第八章 基于Copula的彩虹期权定价总结
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边缘密度函数
图3 S&P500的核密度函数
图4 NASDQ100的核密度函数
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3.3 Archimedean Copula 参数的确定
Archimedean Copula参数与秩相关系数的关系
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3. 数值算例
3.1 标的资产的选取和数据分析
从芝加哥期权交易所（CBOE）获得S&P500股指和 Nasdaq100 股指收益率，2002年1月至2004年12月的 日收益率数据，有效数据共755个。以收盘价（分别 用X，Y表示）为基准，分别计算出两个股指的收益 率:
X t X t 1 rX (t 1,755) X t 1 Yt Yt 1 rY (t 1,755) Yt 1
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S&P500收益率直方图
图1 S&P500 收益率分布的直方图
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NASDQ100收益率直方图
基于Copula函数和非参数方 法的彩虹期权定价
北京航空航天大学经管学院金融系 李平 副教授
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主要内容
1.
2.
3.
研究背景与意义 研究内容与方法 数值算例
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1. 研究背景与意义
随着OTC场外市场的发展，多资产期权（以两 个或两个以上的风险资产为标的的期权）在现 今的国际金融衍生品市场中的交易越来越活跃。 因此，如何确定多资产期权的价格以实现投资 者和金融机构套期保值或增值的需要就显得尤 其重要。然而，现实中对多资产期权的定价研 究却面临着种种难题。
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定价思路
完备市场中两色彩虹欧式期权定价模型
CALL(S1 , S 2 , t , K , T ) e
r ( T t )
C(1 F
K
s1
(s),1 Fs 2 (s))ds
定价思路： 1. 选取标的资产进行数据处理和正态分布检验 Fs 2(s) 2. 选用非参数核密度估计确定边缘分布函数 Fs1(s)、 3. 估计Archimedean Copula中的参数进而确定函数形式 4. 确定联合分布和彩虹期权的价格
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研究背景（续）
首先是Black-Scholes定价模型中的高斯分布假 设。事实上，金融产品的收益率分布往往是尖 峰厚尾的，这就使得Black-Scholes定价模型所 计算出的理论价格和实际价格之间存在着偏差。 其次是Black-Scholes模型的完备市场假设。事 实上，很难对给定的未定权益提供一个和价格 唯一对应的精确的复制策略，也找不到相应的 复制组合。因此寻求在实际交易过程中的完全 套期保值是不可能的。
服从二元均匀分布的联合分布函数，有效的将边 缘分布函数连接起来。
H ( x, y) C ( F ( x), G( y))
非参数核密度估计函数：
n Xi x 1 ˆ ( x) f K ( ) nh i 1 h
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2.2 彩虹期权
多资产期权的一种，指的是标的资产是一系列资产 中的最大或最小值的期权。 如：两色彩虹最小看涨期权
1 2 nhY
e
i 1
n1 y yi Fra bibliotek ( ) 2 hY
Silverman窗宽 边缘密度函数：
f s1 (s)
h 0.9 N 0.2 min(std , iqr / 1.34)
1 s s1i 2 ( ) 2 0.0023
1
755 0.0023 i 1 756 1 ( s s2 i ) 2 1 f s 2 ( s) e 2 0.0036 755 0.0036 2 i 1
G(S1 (T ), S2 (T ),T ) max[min( S1 (T ), S2 (T )) K ,0]
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2.3 本章主要内容和方法
在完备市场中，以风险中性估值原理和Breeden －litzenberger的单资产期权定价模型为基础， 得到彩虹期权的价格和联合分布函数之间的关 系式，用非参数核估计方法模拟标的资产的边 缘分布，用Archimedean Copula刻画联合分布 函数，模拟欧式两色彩虹期权的价格。 研究方法：使用Copula函数和非参数核估计方 法为彩虹期权进行定价，使用计量经济学软件 E-views和数学软件Matlab进行计算。
一方面，Copula不限制边缘分布的选择，因此可以 构建灵活的联合分布函数；可以刻画多资产之间的 相关性。 另一方面，非参数方法不依赖于总体服从的分布， 可以直接采用从市场上交易获得的数据来刻画标的 资产的真实分布。
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2. 研究内容与方法
2.1 Copula函数简介
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研究背景（续）
第三个难题来自于多资产衍生品本身。对多资 产期权定价来说，要为作为标的资产的每个资 产找到一个精确的定价核的同时还要考虑多个 标的资产之间的相关性。
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研究意义
本章用Copula函数和非参数方法为彩虹期权定 价的意义体现在：
图2 NASDQ100 收益率分布的直方图
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正态分布检验
J—B检验
表1. S&P500和NASDQ100收益率分布的Jarque-Bera检验
股指 S&P 500 NASDQ 100
H 1 1
P 1.7520e-012 1.0621e-004
JBSTAT 116.7636 18.30014
CV 5.9915 5.9915
结论：收益率分布拒绝正态分布假设，因此选用非参数 方法。
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3.2 用核密度方法估计边缘密度函数
选用高斯核函数
f X ( x) 1 2 nh X
e
i 1
n
1 x xi 2 ( ) 2 hX
fY ( y )
e 2
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边缘密度函数
图3 S&P500的核密度函数
图4 NASDQ100的核密度函数
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3.3 Archimedean Copula 参数的确定
Archimedean Copula参数与秩相关系数的关系
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3. 数值算例
3.1 标的资产的选取和数据分析
从芝加哥期权交易所（CBOE）获得S&P500股指和 Nasdaq100 股指收益率，2002年1月至2004年12月的 日收益率数据，有效数据共755个。以收盘价（分别 用X，Y表示）为基准，分别计算出两个股指的收益 率:
X t X t 1 rX (t 1,755) X t 1 Yt Yt 1 rY (t 1,755) Yt 1
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S&P500收益率直方图
图1 S&P500 收益率分布的直方图
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基于Copula函数和非参数方 法的彩虹期权定价
北京航空航天大学经管学院金融系 李平 副教授
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主要内容
1.
