人教版九年级上数学《用因式分解法解一元二次方程1》课件
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【人教版】九年级上册数学：《因式分解法解一元二次方程》教学课件ppt
3．用因式分解法解下列方程： (1)(x－1)2－2(x－1)＝0； (2)9x2－4＝0； (3)(3x－1)2－4＝0； (4)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)．
解：(1)x1＝3，x2＝1； (2)x1＝－23，x2＝23； (3)x1＝－13，x2＝1； (4)x1＝3，x2＝41.
6．[ 2017·湘潭] 由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从 右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab ＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)． (1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋ 2 )(x＋ 4 )． (2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
分层作业
1．方程(x＋1)2＝x＋1 的解是( B )
A．x＝－1
B．x1＝0，x2＝－1
C．x1＝0，x2＝－2
D．x1＝1，x2＝－1
2．下面是小刚在作业本中做的一道题，老师说小刚的方法有问题，可是小 刚不明白，你能帮帮他吗？
解一元二次方程：(2x－1)2＝2x－4x2. 解：原方程变形为(2x－1)2＝2x(1－2x)，① 即(2x－1)2＝－2x(2x－1)，② 化简，得 2x－1＝－2x，③ 得 4x＝1，④
解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由： 把 x＝－1 代入方程，得 2a－2b＝0. ∴a＝b，∴△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴b2＋c2＝a2， ∴△ABC 是直角三角形．
(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c， ∴原方程变为 2ax2＋2ax＝0. ∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.
人教版初中数学九年级上册因式分解法解一元二次方程课件PPT
x
.
2a
2
x1 0, x2 7.
知识讲解
x2 -7x =0 ①
因式分解
x(x-7) =0 ②
如果a ·b = 0，
两个因式乘积为 0，说明什么？
那么 a = 0或 b = 0.
x =0
或 x-7=0
降次，化为两个一次方程
x1 0, x2 7
（解两个一次方程，得出原方程的根）
这种解法是不是很简单？
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
11
11
x1 , x2 .
2
2
知识讲解
（3）
3( x 2) ( x 2) 2 0.
解：把方程的左边进行因式分解，得
x 2 5 x 0,
从而
x 2 0 ，或 5 x 0,
所以
x1 2 ，x2 5.
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
解：整理，得［3（x+1）］2-（2x-5）2 ＝ 0.
因式分解，得［3（x+1）+（2x-5）］［3（x+1）-（2x-5）］＝ 0.
可得3（x+1）+（2x-5）＝ 0 或3（x+1）-（2x-5）＝ 0，
即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝ 0，
2
(3)5x(2x－3)＝10x－15.
解：5x(2x－3)＝5(2x－3)，
(5x－5)(2x－3)＝0，
3
2
解得x1＝1，x2＝ .
2
随堂训练
8．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0
.
2a
2
x1 0, x2 7.
知识讲解
x2 -7x =0 ①
因式分解
x(x-7) =0 ②
如果a ·b = 0，
两个因式乘积为 0，说明什么？
那么 a = 0或 b = 0.
x =0
或 x-7=0
降次，化为两个一次方程
x1 0, x2 7
（解两个一次方程，得出原方程的根）
这种解法是不是很简单？
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
11
11
x1 , x2 .
2
2
知识讲解
（3）
3( x 2) ( x 2) 2 0.
解：把方程的左边进行因式分解，得
x 2 5 x 0,
从而
x 2 0 ，或 5 x 0,
所以
x1 2 ，x2 5.
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
解：整理，得［3（x+1）］2-（2x-5）2 ＝ 0.
因式分解，得［3（x+1）+（2x-5）］［3（x+1）-（2x-5）］＝ 0.
可得3（x+1）+（2x-5）＝ 0 或3（x+1）-（2x-5）＝ 0，
即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝ 0，
2
(3)5x(2x－3)＝10x－15.
解：5x(2x－3)＝5(2x－3)，
(5x－5)(2x－3)＝0，
3
2
解得x1＝1，x2＝ .
