高考数学学科备考关键问题指导系列三(三角函数存在问题及应对策略)

福建省2023届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列三
三角函数存在问题及应对策略
（福建省2023高三复习备考指导组研制，张兵源、洪云执笔整理）
三角函数内容是高中数学中的基础内容、也是重要内容之一，历年来在数学科高考中都占有重要地位．三角函数部分的全国卷高考试题呈现以下四个特点：（1）利用数形结合考查，通过图形分析、研究、总结三角函数的性质和图象特点；（2）利用三角公式考查，创设试题情境，灵活运用公式，解决问题；（3）利用真实情境考查，考查解三角形内容，体现三角函数的工具性作用；（4）体现思维深度，考查创新意识．
在文理不分科的全国卷的新高考试题中，三角函数部分是六大解答题之一，一般是一大两小，难度控制中等．对三角函数的考查突出基础，体现综合，对恒等变形的要求和过去比有所下降，更多强调对公式的灵活运用，以三角函数作为背景的函数性质应用考查经常出现．
随着新课标的实施和高中课程与高考的综合改革，2022年全国新高考Ⅰ卷考查一道单选题和一道解答题，单选题第6题考查sin()y A wx b ϕ=++型函数的图象与性质，解答题第18题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式．在学科思想的层面上，课程的教育功能和试题的考查功能是多元的，在三角函数核心知识的考查中充分展示了化归与转化思想的运用，考查了推理能力与数学运算等数学学科核心素养．
表1：2017年--2020年全国Ⅰ卷三角函数考点分布统计表（理科）
表2：2021年--2022年全国新高考Ⅰ卷三角函数考点分布统计表
2022届高考是继2021年首届文理不分科且使用理科旧教材的第二届新高考，下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．
一、存在的问题及归因分析 （一）概念理解不透彻
本专题中，概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等．
【例1】（2022·新高考Ⅰ）6．记函数()sin()4f x wx b π=++，(0)w >的最小正周期为T ．若23
T π
π<<，
且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则()2f π
= A ．1
B ．
3
2
C ．
52
D ．3
【解析】已知函数()sin()4
f x wx b π
=++，(0)w >的最小正周期为T ,
2T w
π=
，23T ππ<<，得223w πππ<<，23w ∴<<，
()y f x =的图像关于点3(
,2)
2
π
中心对称，2b ∴=， 且3sin(
)024w ππ+=，则324w k πππ+=，21()34w k =-，k Z ∈，取4k =，可得52
w =， 5()sin()224f x x π∴=++，53()sin()2sin 21212442f ππππ∴=++=+=-+=．
故选A ．
【评析】本题由已知周期T 的范围求得w 的范围，由对称中心求解w 与b 的值，可得函数()f x 解析式，从而求出()2f π
的值．本题考查sin()y A wx b ϕ=++型函数的图象与性质，考查推理能力与数学运算等数学学
科核心素养．
本题解题关键在于从已知周期T 的范围去求w 的范围，进而求出k 的值，从而确定w 的值，得到函数()f x 的解析式．
本题易错的主要原因：其一，对三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等模糊不清，从而无法求出w 的值来解决问题；本题的另一个易错点是学生未能正确求出k 值，导致错误.
（二）整体意识较薄弱
在三角函数专题中，常常出现三角求值问题．在求值过程中，整体意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：①找不准已知式与待求式之间的差别与联系，无法将角进行合理的拆分；②对角的结构特征分析不透，不能从整体的意识上去分析和思考问题等．
【例2】（2022年·新高考Ⅱ）6．若sin()cos())sin 4π
αβαβαβ+++=+，则
A ．tan()1αβ-=
B ．tan()1αβ+=
C ．tan()1αβ-=-
D ．tan()1αβ+=-
【解析】解法一：已知sin()cos())sin 4
π
αβαβαβ+++=+，
))sin 44ππ
αβαβ++=+，
即sin()2cos()sin 44
ππ
αβαβ++=+， sin()cos cos()sin 2cos()sin 444πππ
αβαβαβ∴+++=+， sin()cos cos()sin 044ππ
αβαβ∴+-+=， sin()04
π
αβ∴+
-=，4
k π
αβπ∴+
-=，k Z ∈，
4
k π
αβπ∴-=-
+，
tan()1αβ∴-=-．
解法二：已知sin()cos())sin 4
π
αβαβαβ+++=+,
可得sin cos cos sin cos cos sin sin 2(cos sin )sin αβαβαβαβααβ++-=-， 即sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=， sin()cos()0αβαβ∴-+-=，
tan()1αβ∴-=-．
故选C ．
【评析】本题解题关键在于利用辅助角公式和两角和差公式运算，方法二将sin()αβ+，cos()αβ+，
)sin 4π
αβ+分别展开后，即可求解．本题考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应
用，“从角的关系出发分析问题”与“从（同角）三角函数值的代数运算关系出发分析问题”，是我们在解决同类问题时最常用的两种途径.
