江苏省启东中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题

江苏省启东中学2018-2019学年度第二学期期中考试
高一数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含选择题（共 6题）、填空题（共8题）、解答题（共6题），满分为150
分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写
在答题卡上。

3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位
置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.请把答案直接填涂在答题卡相应
1.直线x sin a + y + 2 = 0 的倾斜角的取值范围是（▲）
3 二二r
A . [0,n)
B , [0,-]U[—,^)
C , [0,-] D
A. 19
A. 30° B . 90° C
8.下列四个命题中正确的是（▲）
①如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行;
②过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；[0，4%二)
2.设△ ABC的内角A R C所对边分别为a、b、c,若a=3, b= J3 , A= ，则B= ( ▲)
. 冗
A.一
6
二B 5
二
一或一6 6
3.平面a //平面3
A.平行 B ,直线a 1—
a
,b- 3 ,那么直线a与直线b的位置关系一定是（▲）
.不相交
4.经过点P(-1,2),
A. 0 条 B
并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有
5.在△ ABO^,若AB=7, BC=8, CA=7, 则AB BC = ( ▲
6.已知圆M与直线3x - 4 y 及3x -4 y + 10 = 0 都相切，圆心在直线y = - x - 4上,
则圆A.
C. M的方程为(▲
(x+3) 2+( y-1)
2=1 (x+3)
(x-3) 2+(y+1)2=1
(x-3) 2+( y-1)
=1
7.在△ABC4\ 若b=8, c=5, 且S ABC =10,则A=( ▲)
150° D . 30° 或150°
③过平面外一点有无数条直线与这个平面平行； ④过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行. A.①④
B .②③
C
.①②③ D .①②③④
9 .已知△ABC43, A= 45° , a=1,若△ ABCZ 有一解，则 bC ( ▲)
A. {——} B . (、/2,一,)C . {避}U(，2 •二)D . {「}U[.2 二)
2
2 2
10 .在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C ： (x+1)2
+(y —6)2=25,圆 G: (x —17)2+(y — 30)2 = r 2
.若圆G 上
存在一点P,使得过点P 可作一条射线与圆 C 依次交于点 A B,满足PA^ AB 则半径r 的取值范围是(
▲)
A. (15, 45) B . [15 , 45] C . (5 , 55) D . [5 , 55]
二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相应 位置上. 11 .三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多共可确定 ▲ 个平面.
12 .若直线x +ay =2a +2与直线ax +y =a +1平行，则实数 a 的值为 ▲. 13 .如果用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高等于 ▲ .
14 .在△ABC \ sn £ =cosB =cosC ,则△ ABC 是二^三角形.
a b c
15 .设集合 M ={(x,y)|x 2
+y 2
<4}, N =<(x, y) |(x —3)2 +(y-4)2 <r 2\r >0),当 M □ N
时，则实数r 的取值范围是
▲.
16 .若不等式k sin 2
日sin A sin C >17sin B sin C 对任意^ ABCB 成立，则实数k 的最小值为 ▲ 三、解答题：本大题共 6小题，共80分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤. 17 .(本小题满分10分)
如图，在正方体 ABCD-ABCD 中，E 为棱DD 的中点. 求证：(1) BD 1 //平面EAC
(2)平面EACL 平面AB 1
c.
18 .(本小题满分12分)
a, b, c, tan C=
-
cosA+ cos B
(1)求角C 的大小;
sin A+ sin B
在△ ABC 中，角A, B, C 的对边分别为
（2）若^ ABC勺外接圆直径为1,求a2+ b2的取值范围.
19.（本小题满分12分）
如图，甲船以每小时30啦海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线
航行.当甲船位于A i处时，乙船位于甲船的北偏西 105。

方向的B i处，此时两船
相距 20海里，当甲船航行 20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120。

