0.2
2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY ,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY 放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km .那么这个数的原数是( ) A .143 344 937 km B . 1 433 449 370 km C . 14 334 493 700 km D . 1.43344937 km
4.下列计算正确的是( )
A ．2a -3a =-1
B ．(a 2b 3)3=a 5b 6
C ．a 2 ·a 3=a 6
D ．a 2+3a 2=4a 2 5. 已知关于x 的分式方程mx +
1
x
=2有解,则m 的取值范围是（ ） A .m ≤1且m ≠0 B . m ≤1 C . m ≥-1 D . m ≥-1 且m ≠0 6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 如图所示,在Rt △ABC 中∠A =25°,∠ACB =90°,以点C 为圆心,BC 为半径的圆交AB 于一点D ,交AC 于点E ,则∠DCE 的度数为（ ） A . 30° B . 25° C . 40° D . 50°
8. 不等式组101103
x x +>⎧⎪
⎨->⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示 数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对 应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A ．12
B ．29
C ． 7
9
D ．34
10. 如图1所示,小明(点P )在操场上跑步,
B C
D E 123
第12题图A E B C D
第14题图
A E
F
M A 'B C D 第15题图
A 弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点) 出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x , 小明到右侧半圆形弯道的圆心O 的距离PO 为y ,
可绘制出如图2所示函数图象,那么a -b 的值应为( ) A ．4 B ．52
π-1 C ．
D ．π
二、填空题(3分×5=15分)
11. (-3)0
= .
12. 如图所示,直线ABCD 被BC 所截,若AB ∥CD ,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .
13.二次函数y =x 2-2mx +1在x ≤1时y 随x 增大而减小,则m 的取值范围是 .
14. 如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD =2,AB =4,∠A =30°,以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E . 连接CE ,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)
15.如图所示,正方形ABCD 中,AB =8,BE =DF =1,M 是射线AD 上的动点,点A 关于直线EM 的对
称点为A ，，当△A ，
FC 为以FC 为直角边的直角三角形时,对应的MA 的长为 .
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16. (8分)先化简22442x x x x -+-÷(x -4
x
),然后从
x
x
的值代入求值.
17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： ⑴陈老师一共调查了多少名同学？ ⑵将条形统计图补充完整；
⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A 类学生中随机选取一位同学，再从D 类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
D
18.(9分)如图所示,⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆,AB =AC ,延长BC 至点D ,使CD =AC ,连接
AD 交⊙O 于点E ,连接BE 、CE ,BE 交AC 于点F .
⑴求证：CE =AE ⑵填空： ①当∠ABC = 时,四边形AOCE 是菱形；
②若AE
,AB =则DE 的长为 .
19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长 为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与 底座构成的∠BAD =60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C 到桌面的 高度CE 的长？
（结果精确到0.1cm 1.732）
20.(9分)如图所示,直线y =ax +1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,与双曲线y =
k
x
(x >0)相交于点P ,
PC ⊥x 轴于点C ,且PC =2,点A 的坐标为(-2,0). ⑴求双曲线的解析式；
⑵若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点,且QH ⊥x 轴 于H ,当以点Q 、C 、H 为顶点的三角与△AOB 相似 时,求点Q 的坐标.
21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其
G F E B C D
A 图1图2图3
A
D C
B
E F G G
F E B C
D A
中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用
2400元购进乙种运动鞋的数量相同. ⑴求m 的值
⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?
⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a (50<a <70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.
22.(10分)等腰直角三角形ABC 中,AC =BC E 为AC 中点,以CE 为斜边作如图所示等腰直角三角形CED .
(1)观察猜想: 如图1所示,过D 作DF ⊥AE 于F ,交AB 于G ,线段CD 与BG 的关系为 ；
(2)探究证明:如图2所示，将△CDE 绕点C 顺时针旋转到如图所示位置，过D 作DF ⊥AE 于F ，过B 作DE 的平行线与直线FD 交于点G ,(1)中结论是否成立?请说明理由； (3)拓展延伸: 如图3所示,当E 、D 、G 共线时,直接写出DG 的长度.
23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B (4,0)、C (8,0)， D (8,8).抛物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点.
(1)直接写出点A 的坐标,并求出抛物线的解析式；
(2动点P 从点A 出发,沿线段AB 向终点B 运动,同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t 秒.