本题易错的主要原因：学生不能灵活应用公式，两角和差公式在展开过程中出错，或将已知条件复杂化，从而无法解决问题.
（三）恒等变形欠灵活
化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想．在三角恒等变形中，学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位，识别、选择、应用三角公式解决问题的能力不强，致使三角恒等变形转化不准确，造成后续求解繁琐或错误．
【例3】（2021年·新高考Ⅰ）6．若tan 2θ=-，则
sin (1sin 2)
sin cos θθθθ
+=+
A ．65-
B ．25
-
C ．
25 D ．
65
【解析】因为
222
sin (1sin 2)sin (sin 2sin cos cos )sin (sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++===++++ 2222222sin (sin cos )sin sin cos tan tan 2
sin cos sin cos tan 15
θθθθθθθθθθθθθ+++====+++．
故选C ．
【评析】与高中其他内容相比，三角函数知识的最大特点是公式多．通过对公式的应用，重点考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．学生在学习的过程中，要重视对公式的灵活运用，抓住公式之间存在的联系．同时，要特别注意理解公式之间的相互转化和相互推导．例如，诱导公式中角的周期性变化、正负取值，两角和与差公式中角的组合变化等．
本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，解题关键从二倍角公式入手，利用22sin cos 1θθ+=化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．
本题易错的主要原因：其一，学生对化归意识不强，不能将含有2θ的三角关系式转化为含有θ的三角关系式，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是对三角恒等变形转化不准确，不能快速地识别、选择、应用三角公式22sin cos 1θθ+=齐次化得tan θ，导致错误．三角恒等变形的实质是消除两个式子的差异，认真观察、比较已知条件与待求式子之间的联系，选择适当途径，将已知式与待求式化异为同，从而达到解题的目的．
（四）数形结合不灵巧
在本专题中，形数结合不灵巧主要表现在：对三角函数的图象与性质（周期性、单调性与对称性）的掌握情况不理想；对三角概念及三角函数三种表征的理解与变换不透彻；对三角函数的数形结合思想的运用以及基于三角函数的逻辑推理能力不强，尤其是识图、用图能力及利用三角公式进行三角恒变形的能力不强．
【例4】（2022年·全国甲）11．设函数()sin()3f x wx π
=+在区间(0,)π恰有三个极值点、两个零点，则w
的取值范围是 A ．513,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】函数()sin()3
f x wx π
=+在区间(0,)π恰有三个极值点、两个零点，
(0,)x π∈，(,)333
wx w π
ππ
π∴+
∈+ 5323w ππ
ππ∴<+≤ 13863
w ∴
<≤．
故选C ．
【评析】本题主要考查正弦三角函数图象与性质的应用问题，考察了数形结合解题思想，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．根据函数图象，可得出零点区间长度．三角函数是一种比较特殊的函数，侧重奇偶性、单调性、最值、含绝对值图象变换等，同时又体现了三角的特殊性，如周期性．三角函数的图象和性质几乎是每年高考必考的内容，此考点多结合三角公式设置综合问题，能够很好地体现数形结合的思想，考查学生的观察、分析和动手能力．此考点题目多为中档难度试题．在这部分内容的学习中要多利用图形解释、理解知识，这样能更好地理解比较抽象的概念，形成直观印象．在教学与学习中，应该视为函数体系中的一部分．因此，在三角函数的教学过程中，教师应该引导学生根据一般的函数研究思路对三角函数进行探究，即给出定义→画出图象→研究性质→进行应用．这样的研究思路可以使学生对三角函数有一个系统的认识，有利于深化学生对三角函数的理解．
本题解题关键在于从相邻两零点和三个极值点的最大距离及占区间长度最小值入手，从而求得w 的取值范围．
