课件2：6.3 平面向量线性运算的应用

解：以力的作用点 O 为原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴建立平面直角坐标系，将 F1，F2 分别分解为水平方向和竖直 方向上的力 F1x，F1y，F2x，F2y，如图所示，
所以 F1x＋F1y＝F1，F2x＋F2y＝F2.则由受力平衡知物体在水平方 向和竖直方向上所受的合力分别为 0，得
的值为( )
A．－1
B．1
C．2
D．－1 或 2
解析：选 D.由1－1 m＝－m2 ，得 m＝－1 或 m＝2，故选 D.
已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于
某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 f4，则 f4 等于( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
(2)证明：如图，由题得， D→A＝D→O＋O→A＝－12O→B＋O→A＝ 12(2O→A－O→B)．
结合(1)知，D→A＝12O→C，所以D→A∥O→C，即 DA∥OC， 故四边形 OCAD 是梯形．
【规律方法】 用向量方法解决平面几何问题的步骤
【跟踪训练】如图，在直角梯形 ABCD 中，D→C＝14A→B，B→E＝2E→C， 且A→E＝rA→B＋sA→D，则 2r＋3s＝( )
2．向量方法解决物理问题的步骤 (1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题． (2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获取，求出数学模型的相关解． (4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数学结果去 解释一些物理现象．
【基础自测】
已知向量 a＝(－2，m)与向量 b＝(1－m，1)平行，则实数 m
FF11xy＝＋F－2yF＝2x，－G，所以||FF11||scions
α＝|F2|sin β α＋|F2|cos β＝|G|，
|F1|＝
解得
cos
|G| α＋sinsαincoβs
β，
|F2|＝ cos
|G| β＋sinsβincoαs
α.
两根绳子的拉力 F1，F2 的大小分别为
cos
|G| α＋sinsαincoβs
如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N； 若用坐标表示合力 F，则 F＝________.
解析：由图可知 F1＝(2，3)，F2＝(3，1)，则合力 F＝F1＋F2＝(2，3)＋(3，1)＝(5，4)，所以|F|＝ 52＋42＝ 41. 答案： P(x，y)，则O→P＝(x，y)， O→B＝(4，4)，A→P＝(x－4，y－0)＝(x－4，y)， A→C＝(2－4，6－0)＝(－2，6)， 由O→P与O→B共线得 4x－4y＝0①， 由A→P与A→C共线得 6(x－4)－(－2)y＝0②， 联立①②，解得 x＝3，y＝3，即点 P 的坐标为(3，3)． 答案：(3，3)
本课结束
更多精彩内容请登录：
探究点三 向量在物理中的应用(力) 【例 3】如图，一物体受到两个大小均为 60 N 的力的作用，两 力的夹角为 60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向．
【解】 以O→A，O→B为邻边作平行四边形 OACB，则O→C即为合力．
由已知可得△OAC 为等腰三角形，且∠COA＝30°， 过 A 作 AD⊥OC 于点 D，则在 Rt△OAD 中， |O→D|＝|O→A|·cos 30°＝60× 23＝30 3，故|O→C|＝2|O→D|＝60 3， 即合力的大小为 60 3 N，方向与水平方向成 30°角．
探究点一 向量在平面几何中的应用 【例 1】已知 O，A，B 是平面上不共线的三点，直线 AB 上有 一点 C，满足 2A→C＋C→B＝0. (1)用O→A，O→B表示O→C； (2)若点 D 是 OB 的中点，证明四边形 OCAD 是梯形． 【解】 (1)因为 2A→C＋C→B＝0，所以 2(O→C－O→A)＋(O→B－O→C)＝0， 2O→C－2O→A＋O→B－O→C＝0，所以O→C＝2O→A－O→B.