2
随堂训练
8．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0
九年级数学上册《因式分解法解一元二次方程》课件(新版)新人教版
因式分解法
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? X2=a (a≥0) 直接开平方法 2=n (n≥0) (x+m) 配方法
公式法 2.什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
2
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
独立 作业
1.4 x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2 x;
3.(2 x 3)2 4(2 x 3);
小亮是这样想的: 0 3 0,15 0 0, 0 0 0. 反过来, 如果a b 0, 那么a 0或b 0 小亮是这样解的 :
Hale Waihona Puke 或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于 0, 那么这两个数至少有一 个为0.
解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小颖是这样解的 : 小明是这样解的 :
解 : x 2 3x 0.
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去 x, 得. x 3.
这个数是3.
小明做得对吗?
3 9 x . 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
2x 14x - 3 0,
2 x 1 0, 或4 x 3 0. 1 3 x1 , x2 . 2 4
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? X2=a (a≥0) 直接开平方法 2=n (n≥0) (x+m) 配方法
公式法 2.什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
2
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
独立 作业
1.4 x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2 x;
3.(2 x 3)2 4(2 x 3);
小亮是这样想的: 0 3 0,15 0 0, 0 0 0. 反过来, 如果a b 0, 那么a 0或b 0 小亮是这样解的 :
Hale Waihona Puke 或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于 0, 那么这两个数至少有一 个为0.
解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小颖是这样解的 : 小明是这样解的 :
解 : x 2 3x 0.
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去 x, 得. x 3.
这个数是3.
小明做得对吗?
3 9 x . 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
2x 14x - 3 0,
2 x 1 0, 或4 x 3 0. 1 3 x1 , x2 . 2 4
人教版九年级数学上册《用因式分解法解一元二次方程》课件(共16张PPT)
方法归纳 ☞
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程， 它们的根就是原方程的根.
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
例题欣赏 ☞
例2 解下列方程:
（ 1）x（x2） x20；
r 5 2 rr 5 2 r 0 .
于是得 r 2 r 5 0 或 r 2 r 5 0 .
r1 251,r21 52(舍 去 ).
5
答：小圆形场地的半径是
m.
2 1
已 9a 知 24b 20 ，求b a 代 b aa 2 数 a b b 2的 式 .
我最棒
,用分解因式法解下列方程
作业
参考答案：
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
12..xx1114;32x;2x2 175..
3.2 (x3)24(2x3); 4.2(x3)2x29;
34 ..xx 11 3 ;23x 2 ;x 29 .12.
5.5(x2x)3(x2x); 5 .x 1 0 ;x 2 4 .
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积 时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方 程的方法称为分解因式法.
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌 握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解;
人教版九年级数学上册《一元二次方程的解法——因式分解法》PPT
简记歌诀： 右化零 左分解
三化-----方程化为两个一元一次方程; 两因式 各求解
四解-----写出方程两个解;
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
• 3．二次三项式x²＋20x＋96分解因式的结
果为
；如果令x²＋20x＋96＝0，
那么它的两个根是
．
4．选择适当的方法解下列方程：
• (1)(x－5)²＝4； • (2)x²＝8x； • (3)3x²－x－1＝0； • (4)(2x＋1)²＝－6x－3； • (5)(2x－1)²＝(3－x).²
1.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③
解: 原方程化为： x2 - 3x -28= 0， (x-7)(x+4)=0， x1=7，x2=-4.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境引入 我们知道ab=0，那么a=0或b=0， 类似的解方程（x+1）（x－1）=0时， 可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解， 你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》PPT课件
感悟新知
归纳
知2－讲
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一 次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程 了．
感悟新知
例2 用直接开平方法解下列方程．
知2－练
(1)(x－3)2＝25；(2)(2y－3)2＝16.
解：(1)x－3＝±5，于是x1＝8，x2＝－2.