本题易错的主要原因：其一，面对零点与极值点区间长度问题，学生有畏惧心态无从下手,从而无法解决问题；本题的另一个易错点是不能利用函数的性质进行应用，对函数的图象的变换的本质理解不够到位，不会正确作出用函数图象加以分析，导致错误．
（五）定理应用欠思考
本专题的显著特点就是公式多、定理多．学生对相关的概念、公式理解掌握不到位，导致解决相应的问题时，思维不顺畅，定理应用欠思考，如在应用诱导公式解三角函数问题时，常出现公式记忆不准确，不注意角的范围和象限等；在解决有关()sin()f x A wx b ϕ=++问题时，不能准确应用有关的三角函数性质，不注意所给的角或者参数的范围；在三角恒等变形中，选用公式不合理或转化不准确，造成后续求解繁琐或错误；在解决三角形问题时，忘记或不会应用三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围，不能熟练掌握正、余定理的几种常见变形等，这些都是造成失分的主要原因．
【例5】（2022年·全国乙）17．记ABC ∆的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．
（1）证明：2222a b c =+； （2）若5a =，25
cos 31
A =
，求ABC ∆的周长．
【解析】（1）证明：ABC ∆中，sin sin()sin sin()C A B B C A -=-， sin (sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )C A B A B B C A C A ∴-=-，
sin sin cos sin cos sin 2sin sin cos C A B B C A B C A ∴+=， sin (sin cos cos sin )2sin sin cos A B C B C B C A ∴+= sin sin()2sin sin cos A B C B C A ∴+=
即22cos a bc A =
又2222cos a b c bc A =+-， 得2222a b c =+． （2）若5a =，25
cos 31
A =
时，由（1）知，222250b c a +==， 又由（1）知，2
2cos a bc A =，225
23125
cos 31a bc A ∴===，
222()2503181b c b c bc ∴+=++=+=，9b c ∴+=，
所以ABC ∆的周长为5914a b c ++=+=．
【评析】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力． 本题第（1）问解题关键在于利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求证明等式；第（2）问解题关键是利用（1）中结论求出22b c +和2bc 的值，整体思想求出b c +，从而求处
ABC ∆的周长．
本题易错的主要因：其一，三角恒等变换、边角互化不熟悉，没有转化成边的关系，从而无法解决问题；本题的另一个易错点没有整体思想，分开求解b ，c ，导致计算繁杂．
（六）知识交汇不顺畅
本专题的知识内容较多，高考对本专题的考查常常将众多知识进行交汇．如在诱导公式和同角三角函数关系的考查中，常与三角函数式求值、化简，和差公式及倍角公式等综合进行，容易产生错误；在研究函数sin()y A x ωϕ=+问题时，不仅关注解析式及其图象，还关注周期性、对称性、单调性及最值等，综合度较大，要求较高，学生常因考虑不周而失分．不仅如此，高考对本专题的考查，还常将三角函数与指数函数、对数函数、幂函数等进行交汇，考查函数的相关问题，综合性强，学生不容易得分． 【例6】（2021年“八省联考”）22．已知函数()()sin cos ,sin cos x x f x e x x g x e x x =--=++. （1）证明：当54
x π
>-
时，()0f x ≥； （2）若()2g x ax ≥+,求a .
【解析】证明：（1）()cos sin x f x e x x '=-+,
（Ⅰ）当5,4
2x ππ⎛⎤
∈-- ⎥⎝⎦时，sin cos 0x x --≥，故()0f x ≥；
（Ⅱ）当,02x π⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，cos sin 1x x -+<-，()0f x '<，()f x 单调递减，而()0=0f ，故()0f x ≥；
（Ⅲ）当0x =时，()0f x =；
（Ⅳ）当()0,x ∈+∞时，1cos sin x x x +>+.设()1x h x e x =--,则当()0,x ∈+∞，()10x h x e '=->,故()h x 单调递增，()00h =,()()0f x h x ∴>>.
