鲁教版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试题3(附答案详解)

鲁教版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试题3（附答案详解）
一、单选题
1．对于二次函数221y x =+，下列说法中正确的是( )
A ．图象的开口向下
B ．函数的最大值为1
C ．图象的对称轴为直线1x =
D ．当0x <时y 随x 的增大而减小
2．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b ，④4ac﹣b 2＜0；其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．在半径为1的圆中，长度等于2的弦所对的弧的度数为（ ） A ．90 B ．145 C ．90或270 D ．270或145 4．已知圆O 的半径为5，P 是圆O 内一点，且OP ＝3，过点P 作圆O 的一条弦AB ，则AB 值不可以是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
5．如果反比例函数12m y x -=
的图象在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，则m 的最小整数值为（ ）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．2- 6．如图，AB 为O 的直径，C 和D 分别是半圆AB 上的三等分点，连接
AC AD BC BD 、、、，若2AB =，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．3π
- B ．3π
- C ．3π-D ．3π-
7．由若干个相同的小正方体摆成的几何体的主视图和左视图均为如图所示的图形，则最多使用小正方体的个数为（ ）
A ．8个
B ．9个
C ．10个
D ．11个
8．如图，点A ，B 为直线y x =上的两点，过A ，B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x
=（0x >）于C 、D 两点.若2BD AC =，则224OC OD -的值为（ ）
A ．12
B ．7
C ．6
D ．4
9．设计师以二次函数2245y x x =-+的图象为灵感设计的杯子如图所示，若4AB =，
4DE =，则杯子的高CE 为（ ）
A ．7
B ．8
C ．12
D ．13
10．如图，从一张腰长为90cm ，顶角为120︒的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）
A ．15cm
B ．12cm
C ．10cm
D ．20cm
二、填空题 11．一个小球沿着坡度为1：3的坡面向下滚动了10米，
此时小球下降的垂直高度为_ _米．
12．如图，等腰△ABC 中，底边BC 长为8，腰长为6，点D
是BC 边上一点，过点B 作AC 的平行线与过A 、B 、D 三点
的圆交于点E ，连接DE ，则DE 的最小值是___．
13．如图，已知等边△ABC 内接于⊙O ，点P 为AB 上任意一点（点P 不与点A 、点B 重合），连结PB 、PO ，取BC 的中点D ，取OP 的中点E ，连结DE ，若∠OED ＝α，则∠PBC 的度数为_____．（用含α的代数式表示）
14．如图，□ABCD 中，AE⊥BD 于E ，∠EAC＝30°，AE ＝3，则AC 的长等于_______．
15．如图，直线l 为3y x =，过点()11
,0A 作11A B x ⊥轴，与直线l 交于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画圆弧交x 轴于点3A ；则点3A 的坐标为____________；按此作法进行下去，……，则扇形1n n OB A -的面积为___________．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的点B 坐标为(8,6)，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点D 是边AB 上的动点，连接,OD 作点A 关于线段OD 的对称点A '． 已知一条抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠经过,,'O A A 三点，且点A '恰好是抛物线的顶点，则b 的值为____________．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE 的长为．
18．如图，线段AB交x轴于点C，且BC＝1
2
AC，点A在双曲线y＝﹣
12
x
（x＞0）上，
点B在双曲线y＝k
x
（k≠0，x＞0）上，若△OAC的面积为4，则k的值为_____．
19．如图，正六边形ABCDEF内接于O，其边长为2，则O的内接正三角形ACE 的边长为__________．
三、解答题
20．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是AB的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；
（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求PA的长．
21．已知抛物线y ＝x 2－2x －8与x 轴的两个交点为A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标；
（2）求△ABC 的面积．
22．甲、乙两位同学要测量某铜像的高度．他们分别在A ，B 两处用高度为1.8m 的测角仪测得铜像顶部C 的仰角分别为30º，60º，两人间的水平距离AB 为10m ，求该铜像的高度CF （结果保留根号）．
23．己知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数(0)m y x x
=>的图象交于点A ，与x 轴交于点(50)B ，
，若OB AB =，152
OAB S =. (1)求反比例函数的解析式： (2)若点P 为x 轴上一动点，当ABP △是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标.