①如图1所示,过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ,过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ,点G 关于抛物线对称轴的对称点为H ,求当t 为何值时,△HAC 的面积为16；
②如图2所示,连接EQ ,过Q 作QM ⊥AC 于M ,在点P 、Q 运动的过程中，是否存在某个t ,使得∠QEM =
2∠QCE ,若存在请直接写出相应的t
参考答案
一、选择题(3分×
10=30分) 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D
二、填空题(3分×
5=15分)
11.-2 12.80° 13.m ≥1 14.3-
3π 15. 三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16.解：224442x x x x x x
-+÷--（）
= ()22(24)2x x x x x --÷-= ()()222x x x x x -⨯+-= 12x + 当x =1时，原式=
11
3
2x =+ （名），
又AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴∠CED =∠ACB ，又∠AEB 和∠ACB 都为AB 所对的圆周角，∴∠AEB =∠ACB ，∴∠CED =∠AEB ，∵AB =AC ，CD =AC ，
∴AB =CD ，
在△ABE 和△CDE 中，BAE
DCE AEB CED AB
CD
∠∠∠∠⎧⎪
⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE ≌△CDE （AAS ） (2)①60
当△QCH ∽△BA
中学数学一模模拟试卷
一、选择题（每小题4分，共40分） 1．﹣2019的相反数是（ ） A ．2019
B ．﹣2019
C ．
D ．﹣
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
5．下列运算正确的是（）
A．x3+x2＝x5B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．（x2）3＝x5D．5x2•x3＝5x5
6．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（）A．15cm2B．12cm2C．15πcm2D．12πcm2
7．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）
A．B．
C．D．
8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
9．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG ＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（）
A．2 B．C．﹣1 D． +1
10．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（）
A．B．6C．8D．﹣4
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．因式分解：a2+2ab＝．
12．不等式的解集是．
13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为度．
14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为．
15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF 垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝．
三、解答题
17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°
（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝
18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC ＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．
（1）求证：△BOF≌△COE．
（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．
19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；
（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）
20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）
（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；
（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，
过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD＝AE．
（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．
22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．
（1）求抛物线的表达式；
（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．
②AE最小值为．
23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．
（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克元．
（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．
（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为（日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）
24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．（1）求AD的长；
（2）求证：△BEF∽△BDP；
（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；
（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△
PDG、△GDC的面积分别为S
1、S
2
、S
3
，则S
1
：S
2
：S
3
的值为．
参考答案
一、选择题
1．解：因为a的相反数是﹣a，
所以﹣2019的相反数是2019．
故选：A．
2．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是一个小正方形，故选：B．