（2）设()()()()2cos sin x k x g x ax g x a e x x a ''=--=-=+--，则()()k x f x '=,由（1）知，当5,4x π⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0k x '≥,()k x 在5,4π⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递增, ()02k a =-. （Ⅰ）若2a >,()00k <,()ln 10k a +>,故存在唯一()00,ln 1x a ∈+,使得()00k x =.当()00,x x ∈时，()0k x <,()2g x ax --单调递减，而()0200g a --⨯=,故()0020g x ax --<；
（Ⅱ）若02a <<,()0k x >,()0k π-<,故存在唯一()1,0x π∈-，使得()10k x =,当()1,0x x ∈时，()0k x >,()2g x ax --单调递增，而,()0200g a --⨯=,故()1120g x ax --<；
（Ⅲ）若0a ≤,2022g a ππ⎛⎫⎛⎫
----< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
;
（Ⅳ）若2a =,()k x 单调递增，()00k =. 当5,04x π⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时, ()0k x <,()220g x x -->;
当(),2x ∈-∞-时, ()0k x <,()220g x x -->;
当[)0,x ∈+∞时, ()0k x >,()02200g --⨯=,故()220g x x -->. 综上, =2a .
【评析】本题的两问难度较大，考察三角函数的导数、证明不等式恒成立问题，构造函数、分类讨论单调区间、极值点和零点的概念，充分体现了在知识交汇处命题的意图．同时，对知识的考查注重理解和应用，体现了新课程理念，也重点考查了学生的学科素养．
本题解题关键在于求出导函数()cos sin x f x e x x '=-+，从讨论x 的区间入手，判断()f x '的符号，结合三角函数的有界性和不等式放缩求出()f x 的范围，进而分类讨论参数a ，求出a 的值.
本题易错的主要原因：其一，运算不过关．具体表现在导数公式记忆出错、求导法则应用出错等，导致后面求解出现错误，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是解题严谨性欠缺,对函数单调性的分类讨论不全面，从导函数的符号到函数的增减性分析不完整；数学思想方法掌握不到位．在第（2）问中，无
法找到对参数讨论的分界点、不会对参数进行讨论，导致错误.
二、解决问题的思考与对策
（一）重温概念的来龙去脉，理清知识网络，切实掌握三角函数的概念，图象与性质．高考对三角函数的考查，尤其是选择题（2021年，2022年新高考增加多选题）、填空题对三角函数的考查， 2022年往往以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式等作为出发点，考查三角函数的求值问题；以三角函数的图象与性质为载体，考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等．复习过程中，要关注三角函数的定义，以此为基础掌握同角公式、诱导公式、和差倍角公式；要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的重要性，它们都是重要的解题辅助工具；要关注思想方法的渗透，特别是化归与转化思想，它是三角恒等变形的主导思想．
【例7】（2022·新高考Ⅱ）（多选题）9．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(0)ϕπ<<的图像关于点2(,0)3
π
中心对称，则 A ．()f x 在区间5(0,)12π单调递减 B ．()f x 在区间11(,)1212
ππ-有两个极值点
C ．直线76
x π
=
是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线
【解析】因为()sin(2)f x x ϕ=+(0)ϕπ<<的图象关于点2(,0)3
π
中心对称，
223
k π
ϕπ∴⨯
+=，k Z ∈， 43
k π
ϕπ∴=-
+， 又0ϕπ<<，
23
πϕ∴=
， 2()sin(2)3
f x x π∴=+． 令
2322
32x π
ππ<+
<
，解得51212
x ππ
-<<， ()f x ∴在区间5(0,
)12
π
单调递减， A 正确； 11(,
)1212x ππ
∈-
，252(,)322
x πππ∴+
∈， 根据函数的单调性，函数()f x 在区间11(,)1212
ππ
-只有一个极值点，B 错误；
令2232
x k ππ
π+
=+，k Z ∈ 得12
2
k x π
π
=-
+
，k Z ∈，C 错误； 2()sin(2)3f x x π=+
，2()2cos(2)3
f x x π'∴=+，
令2()2cos(2)13f x x π'∴=+=-，即21cos(2)32
x π+=-， 解得x k π=或3
x k π
π=
+，k Z ∈，
()y f x ∴=在点⎛ ⎝⎭
处的切线斜率为1-，()y f x ∴=的切线方程为y x =，D 正确． 故选AD ．
【评析】本题考查的知识点有三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力．
本题的解题关键在于利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步考查函数的单调性、对称轴、极值点及切线．
本题易错的主要原因：其一，学生不会利用函数的对称性求ϕ值，从而无法得出函数的关系式；本题的另一个易错点对函数()f x 的极值点和切线的求解掌握不到位.