24．在湖心有一座小塔，小华想知道这座的高塔的高度，于是他在岸边架起了测角仪，他测量的数据如下（如图所示）：测量仪位置()P 距水平面()l 的距离为1.5米（即OP ），测得塔顶A 的仰角为α（其中1tan 3
α=），测得塔顶在水中倒影1A （即1AB A B =）的俯角为30，请你根据上述数据求出这座塔的高度（即AB ）.
25．在一个不透明的口袋中放入4个大小形状几乎完全相同实验用的鸡蛋，鸡蛋的质量有微小的差距（用手感觉不到差异），质量分别为49、50、51克，已知随机的摸出一个鸡蛋，摸到49克和51克的鸡蛋的概率是相等的．
（1）求这四个鸡蛋质量的众数和中位数
（2）小明做实验需要拿走一个鸡蛋，芳芳在小明拿走后从剩下的三个鸡蛋中随机的拿走一个
①通过计算分析小明拿走一个鸡蛋后，剩下的三个鸡蛋质量的中位数是多少？
②假设小明拿走的鸡蛋质量为49克，芳芳随机的拿出一个鸡蛋后又放回，之后再随机的拿出一个鸡蛋，请用树状图求芳芳两次拿到都是50克的鸡蛋的概率？
26．3月5日是学雷锋日，也是中国青年志愿者服务日．今年3月5日，某中学组织全体学生参加了“青年志愿者”活动，活动分为“打扫街道(记为A)”“去敬老院服务(记为B)”“到社区文艺演出(记为C)”三项．
(1)八年级计划在3月5日这天随机完成“青年志愿者”活动中的一项，求八年级完成的恰好是“去敬老院服务”的概率；
(2)九年级计划在3月5日这天随机完成“青年志愿者”活动中的两项，请用列表或画树状图法求九年级完成的恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的概率．
27．西安市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图)．测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角
∠ADB=45°．若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．(结果保留两位小数，3≈1.732)
28．计算：
(1)
1 230604560
2
cos tan tan sin
︒-︒+︒-︒；
(2)()21
122cos60452
sin-
-︒+︒+．
29．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】
二次函数2
21y x =+，20a =>， ∴该函数的图象开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为(0,1)，有最小值1，当0x >时，y 随x 的增大而增大，当0x <时，y 随x 的增大而减小；
故选项A 、B 、C 错误，选项D 正确，
故选D ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．C
【解析】
【分析】
【详解】
根据图像可得：a<0，b<0，c=0，即abc=0，则①正确；
当x=1时，y<0，即a+b+c<0，则②错误； 根据对称轴可得：－2b a =－32
，则b=3a ，根据a<0，b<0可得：a>b ；则③正确； 根据函数与x 轴有两个交点可得：2b －4ac>0，则④正确.
故选C.
【点睛】
本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a ，b ，c 的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a ，b ，c 之间的关系是解题关键.
3．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理可知，2的弦与半径围成的三角形是直角三角形．
【详解】
解：由题意可知：半径r=1，弦长为2，
根据勾股定理的逆定理可知：（2）2=12+12，
∴长度等于2的弦所对的弧有优弧、劣弧，
∴长度等于2的弦所对弧的度数为90°或者270°．
故选C．
【点睛】
本题考查圆弧、弦之间的关系，解题关键是熟练掌握、运用勾股定理的逆定理、分类讨论的思想．
4．A
【解析】
【分析】
过点P作CD⊥OP，⊙O于C，D．连接OC．利用勾股定理求出CD，可得点P的最短的弦，过点P的最长的弦即可解决问题．
【详解】
解：过点P作CD⊥OP，⊙O于C，D．连接OC．
∵OC＝5，OP＝3，∠OPC＝90°，
∴PC22
-22
OC OP
-4，
53
∵OP⊥CD，
∴PC＝PD＝4，
∴CD＝8，
∴过点P的最短的弦长为8，最长的弦长为10，
故选：A．
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．A
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质可得1-2m ＜0，再解不等式即可．
【详解】 解：∵反比例函数12m y x -=
的图象在每个象限内，y 随着x 的增大而增大 ∴1-2m ＜0
∴m>0.5
又m 为整数
故m 的最小整数为1.
故选:A.