方向的B2处，此时两船相距10J2海里.问：乙船每小时航行多少海里？
20.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，已知射线OA:x —y =0（x之0） , OB:x+J3y =0（x之0）,过点P（1,0）作
直线分别交射线OA、OB于点A B .
（1）当AB的中点为P时，求直线AB的方程；
1
（2）当AB的中点在直线y = 1x上时，求直线AB的方程.
2
21.（本小题满分12分）
已知四边形ABCO圆O的内接四边形，AB=2, BG6, A®CD=4,求四边形ABCD勺面积.
22． ( 本小题满分 12分 )
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A(0,2) , 0(0,0) , D(t, 0), (t>0)三点，M是线段AD上的动点，l i, I2是过点R1,0)且互相垂直的两条直线，其中l i交y轴于点E, l 2 交圆C于P、Q两点.
(1)若t=PQ= 6,求直线12的方程；
(2)若t是使AMC2 BM值成立的最小正整数，求三角形EPQ勺面积的最小值.
江苏省启东中学2018-2019学年度第二学期期中考试
数学答案
、选择题 BADDB CDBCB
••• Q E 分别是BD 和DD 的中点, EO/ BD ,
又BD0平面EAC OE=平面EAC
BD1 // 平面 EAC
DDL 平面 ABCD DDL AC. ACL BD
EO/ BD ，EOL AC 同理可证EOLAB.ACI AB1 = A ,
EOL 平面 AB 1
C
所以 sin C CosA+ sin C cos B= cos C sin A+ cos C sin B, 即 sin C cos A — cos C sin A= cos C sin B — sin C cosB, 得 sin( C- A =sin( B- C) .
- 一 、一 一 兀
所以 C — A= B- C,或 C — A= Tt - ( B- C )(不成立).即
2C= A+ B,得 C=—.
3
DD 1 I BD =D ,
ACL 平面 DDB, BDXAC
18. 解:
OE=平面EAC （本小题满分12分） (1)
-sin A+ sin B 因为 ta nC=
cosA+ cosB' ・•・平面EACL 平面AB 1C .
口厂 sin C sin A+ sin B
即1- 2
cos C cosA+ cos B 10分
二、填空题 11. 3;
12. 1;
13 .多;
14 .等腰直角;
三、解答题
——:C1 B1
17.（本小题满分10分）
证明：（1）连结BD BD 与AC 交于点 O,连结OE
⑵•••
正方体ABCDABCD,
D 1
A i
15.
一 C
A
° B
6分
2兀(2)由 C^=—,设 A= —+ a , B^ - — a , 0<A, B<-r-, 3 3 3
3
因 a = 2R Sin A= sin A, b = 2R sin B= sin B,
故a2 + b2 = sin 2A+ sin 2B= 右兀兀知一T<a <3.
1 — cos2A 1 — cos
2 B
, 1 r 小1 — 2 [cos(2 7t
3
2a ) cos( 2a)]
cos2 a . 10分
由一卷< < <-7T,知--7-<2 a
3 3 3 —2<cos2 a <1,故4<a2+ b2< 12
19. （本小题满分12分）
解: 如图所示，连接 AR,
由已知 AB=10g2，A1A Z= 30^2
20
x—= 1
60
0声.•.AA=AB2.
又/ 人入艮=180° -120° =60° ,
・•.△A1A2B2 是等边三角形，，AB2=A1A2=10/.
由已知，AB=20, /BAR = 105° -60° =45° ,
在△ARB中，由余弦定理得
Bg = AB1 + AE2—2AB •A I B2 - cos45 = 202+(1072) 2-2X 20X 10 72 X ^2= 200,
B I E E= 10 2.
因此乙船的速度为 1202 X 60= 30/（海里/小时）.
10分
20.（本小题满分12分）
解：(1)设A(a,a),则B(2 -a, -a),
有73(2 -a) +3(—a) =0,解得a =73—1 ,故A(V3-1,j3-1),
贝U直线AB的方程为 ?—=—^ --------- ,
3 -1 3-1-1
即2x +(点—1)y -2 =0 ；
北
105
A
甲乙
8分
4
当k=0时，直线11与y 轴无交点，不合，舍去.
l a -b
(2)设 A(a,a) , B(J3b, 4)，则 2 2
a - 0 a -彳 3
b 2
2
-b -0
"3b-1,
解得【
a
=
0,
(舍)或!”押, b =0 b
=2.3 -3.
10分
故所求直线AB 的方程为
斗二-X ；^,即 3x-(3-V3)y-3 = 0, .3 3
-1
3x —(、,3_1)y — .、3=0
12分
21.(本小题满分12分) 解：在^ ABC^,由余弦定理得
_2
_ 2 ________ 2
___________ _
AC =AB +BC —2AB BC cos/B,
所以 AC 2
=40 -24cos B ,
2
同理在△ ADCK 可得 AC =32-32cosD , 因为 B • D =180；,
2
1
所以 AC =32 +32cos B ,所以 cosB =—, 7
. - • - 4「3 sin B = sin D = --
7
所以设四边形 ABCD 勺面积为S,
BC sin B +1AD DC sin D =873 .
2
12分
22. (本小题满分 12分)
解: (1)由题意可知，圆 C 的直径为AD,所以圆C 方程为：
、一、一
一 2k —1
2
2
设 12方程为：y = k (x — 1),则 ..2
+3 =10,
(X —3) +(y —1) = 10.
4
斛得 k1 = 0)k2 =
-,
8分， 4 .. ... ......... ...
所以k=此时直线12的方程为4x- 3y-4= 0.
3
4
分
(2)设Mx, y),由点M在线段AD上，得 1+*=1,即 2x+ty — 2t = 0.
由AMC2BM 彳# fx-4)+ [y + D＞20. ......... 6 分
3 39
依题意知，线段AD与圆'x-4)+ G+ 2卜20至多有一个公共点，
3 39
8 8
生 3-3t | 2乖 3口16—1073—16+ 10^3
故1~~解得t＞一澄L或t＞一行工.
木 + t 3 11 11
因为t是使AMC2 BM值成立的最小正整数，所以 t=4. ........... 8分
所以圆C方程为：(x—2)2+(y—1)2=5
(i)当直线12：x=1时，直线11的方程为y=0,此时S S AEPQ^ 2;
(ii) 当直线l2的斜率存在时,
1 一 C 1
设l 2的万程为：y= k(x—1)( kw0),则l 1的万程为：y= —k(x—1),点E?，k [.
所以BE= \ 1 +*.
又圆心C到12的距离为岩与，所以PQ=
41 + k2
皿 1 1 / 1 /4k2—
2k+4 /4k2—2k+4 (4""2"
故 SA EPQ=2
BE- PO221+7 2y 1+k2=yj—k，= y? —k+4因为理^<2,所以($△ EPc)min=#^.
4k2—2k + 4
1+k2
12分Hk+1| \
一而2卜2。