菲翔学校高考数学萃取精华试题1A 试题

墨达哥州易旺市菲翔学校2021高考数学
萃取精华30套〔1〕
1．一模
21．〔12分〕抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有一共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。

〔Ⅰ〕求这三条曲线的方程；
〔Ⅱ〕动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？假设存在，求出l '的方程；假设不存在，说明理由。

21．〔12分〕
解：〔Ⅰ〕设抛物线方程为()2
20y px p =>，将()1,2M 代入方程得
2p =
24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………〔1分〕
由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………〔2分〕 对于椭圆，
1222a MF MF =+=
+
=
+
(
2
2
22211321
a a
b a
c ∴=+∴==+∴=-=+∴+
= 椭圆方程为：………………………………〔4分〕
对于双曲线，1222a MF MF '=
-
=-
22221321
a a
b
c a '∴=-'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………〔6分〕
〔Ⅱ〕设
AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H
令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫
∴
⎪⎝
⎭ C ………………………………………………〔7分〕
()()(
)22
2
2
2
2111212
1132344-23246222
DH DC CH x y x a a x a a
a DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=
-+--+⎣⎦⎣
⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………〔12分〕
22．〔14分〕正项数列{}n a 中，16a =
，点(n n A a 在抛物线
21y x =+上；数列{}n b 中，点
(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上。

〔Ⅰ〕求数列{}{},n n a b 的通项公式；
〔Ⅱ〕假设()()()
n n a f n b ⎧⎪=⎨
⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，假设存在，
求出k 值；假设不存在，说明理由；
〔Ⅲ〕对任意正整数n
，不等式
1
120111111n n a b b b +≤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
成立，求正数a 的取
值范围。

22．〔14分〕
解：〔Ⅰ〕将点(n n A a 代入
21y x =+中得
()11111115:21,21
n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………〔4分〕
〔Ⅱ〕()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩
, n 为奇数, n 为偶数………………………………〔5分〕
()()
()()()()27274275421,42735
227145,2
4k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数，
舍去综上，存在唯一的符合条件。

……………………〔8分〕
〔Ⅲ〕由
1
1202111111n n
n
n a a n a b b b +-
≤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪
⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭
………………………………〔14分〕
2．三模
21.〔本小题总分值是12分〕将圆O:4y x 22
=+上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),
得到曲线C. (1)求C 的方程;
(2)设O 为坐标原点,过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点,N 为线段AB 的中点,
延长线段ON 交C 于点E. 求证:ON 2OE
=的充要条件是3|AB |= .
21．〔本小题总分值是12分〕
解:(1)设点)y ,x (P '' ,点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知⎩⎨
⎧='=',
y 2y ,
x x ………………(2分)
又,4y x 2
2
='+'∴1y 4
x 4y 4x 22
2
2
=+⇒=+.
所以,点M 的轨迹C 的方程为1y 4
x 22
=+.………………(4分)
(2)设点)y ,x (A 11 ,)y ,x (B 22 ,点N 的坐标为)y ,x (00 , ㈠当直线l 与x 轴重合时,线段AB 的中点N 就是原点O,不合题意,舍去;………………(5分) ㈡设直线l :,3my x
+=
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=4
y 4x 3my x 22消去x,
得01my 32y )4m
(22
=-++………………①
∴,4
m m
3y 2
+-
=………………(6分) ∴4
m 3
44m 34m 34m m 33my x 2222200+=
++++-=+=, ∴点N 的坐标为)4
m m 3,4m 34(
2
2+-+ .………………(8分) ①假设OE ON 2=,坐标为,那么点E 的为)4
m m
32,4m 38(
22+-+ ,由点E 在曲线C 上,
得1)4m (m 12)4m (482
22
22=+++,即,032m 4m 24=--∴4m (8m 22-== 舍去). 由方程①得,14
m 1m 44m 16m 4m 12|y y |2
222221=++=+++=- 又|,)y y (m ||my my ||x x |
212121-=-=-
∴3|y y |1m |AB |212=-+=
.………………(10分)
②假设3|AB |= ,由①得,34
m )
1m (42
2=++∴ .8m 2= ∴点N 的坐标为)66,33(
± ,射线ON 方程为:)0x (x 2
2y >±= , 由⎪⎩⎪⎨⎧=+>±=4y 4x )0x (x 22y 22 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧±==36
y 3
32x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴OE
ON 2=.
综上,OE
ON 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分)
22.〔本小题总分值是14分〕函数241
)
x (f x
+=
)R x (∈. (1)试证函数)x (f 的图象关于点)4
1
,21( 对称;
(2)假设数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()m
n
(f a n =∈=+,求数列}a {n 的前
m
项和;S m
(3)设数列}b {n 满足:3
1b 1
=
,n 2
n 1n b b b +=+. 设1
b 1
1b 11b 1T n 21n
++
++++=
. 假设(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n,n n T S <恒成立,试求m 的最大值.
22．〔本小题总分值是14分〕
解:(1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点,其关于点)4
1
,21(
的对称点为)y ,x (P . 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+412
y y 21
2x x 00得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.y 21y ,x 1x 00 所以,点P 的坐标为P )y 2
1
,x 1(00-- .………………(2分) 由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上,得2
41
y 0
x 0+=.
∵,)
24(244244241)
x 1(f 0
000
x x x x x 10+=⋅+=+=
-- =+-=-24121y 210x 0,)24(240
0x x +∴点P )y 2
1
,x 1(00-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)4
1
,21( 对称.………………(4分) (2)由(1)可知,21)x 1(f )x (f =-+,所以)1m k 1(2
1
)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ ,
即,2
1a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分)
由m 1m 321m a a a a a S +++++=- ,………………① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m
+++++=--- ………………②
由①＋②,得,6
1
2m 61221m a 221)1m (S 2m m -=⨯+-=+⨯
-= ∴).1m 3(121
S m
-=
………………(8分) (3)∵,3
1b 1=)1b (b b b b n n n 2
n 1n +=+=+,………………③
∴对任意的0b ,N n n
>∈+ .………………④
由③、④,得
,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1
n +-=+=
+即1
n n n b 1
b 11b 1+-
=+. ∴1
n 1n 11n n 3221n
b 13b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(
T +++-=-=-++-+-= .……………(10分)
∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1
n >∴>=-++
∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增.当2n ≥,且+∈N n 时,2n T T ≥.
∵,81
52)194(94b ,94)131(31b ,31b 321
=+==+== ∴.52
75
b 13T T 12n
=-
=≥………………(12分) ∴,5275S m
<
即,5275)1m 3(121<-∴,39
4639238m =<∴m 的最大值为6.……………(14分) 3．预测
21．〔12分〕E 、F 是椭圆2
224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交
椭圆于
A 、
B 两点。