【点睛】 本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数k y x
=，当k ＞0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大．
6．B
【解析】
【分析】
阴影的面积等于半圆的面积减去△ABC 和△ABD 的面积再加上△ABE 的面积，因为△ABE 的面积是△ABC 的面积和△ABD 的面积重叠部分被减去两次，所以需要再加上△ABE 的面积，然后分别计算出即可.
【详解】
设AD BC 、相交于点,E C 和D 分别是半圆AB 上的三等分点，AB 为⊙O 的直径30ABC BAD ∴∠=∠=︒.90ACB BDA ∠=∠=︒.2AB =，
1,AC BD ∴==3ABC ABD BC AD S S ==∴==
如图，连接OE ，则OE AB ⊥，31,AO BO OE ==∴=
1332233ABE S ∴=⨯⨯= 33232222323
ABC ABE S S S
S ππ∴=-+=-⨯+=-阴影半圆 故选B .
【点睛】 此题主要考查了半圆的面积、圆的相关性质及在直角三角形中，30°角所对应的边等于斜边的一半，关键记得加上△ABE 的面积是解题的关键.
7．C
【解析】
【分析】
由主视图和左视图可还原该几何体每层的小正方体个数.
【详解】
解：由主视图可得该几何体有3列正方体，高有2层，最底层最多有9个正方体，第二层最多有1个正方体，则最多使用小正方形的个数为10.
故选C
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的三视图，由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最多的正方体个数.
8．C
【解析】
【分析】
延长AC 交x 轴于E ，延长BD 交x 轴于F ．设A 、B 的横坐标分别是a ，b ，点A 、B 为直线y =x 上的两点，A 的坐标是(a ，a )，B 的坐标是(b ，b )．则AE =OE =a ，BF =OF =b ．根据BD =2AC 即可得到a ，b 的关系，然后利用勾股定理，即可用a ，b 表示出所求的式子从而求解．
【详解】
延长AC 交x 轴于E ，延长BD 交x 轴于F ．
设A 、B 的横坐标分别是a ，b ．
∵点A 、B 为直线y =x 上的两点，
∴A 的坐标是(a ，a )，B 的坐标是(b ，b )．则AE =OE =a ，BF =OF =b ．
∵C 、D 两点在交双曲线1y x =
(x ＞0)上，则CE 1a =，DF 1b =， ∴BD =BF ﹣DF =b 1b
-
，AC =a 1a -． 又∵BD =2AC ， ∴b 1b -
=2(a 1a
-)， 两边平方得：b 221b +-2=4(a 221a +-2)，即b 221b +=4(a 221a
+)﹣6． 在直角△OCE 中，OC 2=OE 2+CE 2=a 221a +，同理OD 2=b 221b
+， ∴4OC 2﹣OD 2=4(a 221a +)﹣(b 221b +)=6． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用BD =2AC 得到a ，b 的关系是关键．
9．C
【解析】
【分析】
先利用配方法求顶点D 的坐标，再根据对称性得：AC=BC=2，得到A 的横坐标为-1，代入解析式中可以求得A 的纵坐标，从而计算CD 的长，则CE=CD+DE ，即可得出结果．
【详解】
∵2245y x x =-+=2(x−1)2+3，
∴D(1，3)，
∵AB=4，
∴AC=BC=2，
∴点A 的横坐标为−1，
当x=−1时，y=2×(−1)2−4×(−1)+5=11，
∴CD=11−3=8，
∴CE=DE+CD=4+8=12，
∴杯子的高CE 为12．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性以及用配方法把函数解析式化为顶点式，是解题的关键．
10．A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到OE 的长，再利用弧长公式计算出弧CD 的长，设圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r ．
【详解】
过O 作OE AB ⊥于E ，
90120OA OB cm AOB ︒∠＝＝，＝，
30A B ︒∴∠∠＝＝，
1452
OE OA cm ∴＝＝， ∴弧CD 的长1204530180
ππ⨯==， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则230r ππ＝，解得15r ＝．
故选A ．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．10
【解析】
【分析】
根据已知条件坡度为1:3，设BC=x米，AB=3x米，因△ABC是直角三角形，利用勾股定理列出方程即可求解.