感悟新知
知2－练
1 一元二次方程 ( x＋1 )( x－1 ) ＝2x＋3 的根的情 况是( A ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
感悟新知
知2－练
直开平方法
降次
转化
配方法
第二十一章 一元二次方程
21.2
解一元二次方程
第3课时 一元二次方程根 的判别式
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的情况的判别 一元二次方程根的判别式的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程， 那么老师这里有一手绝活，就是：我随便拿到一个 一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能 很快知道它的根的大致情况，同学们想知道老师是 如何做到的吗？
33
∴ 方程有两个不相等的实数根
知2－练
感悟新知
总结
知2－讲
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的方法： 先将一元二次方程化成一般形式 ax2＋bx＋c=0，当
方程中的 a，b，c 是常数时，直接求出 Δ =b2－4ac 的值， 确定方程根的情况； 当方程中的 a， b， c 含有字母时， 求出 Δ =b2－4ac 后再对含有字母的代数式进行讨论，进 而确定该方程根的情况 .
用因式分解法求解一元二次方程课件
小亮是这样想的: 如果a b 0, 那么a 0或b 0 或a b 0.
即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
（3）、方程x2=x的根是
，方程(y-2)2=0的
根是
，方程(x+1)2=4(x+1)的根是
.
（4）（2015 北京）在实数范围内定义一种新运
算※，其规则为：a※b=a－b,根据这个规则，方
程(x-2) ※1=0的解是
。
3、解答题：
（1）解方程：2x2 ＋18=12x
（2）活学活用： 已知三角形的两边长为3和7，第三边长是
九年级数学(上)
学习目标
1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解一 元二次方程，体会“降次”化归的思想方法。
2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解 方法，体会解决问题的灵活性和多样性。
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
学习是件很愉快的事
淘金者
你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2-4=0;
2. (x+1)2-25=0.
解： (x+2)(x-2)=0,
解： [(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
《用因式分解法解一元二次方程》PPT课件
A．5
B．7 C．5或7
D．10
3 △ABC的三边长都是方程x2－6x＋8＝0的解，则
△ABC的周长是( C )
A．10
B．12
C．6或10或12
D．6或8或10或12
感悟新知
知识点 2 用适当的方法解一元二次方程
知2－讲
1. 解一元二次方程的方法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．其
中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接
思考：
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法
解方程①?
感悟新知
知识点 1 用因式分解法解方程
观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点?
知1－讲
你能根据它的特点找到更简便的方法吗?
10x - 4.9x 2 = 0
x(10 - 4.9x) = 0
两个因式的积等于零
x = 0 或 10 - 4.9x = 0
课堂小结
一元二次方程
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．
课堂小结
一元二次方程
解一元二次方程方法的口诀 方程没有一次项，直接开方最理想； 如果缺少常数项，因式分解没商量； b，c相等都为0，等根是0不要忘； b，c同时不为0，因式分解或配方， 也可直接套公式，因题而异择良方．
于是得x＝0，或x－ 2 3 ＝0，x1＝0，x2＝2 3 .
感悟新知
(3)移项，化简，得x2－2x＋1＝0， 因式分解，得(x－1)2＝0， 于是得x－1＝0，x1＝x2＝1.
知1－练
感悟新知
人教版九年级数学上册21.2.3一元二次方程的解法-因式分解法课件
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是把一个一元二次方程左边化为两个一次式 的积，而右边是零. 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例题欣赏 ☞
例1 用因式分解法解下列方程：
1 x x 2 x 2 = 0;
2 5x2 2x 1 = x2 2x 3 .
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据 a = 0或b = 0
说出下列方程的解吗？
(1)(x-2)(x-5)=0_____x_1_=_2__,x_2_=_5______ (2)(x+1)(x-4)=0_____x_1_=_-_1_,_x_2_=_4_____ (3)(y+2)(2y-1)=0____y_1_=_-_2_,_y_2_=_0_._5___ (4)(x-a)(x-b)=0______x_1=__a_,x_2_=_b______
.
1.用分解因式法解下列
(1). 3x(x 2) = 5(x 2);
(2) .2(y 3)2 = yy 3;
(3).(3x 1)2 5 = 0;
(4).2(x 3)2 = x2 9 .