3．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，
故应最关心这组数据中的众数．
故选：C．
4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
5．解：A、x3和x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B、结果是x2﹣6x+9，故本选项不符合题意；
C、结果是x6，故本选项不符合题意；
D、结果是5x5，故本选项，符合题意；
故选：D．
6．解：圆锥的母线长＝＝5，
所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）．
故选：C．
7．解：设原计划x天完成，根据题意得：
﹣＝5．
故选：B．
8．解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2019m+1＝0，
∴m2＝2019m﹣1，
∴m2﹣2018m++2＝2019m﹣2018m﹣1++2
＝m++1
＝+1
＝+1
＝2019+1
＝2020．
故选：C．
9．解：设AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠EBF＝90°，
∵AB＝1，∠BEF＝30°，
∴BE＝BF，
∴x+1＝x，
解得：x＝，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝，
∴AH＝AD+DH＝2+＝，
∴tan∠AEH＝＝＝2﹣1，
故选：C．
10．解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，连接EF，DE、CF，设D（x，），则F（x，0），
由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DE F的面积是וx＝k，
同理可知：△CEF的面积是k，
∴△CEF的面积等于△DEF的面积，
∴边EF上的高相等，
∴CD∥EF，
∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD＝EF，
同理EF＝AC，
∴AC＝BD，
∵CD＝5AB，
∴AD＝3AB，
由一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，∴A（﹣1，0），B（0，），
∴OA＝1，OB＝，
∵OB∥DF，
∴＝＝＝，
∴DF＝3，AF＝3，
∴OF＝3﹣1＝2，
∴D（2，3），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝2×＝6，
故选：B．
二、填空题
11．解：原式＝a（a+2b），
故答案为：a（a+2b）
12．解：，
由①得：x≤，
由②得：x＞0，
∴不等式组的解集为：0＜x≤．
故答案为：0＜x≤．
13．解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠AEC＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠AEC＝70°，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝35°，
∵EF⊥EG，
∴∠FEG＝90°，
∴∠BEG＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55
14．解：∵y＝+b交y轴正半轴于点B，
∴B（0，b），
∵在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，
∴B（0，b），
当x＝﹣时，y＝2b，
∴C（﹣，2b），
∴△OAC的面积＝×2b＝，
∴b＝，
故答案为．
15．解：作AC⊥x轴于C，交CB于D，作AE⊥CB于E，连结AB，如图，∵⊙A的圆心坐标为（，a），
∴OC＝，AC＝a，
把x＝代入y＝2x﹣2得y＝2﹣2，
∴D点坐标为（，2﹣2），
∴CD＝2﹣2，
∵AE⊥CB，
∴CE＝BE＝BC＝1，
在Rt△ACE中，AC＝，
∴AE＝＝＝2，
∵y＝2x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝1，
∴G（0，﹣2），F（1，0），
∴OG＝2，OF＝1，
∵AC∥y轴，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠OGF，
∴tan∠ADE＝＝tan∠OGF＝＝，
∴DE＝2AE＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴a＝AC＝AD+CD＝2+2﹣2＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
16．解：连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如图所示：则四边形EMCH是矩形，
∴EM＝CH，CM＝EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，在△ABE和△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，
同理：△ADE≌△CDE，
∴△ADE的面积＝△CDE的面积，
∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，
∴△CDE：△CEF的面积＝3：5，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABC+∠AEF＝180°，
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，
∴EF＝EC，
∵EM⊥BC，
∴FM＝CM＝EH＝DH，
设FM＝CM＝EH＝DH＝x，则FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，∵△CDE：△CEF的面积＝3：5，
∴，
解得：x＝，
∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，
∴AF＝＝，
∴cos∠GEF＝cos∠BAF＝＝＝；
故答案为：．
三、解答题
17．解：（1）原式＝+2+1﹣
﹣＝2﹣2；
（2）原式＝x2+8x+16﹣x2+3x
＝11x+16，
当x＝时，原式＝11×+16＝25．
18．（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，AC＝DF，∠F＝∠C，
∴BF＝CE，
在△BOF与△EOC中，，
∴△BOF≌△COE（AAS）；
（2）解：∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠F＝30°，AE＝1，
∴∠C＝∠F＝30°，
∴AC＝2AE＝2，
∴CE＝1，
∵∠CEO＝∠DEO＝90°，
∴OC＝＝．
19．解：（1）若从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率为；
（2）树状图如下所示：
∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为＝．
20．解：（1）如图点D即为所求．
（2）如图点O即为所求．
21．（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径
∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠ADB，
∵在△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BCA＝∠ACE，
在△ADC和△AEC中，，
∴△ADC≌△AEC（AAS），
∴AD＝AE；
（2）解：连接BF，如图所示：
∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，
∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝＝sin∠DAC＝，∵AB＝BC＝10，
∴CF＝2，
∵BF⊥AC，
∴AC＝2CF＝4，
在Rt△ACD中，sin∠DAC＝＝，
∴CD＝×4＝4，
∴AD＝＝＝8．
22．解：（1）将点A（4，﹣2）、D（2，0）代入，得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；
（2）①如图1，连接BD、DE，作EP⊥AB，并延长交OD于Q，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点A（4，﹣2）关于对称轴对称的点B坐标为（﹣2，﹣2），∴BD＝＝2，
设C（m，﹣2），
则BC＝CE＝m+2，DE＝BD＝2，
∵QD＝1，PQ＝2，
∴PE＝QE﹣PQ＝﹣1＝﹣1，
∵PC＝1﹣m，
∴由PC2+PE2＝CE2可得（1﹣m）2+（﹣1）2＝（m+2）2，解得m＝，
∴点C的坐标为（，﹣2）；
②如图2，
∵DB＝DE＝2，
∴点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上，
连接DA，并延长交⊙D于点E′，此时AE′取得最小值，∵DA＝＝2，
则AE的最小值为DE﹣DA＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
23．解：（1）30+0.5×10＝35元，
答：放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克35元，故答案为：35；
（2）由题意得，（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x＝36000，
解得：x
1＝20，x
2
＝60（不合题意舍去），
答：x的值为20；
（3）设经销商销售总额为y元，
根据题意得，y＝（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x﹣30000﹣ax，且20≤x≤30，整理得y＝﹣5x2+（400﹣a）x，
对称轴x＝，
当0≤a≤100时，当x＝30时，y有最大值，
则﹣4500+30（400﹣a）＝1800，
解得a＝190（舍去）；
当a≥200时，当x＝20时，y有最大值，
则﹣2000+20（400﹣a）＝1800，
解得a＝210；
当100＜a＜200时，当x＝时，y取得最大值，y
＝（a2﹣800a+16000），
最大值
由题意得（a2﹣800a+16000）＝1800，
解得a＝400（均不符合题意，舍去）；
综上，a的值为210．
故答案为：210．
24．解：（1）设CD＝x，则BD＝10﹣x，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，依题意得：，
解得x＝6，
∴AD＝＝8．
（2）∵四边形BFEP是圆内接四边形，
∴∠EFB＝∠DPB，
又∵∠FBE＝∠PDB，
∴△BEF∽△BDP．
（3）由（1）得BD＝6，
∵PD＝3，
∴BP＝＝，
∴cos∠PBD＝，
当△DEP为等腰三角形时，有三种情况：
Ⅰ．当PE＝DP＝3 时，BE＝BP﹣EP＝，
∴BF＝＝＝．
Ⅱ．当DE＝PE时，E是BP中点，BE＝，
∴BF＝＝＝，
Ⅲ．当DP＝DE＝3时，PE＝2×PD cos∠BPD＝＝，∴BE＝3，
∴BF＝＝＝，
若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，BF的长为、、．
（4）连接EG交P D于M点，
∵DG∥BP
∴∠EPD＝∠EDF＝∠PDG，
∴PG＝DG，
∵EP＝PG，ED＝DG，
∴四边形PEDG是菱形，
∴EM＝MG，PM＝DM，EG⊥AD，
又∵BD⊥AD，
∴EG∥BC，
∴EM＝，
∴，
∴AM＝6，
∴DM＝PM＝2，
∴PD＝4，AP＝4，
∴S
△APG
＝＝×4×3＝6，
S
△PDG
＝＝×4×3＝6，
S
△GDC
＝＝＝4．
∴S
1：S
2
：S
3
＝6：6：2＝3：3：2．
中学数学一模模拟试卷
一．选择题（每题3分，满分36分）
1．3的倒数是（）
A．﹣3 B．﹣C．D．3
2．下列由年份组成的各项图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．下列说法正确的是（）
A．0是无理数B．π是有理数C．4是有理数D．是分数4．下列事件是必然事件的是（）
A．2018年5月15日宁德市的天气是晴天
B．从一副扑克中任意抽出一张是黑桃
C．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D．打开电视，正在播广告
5．如图所示的某零件左视图是（）
A．B．C．D．
6．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）
A．B．
C．D．
8．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则乙建筑物的高度为（）米．
A．30B．30﹣30 C．30 D．30
9．已知一次函数y＝kx﹣1和反比例函数y＝，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C．D．
10．某农场2016年蔬菜产量为50吨，2018年蔬菜产量为60.5吨，该农场蔬菜产量的年平均增长率相同．设该农场蔬菜产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．60.5（1﹣x）2＝50 B．50（1﹣x）2＝60.5
C．50（1+x）2＝60.5 D．60.5（1+x）2＝50
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．如图，Rt △ABC 的两边OA ，OB 分别在x 轴、y 轴上，点O 与原点重合，点A （﹣3，0），点B （0，3
），将Rt △AOB 沿x 轴向右翻滚，依次得到△1，△2，△3，…，则△2020的
直角顶点的坐标为（ ）
A ．（673，0）
B ．（6057+2019，0）
C ．（6057+2019
，
）
D ．（673，
）
二．填空题（满分16分，每小题4分）
13．已知一组数据2、﹣1、8、2、﹣1、a 的众数为2，则这组数据的平均数为 ． 14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，D 是线段AC 的中点若AB ＝12cm ，BC ＝5cm ，则AD 的长为 cm ．
