四川省成都市彭州天彭中学高一数学文测试题含解析

四川省成都市彭州天彭中学高一数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知圆的弦过点，当弦长最短时，该弦所在直线方程为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
2. .已知向量，，且，则实数的值为（）
A. B. C. D. －1
参考答案：
C
【分析】
，即通过坐标运算公式：，代入数据即可求出值
【详解】，且
即
故选：C
【点睛】此题考查向量的坐标运算，，代入计算即可，属于基础题目。

3. 若角的终边上有一点，则的值是（）.
A.
B. C. D.
参考答案：
A
4. 已知全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 }， A= {3 ，4 ，5 }，B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 }
是
（）
A． B．C．D．
参考答案：
D
5. 若，则的大小关系为
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
利用作差比较法判断得解.
【详解】①，
∵，
∴，
故.
②∵，
∴，
所以a＞ab.
综上，
故选：A.
【点睛】本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
6. （5分）已知A=B={﹣1，0，1}，f：A→B是从集合A到B的有关映射，则满足f（f（﹣1））＜f （1）的映射的个数有（）
A．10 B．9 C．8 D．6
参考答案：
B
考点：映射．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据映射的定义，结合分步相乘原理，得出满足f（f（﹣1））＜f（1）的映射的个数是多少．
解答：根据题意，得；
∵f（f（﹣1））＜f（1），
∴当f（1）→1时，f（f（﹣1））→0或f（f（﹣1））→﹣1；
当f（1）→0时，f（f（﹣1））→﹣1；
又∵f（﹣1）有3种对应的映射，分别为：
f（﹣1）→1，f（﹣1）→0，f（﹣1）→﹣1；
∴满足f（f（﹣1））＜f（1）的映射的个数为
3×3=9．
故选：B．
点评：本题考查了映射的定义与应用问题，是基础题目．
7. 对任意两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：
；运算“”为：
.设R，若，则
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
8. 已知函数f（x）=x2，若存在实数t，当x∈[0，m]时，f（x+t）≤x恒成立，则实数m的最大值为（）
A．1 B．2 C．D．参考答案：
A
【考点】一元二次不等式的应用．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】设g（x）=f（x+t）﹣x=x2+（2t﹣1）x+t2，当x∈[0，m]时，f（x+t）≤x恒成立，等价于g（0）≤0且g（m）≤0，由此可求实数m的最大值．
【解答】解：设g（x）=f（x+t）﹣x=x2+（2t﹣1）x+t2，
当x∈[0，m]时，f（x+t）≤x恒成立，等价于g（0）≤0且g（m）≤0
∴t=0，且m2﹣m≤0，
∴0≤m≤1
∴m的最大值为1
故选A．
【点评】本题考查恒成立问题，考查解不等式，属于基础题．
9. 禇娇静老师在班级组织五一节抽奖活动，她有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面仍一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】几何概型．
【分析】利用几何概型分别求出A，B，C，D四个游戏盘中奖的概率，由此能求出结果．
【解答】解：在A中，中奖概率为，
在B中，中奖概率为=，
在C中，中奖概率为=，
在D中，中奖概率为．
∴中奖机会大的游戏盘是D．
故选：D．
10. 点P为△ABC所在平面内一点，若?（﹣）=0，则直线CP一定经过△ABC的（）
A ．内心
B ．垂心
C ．外心
D ．重心 参考答案：
B
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】运用向量减法的三角形法则，以及向量垂直的等价条件：数量积为0，结合三角形的垂心是三条高的交点，即可得到结论． 【解答】解：若?（
﹣
）=0，
则有?=0， 即
⊥
，
则P 一定经过△ABC 的垂心． 故选B ．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在空间直角坐标系中，点A （1，－2,3）关于平面xoz 的对称点为B ，关于x 轴的对称点为C ，则B 、C 间的距离为__________。

参考答案：
6
12. 已知函数f （x ）=，若f[f （x ）]=1，则实数x 的取值范围是 ．
参考答案：
[0，1]∪[2，3]
【考点】分段函数的应用；函数的值． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数直接判断x 的范围，求解即可．
【解答】解：函数
f （x ）=
，f[f （x ）]=1，
当x∈[0，1]时，f[f （x ）]=1恒成立．
当x ＜0时，f （x ）=3﹣x ＞3，可得3﹣（3﹣x ）=1，不成立； 当x ＞1时，f （x ）=3﹣x ，
若1＜3﹣x≤2．即x∈[1，2），可得3﹣（3﹣x ）=1，不成立； 若0≤3﹣x≤1即x∈[2，3]时，f[f （x ）]=1，恒成立． 若3﹣x ＜0，即x ＞3时，可得3﹣（3﹣x ）=1，不成立；
综上x∈[0，1]∪[2，3]． 故答案为：[0，1]∪[2，3]．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论以及计算能力．
13. 已知单位向量与的夹角为α，且cos α＝，若向量＝3－2与＝3－的夹角为β，
则cos β＝________.
参考答案：
【分析】
根据向量的数量积分别计算出 的模和 的模，及的值即可得解.
【详解】由已知得：
， ，
所以
故得解.
【点睛】本题考查向量的数量积的运算，属于基础题.
14. 已知不等式+++……+>a 对于一切大于1的自然数n 都成立，求实数a 的取值
范围。