【详解】
解：小球沿着坡面向下前进了10m假设到A处，过C作CB⊥AB，
∵i＝1：3，
∴tan A＝
1
3 BC
AB
，
设BC＝xcm，AB＝3xcm，
x2+（3x）2＝102，
解得：x10x10（不合题意，舍去），
10．
【点睛】
本题主要考查的是坡比以及勾股定理，坡比主要指的是坡度的正切值，掌握坡比和勾股定理是解此题的关键.
12．5
【解析】
【分析】
如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先证明∠EOD＝2∠C ＝定值，推出⊙O的半径最小时，DE的值最小，推出当AB是直径时，DE的值最小．
【详解】
如图，连接AE ，AD ，OE ，OD ，作AJ ⊥BC 于J ，OK ⊥DE 于K ．
∵BE ∥AC ，
∴∠EBC+∠C ＝180°，
∵∠EBC+∠EAD ＝180°，
∴∠EAD ＝∠C ，
∵∠EOD ＝2∠EAD ，
∴∠EOD ＝2∠C ＝定值，
∴⊙O 的半径最小时，DE 的值最小，
∴当AB 是⊙O 的直径时，DE 的值最小，
∵AB ＝AC ＝6，AJ ⊥BC ，
∴BJ ＝CJ ＝4，
∴AJ 22A C CJ -2264-5
∵OK ⊥DE ，
∴EK ＝DK ，
∵AB ＝6，
∴OE ＝OD ＝3，
∵∠EOK ＝∠DOK ＝∠C ，
∴sin ∠EOK ＝sin ∠C ＝256
， ∴3EK ＝56
， ∴EK 5
∴DE ＝5
∴DE的最小值为25．
故答案为25．
【点睛】
本题考查三角形的外接圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
13．60°+α．
【解析】
【分析】
根据圆内接等边三角形的性质表示∠EOD的度数，再根据四边形内角和表示出∠BED的度数，进而根据三角形内角和即可求解．
【详解】
解：如图：连接OD、OB，
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴OD⊥BC，OD＝1
2
OB，∠OBD＝30°．
∵E点是OP的中点，
∴OE＝1
2 OP，
∵OB＝OP，
∴OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝α，
∴∠EOD＝180°﹣2α．
因为四边形DOEB内角和为360°，
∴∠BED＝360°﹣90°﹣60°﹣（180﹣2α）﹣α＝30°+α，∠EOB＝180°﹣30°﹣（30+2α）＝120﹣2α．
∵OB＝OP，
∴∠P
＝∠OBP ＝12（180°﹣∠POB ）＝12
（180﹣120+2α）＝30°+α． ∴∠PBC ＝∠OBP +∠OBC ＝30°+α+30°＝60°+α．
故答案为60°+α．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形、四边形内角和，解决本题的关键是圆内接等边三角形的性质的熟练运用．
14．43
【解析】
如图，在直角△AOE 中，
cos AE EAO OA
∠=， ∴23cos 3
AE OA EAO ===∠ 又∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴243AC OA ==
15．()4,0 2323
n π- 【解析】
【分析】
先根据一次函数解析式求出1B 点的坐标，再根据1B 点的坐标求出2OA 的长，用同样的方法得出3OA ，4OA 的长，以此类推，总结规律便可求出n OA 的长，3A 的坐标，求出
1112
B O c A os ∠=，1160B OA ∠=︒，即可根据扇形的面积公式求解．
【详解】 解：点1A 坐标为()1,0，
11OA ∴=，
在y =中，当1x =时，y =1B 点的坐标为(， ∴由勾股定理可得12OB =，
则22OA =，1112
B O c A os ∠=, ∴1160B OA ∠=︒,
同理可得：2OB 24=2=，则3OA 22=，
以此类推，可得：3OB 32=，4OA 32=，…,n OA 12n -=,
∴n A ()12,0n -，3A ()4,0,
扇形1n n OB A -的面积为()21603602n π-=2323
n π-. 故答案为： ()4,0；2323
n π-． 【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、锐角三角形函数、勾股定理、扇形的面积公式的运用，解题的关键是根据1OA ，2OA ，3OA ，4OA 的长总结规律，进而得到n OA 的长．解题时注意，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y kx b =+．
16．【解析】
【分析】
过点A '作A 'E ⊥OA 于E ，连接A O '、A A '，可得A 的坐标为（8，0），A '的横坐标为4，
再根据等边三角形的判定与性质得到(A '，根据待定系数法可求b 的值．
【详解】
解：过点A '作A 'E ⊥OA 于E ，连接A 'O 、A 'A ， 如图． 矩形OABC 的点B 坐标为(8,6)， ∴ A 的坐标为（8，0），A '的横坐标为4，
∵O （0，0），
∴c=0，
∴2y ax bx =+，
∵点A '恰好是抛物线的顶点， ∴4,2b a
-= 即8,b a =- OA AA ''=， ∴28,y ax ax =-
∵点A 关于线段OD 的对称点是A '，
∴OA OA '=，
∴OAA '是等边三角形，
A E '∴===
∴(A '，
∴1632a a =-，
解得4
a =-，
∴8b a =-=
故答案为：
【点睛】
本题考查了待定系数法求解二次函数的解析式与二次函数的性质，矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
17．14
5
．
【解析】
【分析】
【详解】
如图，
连接BD、CD，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴2211
AB AD
-=
∵弦AD 平分∠BAC，
∴11
∴∠CBD=∠DAB，在△ABD 和△BED中，