（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小；
（3） 求EPF ∠的最大值。

21．〔1〕22
41
28
2AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩ 〔2〕
因4
84
AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨
+=⎪⎩，
那么
5.AF BF +=
（1）
设)(0)P t t >()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠
(1=-÷+==≤，
当t =
30tan EPF EPF ∠=
⇒∠
= 22．〔14分〕数列{}n a 中，11
3a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2221n n n
S a S =-，
（2） 求n S 的表达式及2
lim
n
n n
a S →∞的值；
（3） 求数列{}n a 的通项公式； （4）
设n b =
n N ∈且2n ≥
时，n n a b <。

22．〔1〕21111
211
22(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=⇒-=⇒-=≥-
所以1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是等差数列。

那么1
21n S n =+。

222lim
lim 2212lim 1n n n n n
n n a S S S →∞→∞→∞
===---。

〔2〕当2n ≥
时，12
112
212141
n n n a S S n n n --=-=
-=+--， 综上，()()21
13
2214n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩。

〔3
〕令a
b =
=
，当2n ≥
时，有0b a <<≤1〕 法1：等价于求证
1
1
21
21
n n >-+
当2n
≥
时，0<
≤
令()23,0f x x x x =-<≤ (
)233232(1)2(12(1022f x x x x x x x '=-=-≥-=>，
那么
()
f x 在递增。

又0<
<≤
所以g g <即n n a b <。

法〔2〕223311()2121n
n a b b a b a n n -=
---=---+- 22()()a b a b ab a b =-++--〔2〕 ()[(1)(1)]22
b a
a b a a b b =-+-++-〔3〕
因3111110222a b a b a +
-<+-<-<=-< 所以(1)(1)022
b a
a a
b b +
-++-< 由〔1〕〔3〕〔4〕知n n a b <。

法3：令()22g b a b ab a b =++--，那么()12102
a
g b b a b -'=+-=⇒=
所以()()(){}{}220,,32g
b max g g a max a a a a ≤=--
因0a <
≤
那么()210a a a a -=-< 所以()220g
b a b ab a b =++--<〔5〕
由〔1〕〔2〕〔5〕知n
n a b <。