(5)(x2 x) x 1 = 0
(6).x2 2x 1 = (3x 1)2
(7).(x 3)(x 2) = 6
第21章一元二次方程
21.2.3 因式分解法
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? ①直接开平方法: x2=p ,（mx+n)2 =p(p≥0)
例题欣赏 ☞
例1 用因式分解法解下列方程：
1 x x 2 x 2 = 0;
2 5x2 2x 1 = x2 2x 3 .
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据 a = 0或b = 0
说出下列方程的解吗？
(1)(x-2)(x-5)=0_____x_1_=_2__,x_2_=_5______ (2)(x+1)(x-4)=0_____x_1_=_-_1_,_x_2_=_4_____ (3)(y+2)(2y-1)=0____y_1_=_-_2_,_y_2_=_0_._5___ (4)(x-a)(x-b)=0______x_1=__a_,x_2_=_b______
.
1.用分解因式法解下列
(1). 3x(x 2) = 5(x 2);
(2) .2(y 3)2 = yy 3;
(3).(3x 1)2 5 = 0;
(4).2(x 3)2 = x2 9 .
(5)(x2 x) x 1 = 0
(6).x2 2x 1 = (3x 1)2
(7).(x 3)(x 2) = 6
第21章一元二次方程
21.2.3 因式分解法
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? ①直接开平方法: x2=p ,（mx+n)2 =p(p≥0)
人教版九年级数学上册《21.2.5 用因式分解法解一元二次方程》教学课件
1. 解一元二次方程的方法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解 法．其中配方法和公式法适合于所有一元二 次方程，直接开方法适合于某些特殊方程.
2．解一元二次方程的基本思路是： 将二次方程化为一次方程，即降次．
知2－讲
3．解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因 式分解法，不能用这两种方法时，再用公式 法；没有特殊要求的，一般不用配方法．
（来自教材）
例2 解方程：x(x－2)＋x－2＝0；
解： 因式分解，得 (x－2)(x＋1)＝0.
于是得 x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
知1－讲
转化为两 个一元一
次方程
（来自教材）
知1－讲
例3 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
移项、合并同类项，得
4x2－1＝0. 因式分解，得
3 解下列方程: (1) 4x2－121＝0； (2) 3x(2x＋1)＝4x＋2； (3) (x－4)2＝(5－2x)2.
知2－练
解：(1)因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0，
于是得2x＋11＝0，或2x－11＝0，
x1＝－121，x2＝121.
（来自教材）
知2－讲
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．
总结
知1－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程， 首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对 于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次 项系数是偶数，可选用配方法.
知2－练
1 解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( D ) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
2．解一元二次方程的基本思路是： 将二次方程化为一次方程，即降次．
知2－讲
3．解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因 式分解法，不能用这两种方法时，再用公式 法；没有特殊要求的，一般不用配方法．
（来自教材）
例2 解方程：x(x－2)＋x－2＝0；
解： 因式分解，得 (x－2)(x＋1)＝0.
于是得 x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
知1－讲
转化为两 个一元一
次方程
（来自教材）
知1－讲
例3 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
移项、合并同类项，得
4x2－1＝0. 因式分解，得
3 解下列方程: (1) 4x2－121＝0； (2) 3x(2x＋1)＝4x＋2； (3) (x－4)2＝(5－2x)2.
知2－练
解：(1)因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0，
于是得2x＋11＝0，或2x－11＝0，
x1＝－121，x2＝121.
（来自教材）
知2－讲
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．
总结
知1－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程， 首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对 于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次 项系数是偶数，可选用配方法.
知2－练
1 解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( D ) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
人教部初三九年级数学上册 解一元二次方程——因式分解法 名师教学PPT课件
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法:
10x-4.9x2 =0
因式分解
x(10-4.9x) =0
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
x1 0,
100 x2 49 2.04 解两个一次方程，得出原方程的根
例1 用因式分解法解下列方程：
（1）x2＋x=0
（2）2x2－4x=0
（3）2x (x-2)-3(x-2) =0 （4）3x (2x+1)=4x+2
例2 解下列方程：
5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
解：移项、合并同类项，得
4x2 1 0.