15．在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为（m ，n ），向量可以用点P 的坐标表示为
＝
（m ，n ）． 已知：
＝（x 1，y 1），
＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么
与
互相垂直，下
列四组向量： ①＝（2，1），
＝（﹣1，2）；
②＝（cos30°，tan45°），＝（1，sin60°）；
③
＝（
﹣
，﹣2），
＝（
+
，）；
④＝（π0，2），＝（2，﹣1）．
其中互相垂直的是（填上所有正确答案的符号）．
16．如图，点A是反比例函数图象上的点，分别过点A向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为．
三．解答题
17．（12分）（1）计算：（﹣3）2+2﹣2÷sin30°﹣20120；
（2）解方程组；
（3）先化简再求值：÷，其中m＝+1．
18．（10分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为A、B、C、D四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a＝，b＝，c═，
（2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为＝，
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．19．（8分）甲、乙两工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由甲、乙两队合
作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成工程所需天数的2倍，则甲、乙两工程队单独完成工程各需多少天？
20．（12分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△COD绕点O逆时针旋转得△C′O′D′，连接AC′，BD′，AC′与BD′相交于点P．
（1）求证：AC′＝BD′；
（2）若∠ACB＝26°，求∠APB的度数．
21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tan B＝，求PA的长；
（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．
22．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N 是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△OD P中OD边上的高为？若存
在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
参考答案
一．选择题
1．解：3的倒数是：．
故选：C．
2．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
3．解：A、0是有理数，所以A选项错误；
B、π不是有理数，是无理数，所以B选项错误；
C、4是有理数中的正整数，所以C选项正确；
D、是一个无理数，所以选项D错误．
故选： C．
4．解：A、2018年5月15日宁德市的天气是晴天是随机事件；
B、从一副扑克中任意抽出一张是黑桃是随机事件；
C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边是必然事件；
D、打开电视，正在播广告是随机事件；
故选：C．
5．解：从左边看是一个矩形，其中间含一个圆，如图所示：
故选：B．
6．解：如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°，
故选：C．
7．解：
由①，得x≥2，
由②，得x＜3，
所以不等式组的解集是：2≤x＜3．
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
故选：A．
8．解：如图，过A作AF⊥CD于点F，
在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，BC＝30m，∵tan∠DBC＝，
∴CD＝BC•tan60°＝30m，
∴甲建筑物的高度为30m；
在Rt△AFD中，∠DAF＝45°，
∴DF＝AF＝BC＝30m，
∴AB＝CF＝CD﹣DF＝（30﹣30）m，
∴乙建筑物的高度为（30﹣30）m．
故选：B．
9．解：当k＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限；
∵一次函数y＝kx﹣1与y轴交于负半轴，
∴D选项正确，
故选：D．
10．解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为50吨，则2017年蔬菜产量为50（1+x）吨，2018年蔬菜产量为50（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到60.5吨，
即：50（1+x）2＝60.5．
故选：C．
11．解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②抛物线的对称轴为x＝1，
∴（﹣1，y）关于直线x＝1的对称点为（3，y），
（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c）
∴x＝2，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；
③抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由对称轴可知：＝1，
∴2a+b＝0，故④错误；
⑤由图象可知：y＝3时，
此时ax2+bx+c＝3只有一解x＝1，
∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相同的根，故⑤正确；
故选：C．
12．解：∵2020÷3＝673． (1)
∴△
2020的形状如同△
4
∴△
2020
的直角顶点的纵坐标为0
而OB
1+B
1
A
2
+A
2
O
2
＝3+6+3＝9+3
∴△
2020
的直角顶点的横坐标为（9+3）×673＝6057+2019
故选：B．
二．填空题
13．解：数据2、﹣1、8、2、﹣1、a的众数为2，即2的次数最多；
即a＝2．
则其平均数为（﹣1﹣1+2+2+2+8）÷6＝2，
故答案为：2．
14．解：∵AB＝12cm，BC＝5cm，
∴AC＝AB﹣BC＝7cm，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝3.5cm．
故答案为：3.5．
15．解：①因为2×（﹣1）+1×2＝0，所以与互相垂直；
②因为cos30°×1+tan45°•sin60°＝×1+1×＝≠0，所以与不互相垂
直；
③因为（﹣）（+）+（﹣2）×＝3﹣2﹣1＝0，所以与互相垂直；
④因为π0×2+2×（﹣1）＝2﹣2＝0，所以与互相垂直．