{BAD EBD ADB BDE
∠=∠
∠=∠
，∴△ABD∽△BED，
∴DE DB DB AD
=
即：
11
5 11
=
解得DE=11 5
，
∴AE=AD-DE=5-11
5
=
14
5
故答案为：14
5
．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．圆周角定理．
18．3．
【解析】
【分析】
分别作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，设A（a，b），求得ab的值，通过平行线分线段成比例性质，求得B点的坐标，再运用待定系数法求得k的值．
【详解】
分别作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，如图，
则BE∥AD，
设A（a，b），则AD=﹣b，OD=a，
∵点A在双曲线y=
12
x
-（x＞0）上，
∴ab=﹣12，
OAD 11
6 22
S OD AD ab
=⨯⋅=⨯-=，∵△OAC的面积为4，
∴
42
63
OC
OD
==，则OC=2CD，
∵BE∥AD，BC=1
2 AC，
∴
1
2 BE CE BC
AD CD AC
===，
∴BE=1
2
AD=﹣
1
2
b，CE=
1
2
CD，
∴OE=OC﹣CE=2CD﹣1
2
CD=
3
2
CD，
DE=CE+CD=3
2 CD，
∴OE=DE=1
2
CD=
1
2
a，
∴B（1
2
a，﹣
1
2
b），
∵点B在双曲线y=k
x
（k≠0，x＞0）上，
∴
111
3 224
k a b ab
⎛⎫
=⋅-=-=
⎪
⎝⎭
．
故答案为：3．
【点睛】
本题是反比例函数与几何的综合题，主要考查了反比例函数的性质，待定系数法，平行线的分线段成比例定理，体现了数形结合的思想．
19．23
【解析】
【分析】
连接OB交AC于H．首先证明OB⊥AC，解直角三角形求出AH即可解决问题．
【详解】
解：连接OB交AC于H．
在正六边形ABCDEF中，∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴AB BC
=，
∴OB⊥AC，
∴∠ABH=∠CBH=60°，AH=CH，
∴
∴，
故答案为
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）9 2
【解析】
【分析】
（1）连接OC，OE，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠OCE，求得∠E+∠ODE＝90°，得到∠PCD＝∠ODE，得到OC⊥PC，于是得到结论；
（2）连接AC，BE，BC，根据相似三角形的性质得到AD CD
DE BD
，推出CD•DE＝AO2﹣
OD2；由△ACP∽△CBP，得到PC
PB
=
PA
PC
，
得到PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，于是得到结论；
（3）由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；把已知条件代入得到OD＝1（负值舍去），求得AD ＝3，由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，于是得到结论．
【详解】
（1）证明：连接OC，OE，
∵OC＝OE，
∴∠E＝∠OCE，
∵E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∴∠E+∠ODE＝90°，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠PDC＝∠ODE，
∴∠PCD＝∠ODE，
∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90°，∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，BE，BC，
∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴△ACD∽△EBD，
∴AD CD DE BD
，
∴CD•DE＝AD•BD＝（AO﹣OD）（AO+OD）＝AO2﹣OD2；∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠PCO＝90°，
∴∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠ACP＝∠BCO，
∵∠BCO＝∠CBO，
∴∠ACP＝∠PBC，
∵∠P＝∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴PC
PB
=
PA
PC
，
∴PC2＝PB•PA＝（PD+DB）（PD﹣AD）＝（PD+OD+OA）（PD+OD﹣OA）＝（PD+OD）2﹣OA2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，
∵PC＝PD，
∴PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，
∴OA2﹣OD2＝2OD•PD，
∴CD•DE＝2OD•PD；
（3）解：∵AB＝8，
由（2）知，CD•DE ＝AO 2﹣OD 2；
∵CD•DE ＝15，
∴15＝42﹣OD 2，
∴OD ＝1（负值舍去），
∴AD ＝3，
由（2）知，CD•DE ＝2OD•PD ，
∴PD ＝2CD DE OD ⨯＝152
， ∴PA ＝PD ﹣AD ＝92
． 【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
21．（1）A （－2，0），B （4，0），C （0，－8）；（2）S △ABC =24
【解析】
【分析】
（1）令y=0可求得相应方程的两根，从而求得A 、B 的坐标；令x=0，可求得C 点坐标. （2）根据A 、B 、C 三点坐标直接可求得△ABC 的面积.
