巧用弹簧振子简谐振动过程的对称性解题 人教版

巧用弹簧振子简谐振动过程的对称性解题
江苏省泰兴中学 李小东
（邮编225400）
对称性是简谐运动的重要性质之一，在关于平衡位置对称点上位移，回复力，加速度，速度，动能，势能数值均相等，振动物体沿不同方向经过同一路径或通过关于平衡位置两段对称路程的时间相等，利用对称规律解题，往往事半功倍，下面以弹簧振子为例加以说明：
一、时间、速度的对称性
例1、如图，在水平方向做简谐运动的弹簧振子，质量为m ，A 、B 两点关于平衡位置对称，经过A 点时速度为v 。

（1） 它从平衡位置O 点经过0.4s 第一次到达A 点，再经过0.2s 第二次到达
A 点，从弹簧振子离开O 点开始计时，则振子第三次到达A 点时间是多少？
（2）
振子连续经过A 、B 两点，弹力所做的功以及弹力的冲量是多少？
解析：（1）①若开始经过O 点速度方向向右 由时间对称性：42.02124.0T T =⨯+-
∴s T 3
2= ②若开始经过O 点的运动方向向左
2.024.02
+⨯=T T=2S
（2）由速度的对称性知连续经过A 、B 两点v A 与v B 大小相等，但方向可能相同或相反。

∴W 弹=△Ek=0，I 弹=0或I 弹=2mv
二、加速度、回复力的对称性
例2、如图（1）所示，质量分别为m 和M 的A 、B 两重物用劲度系数为k 的轻质弹簧竖直地连接起来，若将A 固定在天花板上，用手托住B ，让弹簧处于原长，然后放
手，B 开始振动，试问：（1）B 到达最低点时的加速度以及弹性势能多大？（2）B 振动
具有最大速度Vm 时弹簧的弹性势能为多大？（3）如图（2）
所示，若将A 从天花板上取下，使弹簧为原长时，让两物
从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。

当重物A 下落距离h 时，重物B 刚好与地面相碰，假定碰
后的瞬间重物B 不离开地面（B 与地面作完全非弹性碰撞）
但不粘连。

为使重物A 反弹时能将重物B 提离地面，下落
高度h 至少应为多少？
解析：（1）B 释放时，弹簧原长，∴M 加速度 a=g 向下
当B 到达最低点时，根据对称性a ′=g 向上
最高点与最低点回复力大小相等，即Mg=kx-Mg ∴最低点伸长量K
Mg x 2= 由最高点到最低点能量守恒得K
g M Mgx E 2
22==弹 （2）B 速度最大时，弹簧振子处于平衡位置，设伸长Mg Kx x =11
能量守恒212
1m Mv Ep Mgx += 2222
1m Mv K g M Ep -= （3）B 触地时，弹簧为原长，A 的速度gh v 2=，A 压缩弹簧后向上弹起，弹簧恢复原长后A 又继续上升拉伸弹簧，当v A =0时，弹簧伸长x 2，B 恰好被提离地面应有 Kx 2=Mg ∴x 2=x 1 ∴最高点弹性势能Ep ′=Ep 弹簧由压缩到拉伸能量守恒p E mgx mv '+=222
1 2222
1221m Mv K g M K Mg mg gh m -+⋅=⋅
mg
Mv km g M K Mg h m 222-+= 三、弹簧振子关于平衡位置对称的两点位移大小相等，关于原长对称的两位置由于形变量大小相等，弹力势能相同。

例3、如图所示，小物块m 1与m 2通过一轻弹簧相连，放在倾角为θ的光滑固定斜面上，物块m 1与固定在斜面上的竖直挡板接触，已知物块m 1与m 2的质量均为m ，物块m 3的质量为3
m ，弹簧的劲度系数为k ，且下述过程弹簧形变始终在弹性限度内。

开始物块m 1与m 2处于静止状态，现让物块m 3从长木板上的A 点静止释放，与物块m 2相碰后粘合在一起，为使物块m 2、m 3向上反弹到最大高度时，物块m 1对挡板的压力恰为零，则（1）A 点与碰撞前物块m 2的距离为多大？（2）整个运动过程中弹簧最多比原来增加多少弹性势能？
解析：（1）初态，弹簧处于压缩状态，压缩量K mg x θsin 1=。

末态，弹簧处于伸长状态，伸长量12sin x K
mg x ==θ，初末状态关于弹簧原长对称，形变量大小相等，所以具有相等的弹性势能，设A 点距碰前m 2的距离为S 。

由动能定理得 213321sin v m s g m =
⋅θ ① m 3、m 2碰撞动量守恒22313)(v m m v m +=
4
12v v = ② 由碰撞瞬间到最高点能量守恒
θsin )()()(2
121232223x x g m m v m m ++=+ ③ 联系①、②、③得K
mg s θsin 32= （2）
方法一：如图，2位置为m 3、m 2整体振动的平衡位置，压缩量K mg x 3sin 43θ=
，整体振动的振幅K
mg x x A 3sin 723θ=+= 所以最低点3位置距离初位置1间距为K mg x x A x 3sin 813θ=
-+= ④ 由1 3能量守恒
θsin )()(2
1232223gx m m v m m Ep +++=∆ ⑤ 由①、②、③ 得K
m g v θsin 22= ⑥ 由④、⑤、⑥得K
g m Ep 9sin 56222θ=∆ 方法二：根据对称性，1位置和4位置弹性势能相等，所以
4313Ep Ep Ep Ep Ep -=-=∆ =K
g m K kg mg A g m m 9sin 563sin 143sin 42sin )(22232θθθθ=⨯=⨯+ 弹簧模型可以考查牛顿运动定律，振动以及动量能量的相关知识，综合性很强，应
仔细分析弹簧各个状态和过程，结合对称性，找准几何关系和能量关系，便能迅速找出解题方法。