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
答：物体经过0秒或2.04秒落回地面。
来回顾一下刚才的过程
10x-4.9x2 =0
思考：我们是怎么把二次方程降为一次的？
x(10-4.9x) =0
x =0或10-4.9x=0
x1 0,
x2
100 49
2.04
关键就是这一步因式分解， 直接把方程变成了 两个一次式的乘积等于0的形式。
像这种，利用因式分解实现降次，求解一 元二次方程的方法,叫做因式分解法。
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
x1Βιβλιοθήκη 1 2,x2
1 2
.
解下列方程： （1）4x2－121=0
（2）(3x＋2)2－ 4x2 =0
（3）2(x － 3)2＝x2 －9
下面来归纳一下用因式分解法解方程的一般步骤：
10x-4.9x2 =0
因式分解
x(10-4.9x) =0
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
x1 0,
100 x2 49 2.04 解两个一次方程，得出原方程的根
例1 用因式分解法解下列方程：
（1）x2＋x=0
（2）2x2－4x=0
（3）2x (x-2)-3(x-2) =0 （4）3x (2x+1)=4x+2
例2 解下列方程：
5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
解：移项、合并同类项，得
4x2 1 0.
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
答：物体经过0秒或2.04秒落回地面。
来回顾一下刚才的过程
10x-4.9x2 =0
思考：我们是怎么把二次方程降为一次的？
x(10-4.9x) =0
x =0或10-4.9x=0
x1 0,
x2
100 49
2.04
关键就是这一步因式分解， 直接把方程变成了 两个一次式的乘积等于0的形式。
像这种，利用因式分解实现降次，求解一 元二次方程的方法,叫做因式分解法。
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
x1Βιβλιοθήκη 1 2,x2
1 2
.
解下列方程： （1）4x2－121=0
（2）(3x＋2)2－ 4x2 =0
（3）2(x － 3)2＝x2 －9
下面来归纳一下用因式分解法解方程的一般步骤：
人教版数学九年级上册一元二次方程解法因式分解法课件
如果a ·b = 0，那么 a = 0或 b = 0。
21.2.3 因式分解法 困(2)，移你项是、人合类并艺同术类的项源，泉得，你将伟大的灵感赐予诗人。
有兴隆3x中－学9 =李0文或凤1 － x = 0， 根这据种题 解意法叫做π因( r式+分5解)2法=.2πr2.
母关鸡键的 是理熟想练不掌过握是因一式把分糠解。的知识;
2
49
b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0=100
x 50 50 49 49
x 50 50 49 49
x1
100 49
，
x2 0
xb b2 4ac 10 10
2a
2 4.9
x1
100 49
，
x2 0
10x4.9x20
因式分解
x 104.9x 0
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0。
2x＋1=0或2x－1=0, 于是得
11 x1 2 , x2 2 .
1.解下列方程：
练习
解：因式分解，得
x x 2 3 0.
得 x 0 或 x 2 3 0, x1 0, x2 2 3.
解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
例3 解下列方程：
1 xx2x20;
可以试用 多种方法解
2 5x2 2x1x2 2x3.
4
4
本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得 (2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
4x2 1 0.
于是得
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
九年级数学上册-因式分解法解一元二次方程课件-人教新课标版
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
解下列方程:
1.x 2x - 4 0,2.4x2x 1 32x 1. 解 :1.x 2 0,或x 4 0.
那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的: 解 :由方程x2 3x,得x2 3x 0.xx Nhomakorabea3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一
个因式等于零.” ab 0 a 0,b 0
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2);(3)x2+6x-7=0
解下列方程
1.4x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2x;
3.(2x 3)2 4(2x 3); 4.2(x 3)2 x2 9;
5.5(x2 x) 3(x2 x);
6.( x 2)2 2x 32; 7.(x 2)x 3 12;
参考答案：
1.x1 2.x1
1
4
; x2 2 3 ; x2
7. 5 1.