【详解】
(1)在y ＝x 2－2x －8，令0x =，可得8y =-，
即C 点坐标为(0,8)C -
令0y =，得2280x x =－－ 解得122,4x x =-=
∵A 在B 的左侧
∴(2,0),(4,0)A B -
（2）∵(2,0),(4,0),(0,8)A B C --
∴6,8AB OC ==
S △ABC =12AB OC ⋅=1682
⨯⨯=24 【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键在于求出交点坐标.
22． 1.8)m 【解析】
【分析】
根据题意设CG=x （m ），利用正切的定义用x 表示出DG 、EG ，根据题意列方程求出x ，结合图形计算即可．
【详解】
解：设()CG x m =，
在Rt CGD ∆中，tan CG CDG DG
∠=
tan CG DG CDG
∴==∠ 在Rt CGD ∆中，tan CG CEG GE ∠=
tan 3
CG EG x CEG ∴==∠
103x +
=
解得，2x =，即CG =
1.8CF CG GF ∴=+=+，
答：铜像的高度CF 为 1.8)m ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（1）270y x x =>（）；（2）（0，0）或（10，0）或（13，0）或（658，0）． 【解析】
【分析】
（1）先求出OB ，进而求出AD ，得出点A 坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）分三种情况，①当AB=PB 时，得出PB=5，即可得出结论；
②当AB=AP 时，利用点P 与点B 关于AD 对称，得出DP=BD=4，即可得出结论；
③当PB=AP 时，先表示出AP 2=（9-a ）2+9，BP 2=（5-a ）2，进而建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1，过点A 作AD 上x 轴于D ，
(5,0)B
5OB ∴=
152
OAB S = 115522
AD ∴⨯⨯= 3AD ∴=
OB AB =
5AB ∴=
在Rt ADB 中22,4BD AB AD =-=
9OD OB BD ∴=+=
(9,3)A ∴
将点A 坐标代入反比例函数y=m x
中得， 9327m =⨯=.