（二）强化学生三角函数公式的记忆，关注公式的正用、逆用与公式的变形，提高学生三角函数求值和三角恒等变换问题的解题能力．理清三角函数求值的常见类型，特别是给角求值、给值求值问题．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的． 【例8】（2022·上海高考）（填空题）3．函数22()cos sin 1f x x x =-+的周期为 ． 【解析】2222222()cos sin 1cos sin cos sin 2cos cos 21f x x x x x x x x x =-+=-++==+，
22
T π
π∴=
=． 答案为：π．
【评析】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用．三角恒等变换是高考对三角函数考查的重点内容．在三角恒等变换中，一要熟悉公式正用、逆用，也要注意公式的变形，如21cos 22cos αα+=，21cos22sin αα-=，
1tan π
tan()1tan 4
ααα+=--，
tan tan tan()[1tan ]αβαβαβ±=±等；二要注意拆角、拼角的方法和技巧，如()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--等；三要关注常用的解题思路，如“1”的代换、“正切为弦”、
“化异为同”等．
本题解题关键由三角函数的恒等变换化简函数可得()cos 21f x x =+，根据周期公式即可求值． 本题易错的主要原因：对二倍角公式在三角函数化简求值的应用不熟练，从而无法解决问题.
【例9】（2016全国Ⅰ卷文）14．已知θ是第四象限角，且π3sin()45θ+=，则π
tan()4
θ-= ．
【解析】思路1： 考虑到πππ()()442θθ+--=，令ππ,=44αθβθ=+-，则π
2βα=-，因为θ是第四象
限角，所以cos 0α>，故4cos 5
α=，所以πcos 4
tan tan()2sin 3αβαα=-=-
=-． 思路2：考虑ππ()44θθ+-=，运用两角和的正切公式．令π4αθ=+，则π
4
θα=-，因为θ是第四
象限角，所以cos 0α>，故4cos 5α=，从而sin 3tan cos 4ααα==，所以πtan tan()4θα=-tan 1
tan 1
αα-=+ 17
=-，故πtan 14
tan()41tan 3θθθ--=
=-+． 思路3：π
cos()
πtan 1cos sin 44tan()π41tan sin cos 3sin()4
θθθθθθθθθ+---==-=-
=-+++． 思路4：展开π3sin()45θ+=求出sin θ，运用两角和的正切公式．因为π3
sin()45
θ+=，所
以
sin cos 5θθ+=
，7sin cos 50θθ=-，因为θ是第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，
解得sin 10θ=-
，
cos 10
θ=
，所以1tan 7θ=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+． 思路5： 运用两角和的正弦公式求出sin θ，再运用两角和的正切公式．因为π3
sin()45
θ+=，θ是第
四象限角，所以π4cos()45θ+=，从而ππsin sin()44θθ=+-
ππ
))44
θθ=++
34()55-=
，cos θ=，所以1tan 7θ=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+． 【评析】本题解题关键在于从观察角π4θ+和π
4
θ-关系入手，进而运用两角和差的正弦、余弦或正切公式
都可以解题.
本题易错的主要原因：其一，没找出两角关系特点从而无法解决问题；本题的另一个易错点是两角和差公式计算错误.