2.
3.
研究背景与意义 研究内容与方法 数值算例
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1. 研究背景与意义
随着OTC场外市场的发展，多资产期权（以两 个或两个以上的风险资产为标的的期权）在现 今的国际金融衍生品市场中的交易越来越活跃。 因此，如何确定多资产期权的价格以实现投资 者和金融机构套期保值或增值的需要就显得尤 其重要。然而，现实中对多资产期权的定价研 究却面临着种种难题。
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定价思路
完备市场中两色彩虹欧式期权定价模型
CALL(S1 , S 2 , t , K , T ) e
r ( T t )
C(1 F
K
s1
(s),1 Fs 2 (s))ds
定价思路： 1. 选取标的资产进行数据处理和正态分布检验 Fs 2(s) 2. 选用非参数核密度估计确定边缘分布函数 Fs1(s)、 3. 估计Archimedean Copula中的参数进而确定函数形式 4. 确定联合分布和彩虹期权的价格
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研究背景（续）
首先是Black-Scholes定价模型中的高斯分布假 设。事实上，金融产品的收益率分布往往是尖 峰厚尾的，这就使得Black-Scholes定价模型所 计算出的理论价格和实际价格之间存在着偏差。 其次是Black-Scholes模型的完备市场假设。事 实上，很难对给定的未定权益提供一个和价格 唯一对应的精确的复制策略，也找不到相应的 复制组合。因此寻求在实际交易过程中的完全 套期保值是不可能的。
服从二元均匀分布的联合分布函数，有效的将边 缘分布函数连接起来。
H ( x, y) C ( F ( x), G( y))
非参数核密度估计函数：
n Xi x 1 ˆ ( x) f K ( ) nh i 1 h
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2.2 彩虹期权
多资产期权的一种，指的是标的资产是一系列资产 中的最大或最小值的期权。 如：两色彩虹最小看涨期权
1 2 nhY
e
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n1 y yi Fra bibliotek ( ) 2 hY
Silverman窗宽 边缘密度函数：
f s1 (s)
h 0.9 N 0.2 min(std , iqr / 1.34)
1 s s1i 2 ( ) 2 0.0023
1
755 0.0023 i 1 756 1 ( s s2 i ) 2 1 f s 2 ( s) e 2 0.0036 755 0.0036 2 i 1
G(S1 (T ), S2 (T ),T ) max[min( S1 (T ), S2 (T )) K ,0]
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在完备市场中，以风险中性估值原理和Breeden －litzenberger的单资产期权定价模型为基础， 得到彩虹期权的价格和联合分布函数之间的关 系式，用非参数核估计方法模拟标的资产的边 缘分布，用Archimedean Copula刻画联合分布 函数，模拟欧式两色彩虹期权的价格。 研究方法：使用Copula函数和非参数核估计方 法为彩虹期权进行定价，使用计量经济学软件 E-views和数学软件Matlab进行计算。
一方面，Copula不限制边缘分布的选择，因此可以 构建灵活的联合分布函数；可以刻画多资产之间的 相关性。 另一方面，非参数方法不依赖于总体服从的分布， 可以直接采用从市场上交易获得的数据来刻画标的 资产的真实分布。
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2. 研究内容与方法
2.1 Copula函数简介
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研究背景（续）
第三个难题来自于多资产衍生品本身。对多资 产期权定价来说，要为作为标的资产的每个资 产找到一个精确的定价核的同时还要考虑多个 标的资产之间的相关性。
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研究意义
本章用Copula函数和非参数方法为彩虹期权定 价的意义体现在：
图2 NASDQ100 收益率分布的直方图
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正态分布检验
J—B检验
表1. S&P500和NASDQ100收益率分布的Jarque-Bera检验
股指 S&P 500 NASDQ 100
H 1 1
P 1.7520e-012 1.0621e-004
JBSTAT 116.7636 18.30014
CV 5.9915 5.9915
结论：收益率分布拒绝正态分布假设，因此选用非参数 方法。
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3.2 用核密度方法估计边缘密度函数
选用高斯核函数
f X ( x) 1 2 nh X
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fY ( y )