∴反比例函数的解析式为270y x x
=
>（）， （2）由（1）知，AB=5，
∵△ABP 是等腰三角形，
∴①当AB=PB 时，
∴PB=5，
∴P （0，0）或（10，0），
②当AB=AP 时，如图2，
由（1）知，BD=4，
易知，点P 与点B 关于AD 对称，
∴DP=BD=4，
∴OP=5+4+4=13，∴P （13，0），
③当PB=AP 时，设P （a ，0），
∵A （9，3），B （5，0），
∴AP 2=（9-a ）2+9，BP 2=（5-a ）2，
∴（9-a ）2+9=（5-a ）2
∴a=
658
， ∴P （658，0），
故满足条件的点P 的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（
658
，0）． 【点睛】 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
24．这座塔的高度是32⎛+ ⎝⎭
米. 【解析】
【分析】
易得HB=OP ，构造仰角和俯角所在的直角三角形，可利用AH 表示出PH 长，进而利用30°的正切值表示出A 1H ，利用AB=A 1B 即可求得AH 长，加上BH 值即为塔的高度．
【详解】
解：作PH ⊥AB 交AB 于点H ．
由题意可知：四边形OPBH 为矩形，
∴HB=OP=1.5．
在Rt △APH 中，1tan 3α=
令AH=k ，PH=3k ．
在Rt △A 1PH 中，∠A 1PH=30°，
∴A 1
又AB=A 1B ，得：
解得：k =，
3AB AH HB ∴=+=+
答：这座塔的高度是32⎛+ ⎝⎭
米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
25．（1）因此鸡蛋质量的众数为50，中位数也是50．（2）①50；②4 9
【解析】
【分析】
（1）因为4个鸡蛋有三个质量数，所以必然有两个鸡蛋的质量是相等的，又根据摸到49克的鸡蛋和51克的鸡蛋概率相等，从而可得答案，
（2）①若小明分别拿走的是不同的鸡蛋，分析剩下的鸡蛋，可得到答案，
②利用树状图得到两次拿走50克鸡蛋的机会，从而可得答案．
【详解】
解（1）因为4个鸡蛋有三个质量数，所以必然有两个鸡蛋的质量是相等的，所以四个鸡蛋的质量可能为49、49、50、51；49、50、50、51；49、50、51、51．又根据摸到49克的鸡蛋和51克的鸡蛋概率相等，
我们从前面数据分析可知，摸到鸡蛋的的概率分别是1
4
，
1
4
，
1
2
，
所以我们知道四个鸡蛋的质量数为49、50、50、51；
因此鸡蛋质量的众数为50，中位数也是50．
（2）①若小明拿走的是49,剩下的是50,50,51，此时中位数是50，
若小明拿走的是50,剩下的是49、50,51，此时中位数是50，
若小明拿走的是51,剩下的是49,50,50,此时中位数是50，
所以小明拿走一个鸡蛋，不管小明拿走的鸡蛋质量是多少，剩下鸡蛋的中位数都是50；
②画树状图如下：
共有9种情况：50，50；50，50；50，51；50，50；50，50；50，51；51，50；51，50，51，51．其中两次拿到50克的情况有四种，所以两次都拿到50克鸡蛋的概率
为
4
9 P
【点睛】
本题考查的是众数与中位数的含义，以及等可能情况下的概率问题，掌握基本概念与画树状图分析概率是解题的关键．
26．(1)1
3
；(2)
1
3
.
【解析】
【分析】
（1）利用概率公式求解可得；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是“打扫街道”、“去敬老院服务”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
(1)八年级完成的恰好是“去敬老院服务”的概率＝1
3
；
(2)由题意可画出树状图：
由树状图可知共有6种可能，九年级完成的恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”有2种，
所以九年级完成的恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的概率＝
26＝13
． 【点睛】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 27．12.20米
【解析】
【分析】
可在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，利用已知角的三角函数，用AB 表示出BD 、BC ，根据CD =BD
﹣BC =6即可求出AB 的长；已知HM 、DE 的长，易求得BM 的值，由AM =AB ﹣BM 即可求出树的高度．
【详解】
设AB =x 米．
Rt △ABD 中，∠ADB =45°，BD =AB =x 米．
Rt △ACB 中，∠ACB =60°，BC =AB ÷tan60°=x 米．
CD =BD ﹣BC =(1x =6，
解得：x
即AB 米．
∵BM =HM ﹣DE =3.3﹣1.3=2，
∴AM =AB ﹣BM ≈12.20(米)．
答：这棵树高12.20米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．
28．(1) 44
；(2) 【解析】
【分析】 (1) 把特殊角的三角函数值代入计算即可． (2) 分别进行二次根式的化简、特殊角的三角函数值、指数幂化简等运算，然后合并． 【详解】 解：(1)原式=3132312⨯
-+-⨯ 3331=-+- 434
-= (2) 原式=1123122-++ 23=
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键．
29．（1）
（2）当S=45时，有
，解得，∵，∴x=5. （3）
,∵抛物线开口向下，对称轴为x=4，当x>4时，y 随x 增大而减小，
∴在范围内，当x=时，S 最大，．此时AB=，BC=10.
【解析】
（1）根据AB 为xm ，BC 就为，利用长方体的面积公式，可求出关系式． （2）将S=45m 代入（1）中关系式，可求出x 即AB 的长．
（3）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．此故可求．。