江苏省启东中学高三数学适应性考试 苏教版 新课标

启东中学2009/2010学年度高三年级适应性考试数 学 试 题
(总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸
的指定位置上.
1．已知复数2z i =，则
13i
z
+的虚部为 ▲ . 2．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为5:3:2的A 、B 、C 三所高校中，用分层抽样方
法抽取n 名志愿者，若在A 高校恰好抽出了6名志愿者，那么n = ▲ .
3．若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ . 4．已知向量()()2,1,3,a b λ==，若()
2a b b -⊥，则λ= ▲ .
5．已知集合π,,089n A n Z n αα⎧⎫
==∈≤≤⎨⎬⎩⎭
，若从A 中任取一个元素作为直线l 的倾斜角，则
直线l 的斜率小于零的概率是 ▲ .
6．在等比数列{}n a 中，若22a =-，632a =-，则4a = ▲ .
7．已知函数2sin cos 122()2tan 2cos 1
2
x x f x x x =+
-，则()8f π的值为 ▲ . 8．按如图所示的流程图运算，则输出的S = ▲ .
9．由“若直角三角形两直角边的长分别为,a b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径
为
r . 对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为,,a b c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球半径为R = ▲ .
10．已知,,A B F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的上、下顶点和右焦点，直线AF 与椭圆的
右准线交于点M ，若直线MB ∥x 轴，则该椭圆的离心率e = ▲ .
11．已知数列{}n a 满足2
21221,2,(1cos
)sin 22
n n n n a a a a ππ+===++，则该数列的前20项的和为 ▲ .
12．已知直线10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆C 上，且有
OM OA OB =+（O 为坐标原点），则实数k = ▲ .
13．若,,0a b c >，且2
4a ab ac bc +++=，则2a b c ++的最小值为 ▲ .
14．设0a >，函数2
(),()ln a f x x g x x x x
=+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请
把答案写在答题纸的指定区域内.
第8题
15．(本小题满分14分)
如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，1111AC B D ⊥，,E F 分别是,AB BC 的中点.
（Ⅰ）求证：//EF 平面11A BC ； （Ⅱ）求证：平面11D DBB ⊥平面11A BC .
16．(本小题满分14分)
设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足
(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=.
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若b =AB CB ⋅的最小值.
17．(本小题满分14分)
设数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，数列{}n b 满足*()n
n n a b m N a m
=
∈+.
（Ⅰ）若128,,b b b 成等比数列，试求m 的值；
（Ⅱ）是否存在m ，使得数列{}n b 中存在某项t b 满足*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由.
A 1
B 1
1
A
B
C D 1
D
E
F 第15题
18．(本小题满分16分)
某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示. 其上部分是以AB 为直径的半圆，点O 为圆心，下部分是以AB 为斜边的等腰直角三角形，
,DE DF 是两根支杆，其中2AB =米，2(0)4
EOA FOB x x π
∠=∠=<<
. 现在弧EF 、
线段DE 与线段DF 上装彩灯，在弧AE 、弧BF 、线段AD 与线段BD 上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k ，节能灯的比例系数为(0)k k >，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的
和.
（Ⅰ）试将y 表示为x 的函数；
（Ⅱ）试确定当x 取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？
19．(本小题满分16分)
已知椭圆C ：22
12
x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任一点，
⊙M 是以2PF 为直径的圆.
（Ⅰ）当⊙M 的面积为8
π
时，求PA 所在直线的方程；
（Ⅱ）当⊙M 与直线1AF 相切时，求⊙M 的方程；
（Ⅲ）求证：⊙M 总与某个定圆相切.
D
第18题
第19题
20．(本小题满分16分)
已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．
（Ⅰ）若|()|()f x g x =有两个不同的解，求a 的值；
（Ⅱ）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）求()|()|()h x f x g x =+在[2,2]-上的最大值.