（三）重视函数三种表征的理解和应用，加强函数()sin()f x A x b ωϕ=++图象与性质的研究．突破三角函数图象与性质问题的关键是识图、用图能力的形成以及利用三角公式进行三角恒等变换能力的培养．高考复习中，要重视对正弦型三角函数概念及正弦型三角函数三种表征的理解与转换；重视对三角函数的数形结合思想的应用；重视基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力的培养． 【例10】多选题（2021年“八省联考”）12．函数cos2()2sin cos x
f x x x
=
+，则
A ．()()f x f x π=+
B ．()f x 的最大值为
12
C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增
D ． ()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增 【解析】思路1：A 选项考察周期性.由()cos 2cos 2cos 20()2=22sin cos sin 2+4sin 24x x x f x x x x x -=
=⨯⨯+--，得()f x 的几何意义为单位圆上动点()sin 2,cos 2x x 与点()4,0-连线斜率的2倍来判断BCD 选项，其中，B 选项也可用辅
112sin 22,2sin 2222x x x x -≤∴+≥,解得cos 2()1sin 2+22
x f x x =的最大值． 故选AD ．
思路2：由()
()2414sin 2()4sin 2x f x x -+'=+，结合三角函数的零点、单调性、区间上的值域求解．
【评析】该题作为多项选择题的压轴题，需要学生能够梳理好解决问题的切入点，从选项中找到突破口．题目中考查的知识点较为综合，难度较大，需要学生在复习备考中紧抓基础知识和基本技能，注重常规、常法，重在落实好数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，不仅要学到知识更要形成适应社会发展的必备品格和关键能力，最终学会用数学的眼光观察世界．
该题考察的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，关系式和斜率的转换，主要考察学生的运算能力、转换能力及思维能力。

从三角函数多个问题出发，以多项选择形式考查学生的基础知识和基本技能．
本题解题关键在于转换思想，()f x 的几何意义为单位圆上动点()sin 2,cos 2x x 与点()4,0-连线斜率的
2倍入手来判断()f x 的最大值及在区间,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭
上的单调性，从立意角度来看，多种途径均可解决问题，体现了对学生的人文关怀．
本题易错的主要原因：其一，恒等变形是考生的易错点；本题的另一个易错点是学生的转换能力及对三角函数性质掌握不到位，导致漏选错误．
（四）强化正、余弦定理的合理应用，理清量与量之间的关系．在解决三角形问题时，要高度关注：①充分挖掘三角形中的隐含条件；②熟练掌握正、余定理及几种变形，合理选用公式；③利用正、余弦定理求边角时，尤其要关注其范围的确定．
【例11】（2022·新高考Ⅱ）18．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ．
已知123S S S -+1sin 3B = （1）求ABC ∆的面积；
（2
）若sin sin 3
A C =，求b ． 【解析】（1
）已知1232S S S -+=
，即222123)42
S S S a b c -+=-+=，
2222a b c ∴-+=，
22221cos 022a b c B ac ac ac
-+∴===>， 又已知1sin 3B =
，cos B ∴
1ac =
，ac ∴=，
111sin 223ABC S ac B ∆∴=== （2）设ABC ∆外接圆半径为R
，sin sin 3A C =
，
294sin sin 4ac R A C ∴==，2916R ∴=，34R ∴=， 3112sin 232
b R B ∴==⨯=． 【评析】解三角形的考查往往以三角形的面积问题、周长问题、外接圆半径问题等为载体．本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式．本题第（1）问解题关键在于从面积关系式入手，由
余弦定理求得ac 的值，根据1sin 2
ABC S ac B ∆=，求ABC ∆的面积；本题第（2）问由已知条件的结构式与正弦定理求出b 值，意在考查数学运算等核心素养．
本题易错的主要原因是学生通常因为对三角形外接圆半径问题等为载体不熟悉和不具有较强的运算求解能力而导致错误．
（五）重视知识的交融交汇，切实提高综合运用三角知识解决问题的能力．从高考对三角函数考查的试题来看，每一个试题都考查多个的知识点，如以三角求值为载体，综合考查三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角恒等变换等基础知识和基本方法；以函数sin()y A x ωϕ=+为依托，考查三角函数的三种表征，考查三角函数的周期性、单调性、对称性、最值等基础知识和基本方法内容．高考复习中，要关注三角函数知识脉络，重视知识的交融交汇，既要重视三角函数间的知识交汇，也要重视三角函数与其他知识领域的交汇，如三角函数与平面向量、三角函数与平面几何、三角函数与指对数函数等知识的交融交汇等，让学生在原有的基础上有新的收获．
【例12】（（2021年“八省联考”）18． 在四边形ABCD 中，//AB CD ，1AD CD BD ===．
（1）若32
AB =，求BC ； （2）若2AB BC =，求cos BDC ∠．
【解析】（1）思路1：利用余弦定理计算得出cos ABD ∠,进而可得出cos BDC ∠,在BCD △中，利用余弦定理可计算出BC .
思路2：利用平几知识，分别过点D 和B 作AB 和和CD 边上的高，构造直角三角形，根据勾股定理列方程求BC .
思路3：先由平几知识作AB 边上的高求cos ABD ∠，过D 作BC 边上的高，由二倍角公式和平方关系列方程求BC .
思路4：建立平面直角坐标系，用坐标法求BC .