参考答案：
略
15. 已知，则的值为
参考答案：
16. 给定下列结论：
①已知命题p：，；命题：，则命题“且”是假命题；
②已知直线l1：，l2：x- b y + 1= 0，则的充要条件是；
③若，，则；
④圆，与直线相交，所得的弦长为2；
⑤定义在上的函数，则是周期函数；
其中正确命题的序号为__ _ __（把你认为正确的命题序号都填上）
参考答案：
③⑤
17. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；
（1）焦点在y轴上；（2）焦点在x轴上；
（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；
（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号） ______．参考答案：
(2) (5)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）已知不等式
（1）若，求关于不等式的解集；（2）若，求关于不等式的解集。

参考答案：
（1），则，移项通分
由
故不等式的解集为5分（2）已知，则
①时，可转化为
此时，不等式的解集为8分
②时，可转化为
i）当即时，不等式的解集为
ii）当即时，不等式的解集为
iii）当即时，不等式的解集为13分
综上所述：当时，解集为
当时，解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为14分
19. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为CD的中点，以AE为折痕把折起，使点
D
到达点P的位置，且.
（1）求证：平面PEC⊥平面PAB；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案：
（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先由线面垂直的判定定理得到平面，进而可得平面平面；
（2）先取中点，连结，，证明平面平面，在平面内作
于点，则平面. 以点为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.分别求出两平面的法向量，求向量夹角余弦值，即可求出结果.
【详解】（1）因为四边形是正方形，所以折起后，且，
因为，所以是正三角形，所以.
又因为正方形中，为的中点，所以，所以，
所以，所以，又因为，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）取中点，连结，，则，，
又，则平面.又平面，所以平面平面.
在平面内作于点，则平面.
以点为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.
在中，，，.
∴，，故，，，
∴，. 设平面的一个法向量为，则由，得
，令，得，，
∴.
因为平面的法向量为，
则，
又二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的余弦值，熟记面面垂直的判定定理、以及二面角的向量求法即可，属于常考题型.
20. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD 垂直．
(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；
(2)若∠EAD＝∠EAB＝60°，EF＝2，求多面体ABCDEF的体积．
参考答案：
(1)∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，∴E′D＝E′A，
∴点E′在线段AD的垂直平分线上．
同理，点F′在线段BC的垂直平分线上．
又四边形ABCD是正方形，
∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，
即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上．
∴直线E′F′垂直且平分线段AD.
(2) 如图，连结EB、EC，由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E－ABCD和正四面体E－BCF
两部分．设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝，∴EE′＝．
∴V E－ABCD＝·S正方形ABCD·EE′
＝×22×＝．
又V E－BCF＝V C－BEF＝V C－BEA＝V E－ABC＝S△ABC·EE′
＝××22×＝，
∴多面体ABCDEF的体积为V E－ABCD＋V E－BCF＝2．
21. （12分）若函数f（x）在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f （x）有“飘移点”x0．
（Ⅰ）证明f（x）=x2+e x在区间(0，)上有“飘移点”（e为自然对数的底数）；
（Ⅱ）若f(x)=lg()在区间（0，+∞）上有“飘移点”，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】（Ⅰ）f（x）=x2+e x，设g（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（1），则g（x）=2x+（e﹣1）e x﹣e．只要判断g（0）g（）＜0即可．（II）函数在区间（0，+∞）上有“飘移点”x0，即有
成立，即，整理得
．从而问题转化为关于x的方程（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a=0在区间（0，+∞）上有实数根x0时实数a的范围．设h（x）=（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a，由题设知a＞0．对a分类讨论即可得出．
【解答】（Ⅰ）证明：f（x）=x2+e x，设g（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（1），
则g（x）=2x+（e﹣1）e x﹣e．
因为g（0）=﹣1，，
所以．
所以g（x）=0在区间上至少有一个实数根，
即函数f（x）=x2+e x在区间上有“飘移点”．
（Ⅱ）解：函数在区间（0，+∞）上有“飘移点”x0，即有
成立，即，
整理得．
从而问题转化为关于x的方程（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a=0在区间（0，+∞）上有实数根x0时实数a的范围．
设h（x）=（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a，由题设知a＞0．
当a＞2且x＞0时，h（x）＜0，方程h（x）=0无解，不符合要求；
当a=2时，方程h（x）=0的根为，不符合要求；
当0＜a＜2时，h（x）=（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a图象的对称轴是，
要使方程h（x）=0在区间（0，+∞）上有实数根，则只需△=4a2﹣4（2﹣a）（2﹣2a）≥0，
解得．
所以，即实数a的取值范围是．
【点评】本题考查了函数的零点、二次函数的性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22. 已知集合A={x|log2(2x-4）≤1），B={y|y=()x,x≥}，求A∩ B．
参考答案：
，且为增函数，
. . 5分
.又是减函数，故当时，
. . 9分
12分。