启东中学2009/2010学年度高三年级适应性考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.1
2
-
2.30
3.13a -≤≤
4.3或1-
5.49
6.8-
7.8.20
2
11.2101 12.0 13.4 14.a ≥二、解答题：本大题共6小题，计90分. 15．解：（Ⅰ）连接AC ，则AC ∥11AC ，而,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF ∥AC ，
则EF ∥11AC ，故//EF 平面11A BC ………………………………………………………7分
·
（Ⅱ）因为1BB ⊥平面1111A B C D ，所以111BB AC ⊥，又1111AC B D ⊥，
则11AC ⊥平面11D DBB ………………………………………………………………12分 又11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11D DBB ⊥平面11A BC …………………………14分 16．解：（Ⅰ）因为(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=，所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=，
即(2)cos cos 0a c B b C ++=，则(2s i n
s i n )c o s s i n c o s 0A C B B C ++= …………4分
所以2sin cos sin()0A B C B ++=，即1
cos 2
B =-，所以23B π=………………8分
（Ⅱ）因为22222cos 3
b a
c ac π=+-，所以22
123a c ac ac =++≥，即4ac ≤…12分
所以AB CB ⋅=21
cos 232
ac ac π=-≥-，即AB CB ⋅的最小值为2-………………14分 17．解：（Ⅰ）因为2n S n =，所以当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-………………3分
又当1n =时，111a S ==，适合上式，所以21n a n =-（*
n N ∈）…………………4分
所以2121n n b n m -=
-+，则1281315
,,1315b b b m m m ===+++，由2218b b b =，
得23115()3115m m m
=⨯+++，解得0m =（舍）或9m =，所以9m =…………7分 （Ⅱ）假设存在m ，使得*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列，即412t b b b =+，则
712127121t m m t m -⨯=+++-+，化简得3675
t m =+-………………………………12分
所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m -=时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t =适合题意， 即存在这样m ，且符合题意的m 共有9个 ……………………………………14分 18．解：（Ⅰ）因为2EOA FOB x ∠=∠=,所以弧EF 、AE 、BF 的长分别为4,2,2x x x π-
3分 连接OD ，则由OD=OE=OF=1，22
FOD EOD x π
∠=∠=+，所以
n 2(s i n
c o s )D E D F x x x =+…………6分
所以2cos )4)4)y k x x x k x π=++-+
2cos )2)k x x x π=+-…………………………………9分
（Ⅱ）因为由4sin )1)0y k x x '=--=…………………………………11分 解得1
cos()4
2
x π
+=
，即12x π= …………………………………………13分
又当(0,)12
x π
∈时，0y '>，所以此时y 在(0,
)12
π
上单调递增；
当(
,)124
x ππ∈时，0y '<，所以此时y 在(,)124ππ
上单调递减.
故当12
x π
=
时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 …………………16分
19．解：（Ⅰ）易得())1,0(),0,1(,0,121--A F F ，设点P ()11,y x ，
则2
12
12
12
1
2
12
2)2(2
121)1()1(-=-+-=+-=x x x y x PF ，所以12222x PF -=…3分
又⊙M 的面积为
8π，∴2
1)2(88-=x ππ，解得11=x ，∴)2
2,1()22,1(-或P ， ∴PA 所在直线方程为1)221(-+=x y 或1)2
2
1(--=x y ………………5分
（Ⅱ）因为直线1
AF 的方程为01=++y x ，且)2
,21(11y x M +到直线1AF 的 距离为11142222
|
1221|x y x -=+++………………………………7分 化简，得1121x y --=，联立方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=1
2
2121211
1y x x y ，解得01=x 或981-=x …10分 ∴当01=x 时，可得)21,21(-M ，∴⊙M 的方程为2
1
)21()21(22=++-y x ；
当98
1-=x 时，可得17(,)1818
M ，∴⊙M 的方程为2217169()()1818162x y -+-=…12分
（Ⅲ）⊙M 始终和以原点为圆心，半径为=1r 2（长半轴）的圆（记作⊙O ）相切13分
证明：因为=++=44)1(2121y x OM 12
1214
2
228414)1(x x x +=-++，
又⊙M 的半径=2r =2MF 14
2
22x -，∴21r r OM -=，∴⊙M 和⊙O 相内切 (16)
分
（说明：结合椭圆定义用几何方法证明亦可）
20．解：（Ⅰ）方程|()|()f x g x =，即2
|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|1|x a += “有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1” ……3分
结合图形，得0a =或2a =……………………………………………………5分
（Ⅱ）不等式()()f x g x ≥对x R ∈恒成立，即2
(1)|1|x a x -≥-（*）对x R ∈恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a R ∈ ……………………………………6分
②当x ≠1时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21(1)1()(1)(1)
|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨
-+<-⎩， 因为当x>1时，()2x ϕ>；而当x<1时，()2x ϕ>-.
