四种命题、四种命题间的相互关系 课件

【自主解答】 (1)命题“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和 否命题具有相同的真假性，所以“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的否命题 是真命题.
(2)令 x＝1，y＝－2，满足 x>y，但 x2<y2，所以“若 x>y，则 x2>y2”是假命 题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若 x>y，则 x2>y2”的 逆否命题也是假命题.
探究 2 证明：若 m2＋n2＝2，则 m＋n≤2 为真命题.
【提示】 将命题“若 m2＋n2＝2，则 m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否 命题为“若 m＋n>2，则 m2＋n2≠2”，下面证明逆否命题的正确性.
因为 m2＋n2≥2mn， 所以 2(m2＋n2)≥m2＋n2＋2mn＝(m＋n)2，即 m2＋n2≥12(m＋n)2， 又因为 m＋n>2， 所以 m2＋n2≥12(m＋n)2>12×22＝2， 即 m2＋n2>2，所以 m2＋n2≠2. 故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.
【答案】 (1)互逆命题 逆命题 (2)否定 否命题 (3)结论命题：
原命题：若p，则q
否命题：
逆否命题：
【答案】 若 q，则 p 若﹁p，则﹁q 若﹁q，则﹁p
教材整理 2 四种命题之间的关系 阅读教材，完成下列问题. 1.四种命题之间的关系
若p,则q
(1)相似三角形对应的角相等； (2)当 x>3 时，x2－4x＋3>0； (3)正方形的对角线互相平分. 【精彩点拨】 根据四种命题的定义解答.
【自主解答】 (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角 对应相等；
逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似； 否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等； 逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似.
四种命题的写法 1由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件 和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互 换的同时进行否定即得逆否命题. 2如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时， 必须注意各命题中的大前提不变.
[再练一题] 1.命题“若 y＝kx，则 x 与 y 成正比例关系”的否命题是( ) A.若 y≠kx，则 x 与 y 成正比例关系 B.若 y≠kx，则 x 与 y 成反比例关系 C.若 x 与 y 不成正比例关系，则 y≠kx D.若 y≠kx，则 x 与 y 不成正比例关系
四种命题间的相互关系
教材整理 1 四种命题的概念及结构 阅读教材，完成下列问题. 1.四种命题的概念 一般地，对于两个命题， (1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们 把这样的两个命题叫做__________.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命 题的________.
【答案】 D
四种命题真假的判断
判断下列四个命题的真假，并说明理由. (1)“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的否命题； (2)“若 x>y，则 x2>y2”的逆否命题； (3)“若 x≤3，则 x2－x－6>0”的否命题； (4)“对顶角相等”的逆命题.
【精彩点拨】 依题意写出命题进行判定，正确的命题进行证明，错误的 命题只需举出反例，或应用互为逆否命题的命题具有相同的真假性判定.
法二：先判断原命题的真假. 因为 a，x 为实数，且关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集不是 空集， 所以 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0， 即 4a－7≥0，解得 a≥74，所以 a≥1， 所以原命题为真命题. 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题.
(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的 ________，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫 做原命题，那么另一个叫做原命题的________.
(3) 如 果 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 恰 好 是 另 一 个 命 题 的 ________ 的 否 定 和 ________的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的 一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的________.
(3)该命题的否命题为“若 x>3，则 x2－x－6≤0”，令 x＝4，满足 x>3，但 x2－x－6＝6>0，不满足 x2－x－6≤0，则该否命题是假命题.
(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任 意两个内角都相等，但它们不是对顶角.
判断命题真假的方法 1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题， 判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证. 2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同 假，故二者只判断一个即可.
命题：对任意 x∈R，ax2－2ax－3＞0 不成立是真命题，求实数 a 的取值范围.
【精彩点拨】 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否 命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时， 可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.
【自主解答】 因为命题“对任意 x∈R，ax2－2ax－3＞0 不成立” 等价于“对任意 x∈R，ax2－2ax－3≤0 恒成立”， 若 a＝0，则－3≤0 恒成立，所以 a＝0 符合题意. 设 f(x)＝ax2－2ax－3，当 a＞0 时，二次函数的图象开口向上又因为 Δ＝4a2 ＋12a＞0，所以图象不会全部落在 x 轴下方，显然不符合题意. 当 a＜0 时，二次函数 f(x)＝ax2－2ax－3 开口向下，只需满足 Δ≤0 即可， 即aΔ＜≤00，， 所以a4＜a2＋0，12a≤0，
[再练一题]
2.对于原命题：“已知 a、b、c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”，以及它的逆命
题、否命题、逆否命题，在这 4 个命题中，真命题的个数为( )
A.0 个 B.1 个
C.2 个
D.4 个
【解析】 当 c＝0 时，ac2>bc2 不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命 题也是假命题；原命题的逆命题为“若 ac2>bc2，则 a>b”是真命题，从而否命 题也是真命题，故选 C.
【答案】 C
等价命题的应用
探究 1 已知命题“若 m－1<x<m＋1，则－1<x<2”的逆否命题为真命题，
求实数 m 的取值范围. 【提示】 因为命题“若 m－1<x<m＋1，则－1<x<2”的逆否命题为真命
题，所以原命题也是真命题，则mm－ ＋11≥ ≤－ 2，1， 解得 0≤m≤1，则实数 m 的取 值范围是[0,1].
[再练一题] 3.判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集不是空集，则 a≥1”的逆否命题的真假.
【解】 法一：原命题的逆否命题： 已知 a，x 为实数，若 a＜1，则关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的 解集为空集.真假判断如下： 因为抛物线 y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2 的图象开口向上， 判别式 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7， 若 a＜1，则 4a－7＜0. 即抛物线 y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2 的图象与 x 轴无交点. 所以关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集为空集. 故原命题的逆否命题为真命题.
若q,则p
若﹁p，则﹁q
若﹁q，则﹁p
2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________.
【答案】 (1)相同 (2)没有关系
四种命题的概念
把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、 否命题和逆否命题.
(2)原命题：若 x>3，则 x2－4x＋3>0； 逆命题：若 x2－4x＋3>0，则 x>3； 否命题：若 x≤3，则 x2－4x＋3≤0； 逆否命题：若 x2－4x＋3≤0，则 x≤3. (3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分； 逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形； 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分； 逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形.
所以a－＜30≤，a≤0， 所以－3≤a＜0. 综上所述，a 的取值范围是－3≤a≤0.
1.解答本题时首先利用了等价转化思想，把不成立的问题转化为恒成立的问 题解决，即求对于任意 x∈R，ax2－2ax－3≤0 恒成立时的 a 的范围.在解题过程 中还利用了分类讨论的思想.
2.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难， 这时可以转化为判断它的逆否命题.