3.x1 4.x1
3; 2
人教X课标版 _ 九年级上册(X年3月第1版) _ 因式分解法解一元二次方程(21张PPT)
(x－7)(x+4)=0 x－7=0或x+4=0 x1=7,x2= -4
x30或 x20,
x1 3,x22.
例题讲解
解关x于 的方程
1
x22axa2b2 0
1
解 [x (a ： b )x ] ( [a b ) ]0
x (a b ) 0 或 x (a b ) 0
x1ab ,x2a b .
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/8/32021/8/32021/8/32021/8/3
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
（ 2x） 222x3320
(2x3)2 0
x1
x2
3 2
3 十字相乘法
步骤：
1 二次项系数为1的情况： 将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘积 的形式，且p + q = 一次项系数。
分解结果为 （x +p）(x +q)=0
1
P
1
Q
2 二次项系数不为1的情况：
将二次项系数分成两个数（式）a ,b的乘积
(x1)2 0
x1 x2 1
(1) x 2 4
解法一 (直接开平方法):
x 4,
即 x12,x22.
解法二：平方差公式法
x2 4
x240
(x2)(x2) 0
x20 或 x 20
x2或 x2.
原方程的两 x1个 2,x根 2 为 2.
(2)4x216x160
解 ： 原 方 程 可 化 为
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/8/32021/8/32021/8/3Aug-213-Aug-21
最新人教版九年级上数学《用因式分解法解一元二次方程》教学课件
解：5x2 4x 0 解：x 2 x(x 2) 0 解：(x 1) 5(x 1) 5 0
x(5x 4) 0
(x 2)(1 x) 0
（x 1 5)(x 1 5) 0
x 0或5x 4 0 x 2 0或1 x 0
x
如果两个因式的积等于0, 那么至少有一个因式等于0
即：A·B=0 A=0或B=0
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于 分解成两个一次因式的乘积时,我们就可 以用因式分解的方法求解.这种用因式分 解解一元二次方程的方法称为因式分解法.
快速回答：下列各方程的根分 别是多x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
活动二：尝试练习
(1)5x2 4x (2)x 2 x(x 2) (3)(x 1)2 25 0
(2)x 2 x(x 2)
(3)(x 1)2 25
一题多解 思维花开
(4x 3)2 (x 3)2
方程中有括号，先用整体思想考虑是 否有适合的简便方法，若没有再考虑 去括号化为一般形式
（左分解）
3 至少 有一个 因式为零，得到两个
一元一次方程。
（两方程）
4 两个 一元一次方程的解 就是原方
程的解。
（各求解）
活动三：能力提高
(1)(2x 3)2 4(2x 3) (2)(4x 3)2 (x 3)2
解：(2x 3)2 （4 2x 3) 0解：(4x 3)2 x 32 0
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2
x 5x 6 0
解 把方程左边分解因式，得
( x 2)(x 3) 0
因此，有 解得
x 2 0或x 3 0
x 2, x 3.
例5
解：
( x 4)(x 1) 6
因式分解，得
( x 5)( x பைடு நூலகம்2) 0
x 5 0或x - 2 0
∴ x1
5, x2 2
交流讨论：
x x
2
解：方程的两边同时除 以x，得 x 1. 原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
x x
2
解： (1)当x 0时，左边 0 0，右边 0.
2
左边 右边， x 0是原方程的解；
(2)当x 0时, 方程的两边同除以 x，得 x 1 原方程的解为 x1 0, x2 1.