解法1：
在ABD △中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅， //CD AB ，BDC ABD ∴∠=∠，
在BCD △中，由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=,22
BC =. 解法2：
分别过点D 和B 作AB DE ⊥，DC BF ⊥，垂足分别为E 和F ，
依题意得，4
321==AB BE ，又,DE BF BE DF ∥∥，所以四边形DEBF 是平行四边形，故34DF BE ==， 222237144DE BD BE BF ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭
,114CF DF =-=, 2
22217244BC CF BF ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解法3：
过点D 分别作AB DE ⊥，BC DF ⊥，垂足分别为E 和F ，设α=∠BDC ，
依题意得，α=∠ABD ，4321==AB BE ，则43cos ==BD BE α, 故4
3cos 2sin 212==-αα， 解得422sin
=α（负值舍去）,所以222sin 2==αBC .
（2）思路1：设BC x =，利用余弦定理结合BDC ABD ∠=∠可得出关于x 的方程，解得x 的值，即可求得cos BDC ∠.
思路2：利用平几知识，分别过点D 和B 作AB 和和CD 边上的高，作高后构造直角三角形，根据勾股定理列方程，求cos BDC ∠；
思路3：先由平几知识过点D 作AB 边上的高，再过D 作BC 边上的高，再由二倍角公式和平方关系列方程求BC ，即可求得cos BDC ∠；
思路4：建立平面直角坐标系，用坐标法，结合向量的夹角公式求cos BDC ∠。

解法1：
设BC x =，则2AB x =，在ABD △中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x
+-∠===⋅， 在BCD △中，2222
2cos 22
BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅， 由（1）可知，BDC ABD ∠=∠，所以，cos cos BDC ABD ∠=∠，
即2
22
x x -=,整理可得2220x x +-=，因为0x >， 解得31x =-，
cos cos 31BDC ABD x ∴∠=∠==-
解法2：
分别过点D 和B 作AB DE ⊥,DC BF ⊥,垂足分别为E 和F ,
设BC x =,则2AB x =,
,DE BF BE DF ∥∥，所以四边形DEBF 是平行四边形，故BE BF x ==，
11CF DF x =-=-，21BF x =-
由222BC CF BF =+得()2
2211x x x =-+-，即2220x x +-=,因为0x >，解得31x =, cos 31BDC x ∴∠=
解法3：
过点D 分别作AB DE ⊥，BC DF ⊥，垂足分别为E 和F ，设α=∠BDC ，
则ABD BDC α∠=∠=,BC AB ==21cos α,2
2sin BC =α， 2sin 22sin 21cos 2α
α
α=-=，解得2
132sin -=α
, 从而cos 31α=-. 【评析】本题解题关键在于利用余弦定理解三角形或从平几知识，构造直角三角形，根据勾股定理列方程求BC ，也可以建立平面直角坐标系，用坐标法，结合向量的夹角公式求解.本题考察三角函数关系式的变换,余弦定理的应用.
本题易错的主要原因：在第（1）小题解答中，考生因作图出错，把四边形ABCD 画成ABDC 造成失分，计算仍是考生失分的主要原因;在第（2）小题解答中，考生因把BC 和AB 的关系弄混了，设AB x =得出2BC x =造成错误，部分考生解关于BC 的方程时出错，或因没有作图，思路混乱，角弄错导致错误.
公式教学中注重公式的推导和证明，弄清来龙去脉，强调条件和特例，提高学生应用公式的能力，对结构极为类似的公式要注意比较和鉴别.在解三角形的问题中，经常涉及平面几何的知识，引导学生学会正确地作图，然后选择合适的三角形利用正弦或者余弦定理来求解三角形；若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，掌握变换原则.
【例13】（2022·新高考Ⅰ）18.记ABC ∆的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
cos sin 21sin 1cos 2A B A B =++. (1)若23
C π=，求B ； (2) 求22
2
a b c +的最小值． 【解析】（1）已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B =++，2cos 2sin cos 1sin 2cos A B B A B
∴=+，又cos 0B ≠， cos sin 1sin cos A B A B
∴=+，即cos cos sin sin sin A B A B B =+， cos()sin A B B ∴+=，即cos()sin C B π-=，cos sin C B ∴-=， 又23
C π=， 21cos sin 32B π∴-==
03B π
<<，6B π
∴=．
（2）由（1）可得：cos sin 0C B ∴-=>，。