所以()2g x >-，故此时2a ≤-……………………………………………9分 综合①②，得所求a 的取值范围是2a ≤- ……………………………10分
（Ⅲ）因为2
()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221(1)1(11)1(1)x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--≥⎪--++-≤<⎨⎪-+-<-⎩
,
① 当1,22
a
a >>即时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增， 且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，此时h(x)在[-2，2]上的最大值为33a + (11)
分
② 当01,22
a
a ≤
≤≤≤即0时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，[,1]2a -上递减，
在[1,]2a --，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，2
()124
a a h a -=
++， 经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为33a +……………………12分
③ 当10,02
a
a -≤<≤<即-2时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，[,1]2a -上递减，
在[1,]2a --，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，2
()124
a a h a -=
++， 经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为3a +………………………13分
④ 当31,222
a
a -≤<-≤<-即-3时，结合图形可知h(x)在[2,]2a -，[1,]2a -上递减，
在[,1]2
a
，[,2]2a -上递增，且h(-2)=3a+30<, h(2)=a+30≥，
经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为3a +………………………14分 ⑤ 当3
,322
a a <-<-即时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为h(1)=0………………………………15分
综上所述，当0a ≥时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为33a +； 当30a -≤<时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为3a +；
当3a <-时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为0…………………………………16分
数学附加题部分
21．A 、解：证明：连结EF ，∵B C F E ,,,四点共圆，∴ABC EFD ∠=∠……………2分
∵AD ∥BC ，∴BAD ABC ∠+∠=180°，∴BAD EFD ∠+∠=180° …………6分 ∴A D F E ,,,四点共圆…………8分
∵ED 交AF 于点G ，∴AG GF DG GE ⋅=⋅……10分
B.解：设m n M
p q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦22m n p q -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦…………5分
则222435
m n p q =⎧⎪-=⎪⎨
=⎪⎪-=⎩12
3
5
m n p q =⎧⎪=-⎪
⇒⎨=⎪⎪=-⎩，即1235M -⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦…………………………………10分 C.解：由
，得
………2分
又因为2cos()cos 3
π
ρθθθ=+
=，
所以，2cos sin ρρθθ=，
……………………4分
由
，得
………8分，
则AB =
D. 解：
因为22y =
≤22[1][12]33x x +-++=⨯.........6分 ∴ y ≤3 (8)
=
时取“=”号，即当0x =时，max 3y =…10分
22.解：（Ⅰ）根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 的方程为2x y =…………4分
（Ⅱ）证明：设221122(,),(,)A x x B x x ， ∵2y x =， ∴ 2y x '=，∴ ,AN BN 的斜率
分别
为122,2x x ，故AN 的方程为21112()y x x x x -=-，BN 的方程为2
2222()y x x x x -=- …
7分
即2
11
2
22
22y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，两式相减，得122x x x +=， ∴ ,M N 的横坐标相等，于是MN x ⊥轴…………………………10分
23.解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为1
2
P =，所以正面向上的次数为奇数次的概率为
151515
(1)(3)(15)P P P P =+++111143312155
151515111111()()()()()222222
C C C =+++= …3分 故112P P =-=21
……………………………………………………5分 （Ⅱ）因为111433121515
151515(1)(1)P C p p C p p C p =-+-+
+1， 001522131414
1151515(1)(1)(1)P C p p C p p C p p =-+-++-2…………………………7分
则
001511142213
151515(1)(1)(1)P P C p p C p p C p p -=---+-211414115151515(1)C p p C p +
+-- 1515[(1)](12)p p p =--=-，而1
02
p <<，∴ 120p ->，∴ P P >21………10分。