【规律方法】 用向量方法解决物理问题的步骤 (1)转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化为向 量问题的模型． (2)运算：通过向量的运算使问题得以解决． (3)还原：把结果还原为物理问题．
【跟踪训练】如图所示，若物体的重量为 G，且被两根不等长 的绳子吊起，绳子两端点 A 和 B 保持同一高度，绳子与竖直方 向的夹角分别为 α 和 β，试求拉力 F1，F2 的大小．
所以xy－ －11＝ ＝80， ，所以yx＝＝19，，所以终点坐标为(9，1)．
3．坐标平面内一只小蚂蚁以速度 v＝(1，2)从点 A(4，6)处移动 到点 B(7，12)处，其所用时间为________． 解析：设所用时间为 t，则A→B＝tv， 即(3，6)＝t(1，2)，所以 t＝3. 答案：3
【规律方法】 物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、动量及 前面的三种只需根据它们的运算特征作出几何图形，即可 利用向量求解．
【跟踪训练】已知船在静水中的速度大小为 5 m/s，且船在静水 中的速度大小大于水的速度大小，河宽为 20 m，船垂直到达对 岸用的时间为 5 s，试用向量的减法来求水流的速度大小．
6.3 平面向量线性运算的应用
考点 几何应用 物理应用
【导学聚焦】
学习目标 通过本节课学习理解向量在处 理有关平面几何问题中的优越 性并体会向量在几何和现实生 活中的意义 运用向量的有关知识(向量加减 法与向量数量积的运算法则等) 解决简单的物理问题
核心素养
数学抽象、 数学建模
数学抽象、 数学建模
2．已知作用在点 A 的三个力 f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，
且 A(1，1)，则合力 f＝f1＋f2＋f3 的终点坐标为( )
A．(9，1)
B．(1，9)
C．(9，0)
D．(0，9)
解析：选 A.f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设终点为 B(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8，0)，
A．1 C．3
B．2 D．4
解析：选 C.根据图形由题意可得 A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋23B→C＝A→B＋23(B→A＋A→D＋D→C) ＝13A→B＋23(A→D＋D→C)＝13A→B＋23(A→D＋14A→B)＝12A→B＋23A→D. 因为A→E＝rA→B＋sA→D，所以 r＝12，s＝23，所以 2r＋3s＝1＋2＝3.
β， cos
|G| β＋sinsβincoαs
α.
【达标反馈】
1．已知点 A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以 ABCD 为顶点的四边形是( ) A．梯形 B．邻边不相等的平行四边形 C．菱形 D．两组对边均不平行的四边形 解析：选 B.因为A→D＝(8，0)，B→C＝(8，0)，所以A→D＝B→C，因 为B→A＝(4，－3)，所以|B→A|＝5，而|B→C|＝8，故为邻边不相等 的平行四边形．
解：设船在静水中的速度为 v1，水流速度为 v2，船的实际速 度为 v3，建立如图坐标系．
|v1|＝5 m/s，|v3|＝250＝4 m/s，则 v3＝(0，4)，v1＝(－3，4)， v2＝v3－v1＝(0，4)－(－3，4)＝(3，0)． 所以|v2|＝3 m/s.即水流的速度大小为 3 m/s.
如图所示，令O→A＝－a，O→B＝－2a，
由于P→O＋O→A＝P→A，故P→A＝v－a，又P→O＋O→B＝P→B，故P→B＝v－2a， 即此人的速度是原来的 2 倍时所感到的风速， 由题意得∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO， 从而△BPO 为等腰三角形，所以 PB＝PO， ∠POA＝∠APO＝45°，所以 PO＝ 2a，|v|＝ 2a km/h. 故实际吹来的风是风速为 2a km/h 的西北风．
【问题导学】
预习教材内容，思考以下问题： 1．平面向量是如何体现在几何问题中的？ 2．平面向量是如何体现在物理问题中的？
【新知初探】
1．用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题． (3)翻译：把运算结果“翻译”成几何关系．
探究点二 向量在物理中的应用(速度) 【例 2】某人骑车以 a km/h 的速度向东行驶，感到风从正北方 向吹来，而当速度为 2a km/h 时，感到风从东北方向吹来，试 求实际风速和方向． 【解】 设此人行驶速度为 a，则|a|＝a， 无风时此人感觉到风速为－a，又设实际风速为 v， 由题意知，此人所感到的从正北方向吹来的风速为(v－a)，
C．(－1，2)
D．(1，2)
解析：选 D.由物理学知识知，要使物体保持平衡，
则有－f4＝f1＋f2＋f3＝(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)＝(－1，－2)， 所以 f4＝(1，2)．故选 D.
如图，已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为________．