解题步骤演示
例 (x+1)(x+3)=15 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+4x－12 =0 左边分解成两个一次因式 的乘积 (x－2)(x+6)=0
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
x－2=0或x+6=0
两个一元一次方程的解就是原方程的解
∴ x1=2 ,x2=-6
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 2.解一元二次方程的方法：
2
解法一 (直接开平方法):
5 x , 3 5 5 即x1 , x 2 . 3 3
2 9x －25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0 3X+5=0 或 3x－5=0
5 5 x1 , x 2 . 3 3
9X2－25= (3x+5)(3x－5)
例4、解下列方程
x x
2
解：移项，得
x( x 1) 0
x 0, 或x 1 0
原方程的解为: x1 0, x2 1.
x x 0,
2
当一元二次方程的一边为 0 ，而另一边易于分解成 0 两个一次因式时，就可以 用因式分解法来解.
简记歌诀： 右化零 左分解
两因式
各求解
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？ x1 0, x2 2 (1) x( x 2) 0
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3 2 1 (3)(3x 2)(2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
习题1、解下列方程 （4）x2－6x－7=0 （6）(x+1)(x+3)=15 解：原方程可变形为 解：原方程可变形为 (x－7)(x+1)=0 x2+4x－12=0 (x－2)(x+6)=0 x－7=0或x+1=0 x－2=0或x+6=0 ∴ x1=7 ,x2=-1 ∴ x1=2 ,x2=-6
用因式分解法解一元二次方程
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 2、请用已学过的方法解方程 2 x －9=0
2 x －9=0
解：原方程可变形为
(x+3)(x－3)=0 X+3=0 或 x－3=0 ∴ x1=-3 ,x2=3
X2－9= (x+3)(x－3)
AB=0A=0或Ｂ＝０
9 x 25 0
直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2= A解
作业： P.29: 5. (3)(4)
x 5x 6 0
解 把方程左边分解因式，得
( x 2)(x 3) 0
因此，有 解得
x 2 0或x 3 0
x 2, x 3.
例5
解：
( x 4)(x 1) 6
因式分解，得
( x 5)( x பைடு நூலகம்2) 0
x 5 0或x - 2 0
∴ x1
5, x2 2
交流讨论：
x x
2
解：方程的两边同时除 以x，得 x 1. 原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
x x
2
解： (1)当x 0时，左边 0 0，右边 0.
2
左边 右边， x 0是原方程的解；
(2)当x 0时, 方程的两边同除以 x，得 x 1 原方程的解为 x1 0, x2 1.
解题步骤演示
例 (x+1)(x+3)=15 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+4x－12 =0 左边分解成两个一次因式 的乘积 (x－2)(x+6)=0
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
x－2=0或x+6=0
两个一元一次方程的解就是原方程的解
∴ x1=2 ,x2=-6
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 2.解一元二次方程的方法：
2
解法一 (直接开平方法):
5 x , 3 5 5 即x1 , x 2 . 3 3
2 9x －25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0 3X+5=0 或 3x－5=0
5 5 x1 , x 2 . 3 3
9X2－25= (3x+5)(3x－5)
例4、解下列方程
x x
2
解：移项，得
x( x 1) 0
x 0, 或x 1 0
原方程的解为: x1 0, x2 1.
x x 0,
2
当一元二次方程的一边为 0 ，而另一边易于分解成 0 两个一次因式时，就可以 用因式分解法来解.
简记歌诀： 右化零 左分解
两因式
各求解
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？ x1 0, x2 2 (1) x( x 2) 0
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3 2 1 (3)(3x 2)(2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
习题1、解下列方程 （4）x2－6x－7=0 （6）(x+1)(x+3)=15 解：原方程可变形为 解：原方程可变形为 (x－7)(x+1)=0 x2+4x－12=0 (x－2)(x+6)=0 x－7=0或x+1=0 x－2=0或x+6=0 ∴ x1=7 ,x2=-1 ∴ x1=2 ,x2=-6
用因式分解法解一元二次方程
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 2、请用已学过的方法解方程 2 x －9=0
2 x －9=0
解：原方程可变形为
(x+3)(x－3)=0 X+3=0 或 x－3=0 ∴ x1=-3 ,x2=3
X2－9= (x+3)(x－3)
AB=0A=0或Ｂ＝０
9 x 25 0
直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2= A解
作业： P.29: 5. (3)(4)