综上所述，①③④互相垂直．
故答案是：①③④．
16．解：设A（﹣m，m），其中m＞0，
则﹣m2＝﹣2，
∴m＝±，
∴m＝，
∴S
阴＝S
正
﹣S
圆
＝2﹣π•＝2﹣.π
故答案为2﹣π．
三．解答题
17．解：（1）原式＝9+÷﹣1＝8；
（2），
①×2﹣②得，
5y＝﹣10，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①，得x＝5，
∴；
（3）原式＝×＝，
当m＝+1时，原式＝＝3+3．
18．解：（1）12÷30%＝40，
a＝40×5%＝2；
b%＝×100%＝45%，即b＝45；
c%＝×100%＝20%，即c＝20；
（2）B等次人数为40﹣12﹣8﹣2＝18，
条形统计图补充为：
C等次的扇形所对的圆心角的度数＝20%×360°＝72°；
故答案为2，45，20，72°；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两名男生同时被选中的结果数为2，所以甲、乙两名男生同时被选中的概率＝＝．
19．解：设乙队单独完成工程需要x天，则甲队单独完成工程需要2x天，得
++＝1，
解得x＝4．
经检验，x＝4是所列方程的解．
则甲队单独完成工程需要8天．
答：乙队单独完成工程需要4天，则甲队单独完成工程需要8天．20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OC＝A C，OB＝OD＝BD，AC＝BD
∴OA＝OC＝OB＝OD
∵△COD绕点O逆时针旋转得△C′O′D′，
∴OC′＝OC，OD′＝OD，∠D′OC′＝∠DOC＝∠BOA
∴OB＝OA，OD′＝OC′，∠BOD′＝∠AOC′＝∠AOB+∠AOD′
∴△BOD′≌△AOC′（SAS）
∴AC'＝BD’
（2）
由（1）得△BOD′≌△AOC′，OC＝OB
∴∠OBD′＝∠OAC′，∠OBC＝∠ACB＝26°
又∠BEO＝∠AEP
∴∠APB＝∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝26°+26°＝52°
21．解：（1）证明：连接OD，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°，
∵OA⊥CD
∴CE＝DE
∴PC＝PD
∴∠PDC＝∠PCD
∵OC＝OD
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
（2）如图2，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴tan B＝＝
设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝，AC＝2，BC＝4，
∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝2×4，
∴CE＝4，BE＝8，AE＝2
在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5，
∴CE＝＝＝4，
∵
∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5，
∴OP＝，PA＝OP﹣OA＝﹣5＝．
（3）AB2＝4OE•OP
如图2，∵PC切⊙O于C，
∴∠OCP＝∠OEC＝90°，
∴△OCE∽△OPC
∴，即OC2＝OE•OP
∵OC＝AB
∴
即AB2＝4OE•OP．
22．解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2
∴A（2，0）
∵OA：AD＝1：3
∴AD＝3OA＝6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E
∴解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）
∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称
∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）
∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°
∴∠BAM＝45°
∴BM＝AB＝4
∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上
∴M'（6，4），FM＝FM'
∵N为CD中点
∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上
∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C
四边形MNGF
＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小
∴C
四边形MNGF
＝MN+M'N'＝＝2+10＝12∴四边形MNGF周长最小值为12．
（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．
过点P作PE∥y轴交直线OD于点E
∵D（2，﹣6）
∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x
设点P坐标为（t， t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）
①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧
∴PE＝y E﹣y P＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t
∴S
△ODP ＝S
△OPE
+S
△DPE
＝PE•x P+PE•（x D﹣x P）＝PE（x P+x D﹣x P）＝PE•x D＝PE＝﹣t2+t
∵△ODP中OD边上的高h＝，
∴S
△ODP
＝OD•h
∴﹣t2+t＝×2×
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y P﹣y E＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t
∴S
△ODP ＝S
△OPE
﹣S
△DPE
＝PE•x P﹣PE•（x P﹣x D）＝PE（x P﹣x P+x D）＝PE•x D＝PE＝t2
﹣t
∴t2﹣t＝×2×
解得：t
1＝﹣4（舍去），t
2
＝6
∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．
（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4
∴K（m，0），L（2+m，0）
连接AC，交KL于点H
∵S
△ACD ＝S
四边形ADLK
＝S
矩形ABCD
∴S
△AHK ＝S
△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴
∴AH＝CH，即点H为AC中点
∴H（4，﹣3）也是KL中点
∴
∴m＝3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度．。