高中河北省衡水市武邑县武邑中学高一上学期期中数学试题

河北省衡水市武邑县武邑中学【精品】高一上学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集U =R ,集合{}{}2|log 2,|(3)(1)0A x x B x x x =≤=-+≥则U C B A （ ）
A ．(,1]-∞-
B ．{}
|103x x x ≤-<<或 C ．[0,3)
D ．(0,3)
2．已知0a >
=( )
A ．
12
a
B ．
32
a
C ．
23
a
D ．
13
a
3．在映射:f A B →中，(){},|,A B x y x y R ==
∈，且()():,,f x y x y x y →-+，
则A 中的元素()1,2-在集合B 中的象为（ ） A ．()3,1-
B ．()1,3--
C ．()1,3
D ．()3,1
4．今有一组实验数据如下表所示：
则最佳体现这些数据关系的函数模型是（ ） A ．2log u t =
B ．22t
u =-
C ．21
2
t u -=
D ．22u t =-
5．一个偶函数定义在[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A ．这个函数仅有一个单调增区间
B ．这个函数有两个单调减区间
C ．这个函数在其定义域内有最大值是7
D ．这个函数在其定义域内有最小值是－7
6．设{}1,1,2,3a ∈-，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3
B ．1-，1
C ．1-，3
D ．1-，1，3
7．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2ln c =a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >>
D ．c b a >>
8．已知函数()f x 在[3,)+∞上单调递减，且(3)f x +是偶函数，则 1.1(0.3)a f =，
0.5(3)b f =，(0)c f =的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．b a c >>
9．当x ∈R 时，函数()()01x
f x a a a =>≠且满足()1f x ≤，
则函数()log 1a y x =+的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数()f x =()log 01?a x a a >≠且满足()()12f a f a +>+则
()
220f x x ->的解集是
A ．()1,0,12∞⎛⎫
-⋃
⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．11,0,122⎛⎫⎛⎫
-
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()1,1,2∞∞⎛⎫
--
⋃+ ⎪⎝⎭
11．设x ，y 为实数，且满足{(y −1)3+2018(y −1)
=5(x−1)3+2018(x−1)=−5
，则x +y =（ ）
A ．2
B ．5
C ．10
D ．2018
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其命名的“高斯函数”为：设,x R ∈用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数
1
()-12
x x e f x e =+，则函数[()]y f x =的值域为（ ）
A ．{0,1}
B ．{0}
C ．{-1,0}
D ．{-1,0,1}
二、填空题 13．已知()2x
f e
x =+，则()1f =______.
14．已知函数()3f x x =在区间[]2,4上的最大值为_____________．
15．若函数()
f x =
的定义域为R ，则实数m 取值范围是______.
16．．如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12,x x ，当12x x <时,都有
12()()f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12,m m ,使得12()()f m f m =,就称()
f x 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()
g x 的定义域、值域分别为A 、B ，
{}1,2,3A =,B A ⊆, 且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 共有
____个．
三、解答题
17．已知集合{}|44A x a x a =-+<<+，{|1B x x =≤-或}5x >. （1）若1a =，求A B ；
（2）若A
B R =，求a 的取值范围.
18．有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100
x v x =
-，单位是/min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 为表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据：
lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）
（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？
（2）若雄鸟的飞行速度为2.5/min km ，雌鸟的飞行速度为1.5/min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？
19．已知函数()3x
f x =，且()218f a +=，()34ax
x
g x =-的定义域为[]1,1-.
（1）求3a 的值及函数()g x 的解析式；
（2）若方程()g x m =有解，求实数m 的取值范围. 20．已知奇函数()()()
1m g x f x g x -=+的定义域为R ，其中()g x 为指数函数且()g x 的反
函数过点()9,2.
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）判断函数()f x 的单调性，并用函数单调性定义证明. 21．已知函数()()
()2
log 90,1a f x x ax a a =-+->≠.
（1）当10a =时，求()f x 的值域；
（2）若()f x 存在单调递增区间，求a 的取值范围. 22．已知函数()2
2f x x x a =--.
（1）若1
2
a =
，求函数()y f x =的单调递增区间； （2）当0a >时，若对任意的[)0,x ∈+∞，不等式()()12f x f x -≤恒成立，求实数
a 的取值范围.
参考答案
1．D 【分析】
根据题意，先求出集合A ，B ，进而求出B 的补集，进而根据交集的定义，可得答案． 【详解】 解：
集合(]2{|12}0,4A x og x ==， (]
[){|(3)(1)0},13,B x x x =-+=-∞-+∞，
()1,3U B ∴=-， ()
()0,3U B A ∴=，
故选：D ． 【点睛】
本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义，属于基础题． 2．D 【分析】
由指数幂运算即可求解 【详解】
23
a =
2113
3
23
a
a a a -
===.
故选D. 【点睛】
本题考查指数幂运算，熟记运算性质是关键，注意运算的准确，是基础题 3．A 【解析】
试题分析：由题意，对应关系为()():,,f x y x y x y →-+，故A 中的元素()1,2-在集合
B 中的象为()3,1-
考点：映射，象与原象 4．C 【解析】
21.99
2 1.991
1.99,log 1.991,2
22, 1.5,2 1.992 1.98;2
t -=≈-≈≈⨯-=
23
231
3.0.log 3 1.6,226,4,2324;2
t -=≈-==⨯-=
24
241
4.log 42,2214,7.5,2426;2
t -==-==⨯-=
25.1
2(5.1)1
5.1.log 5.13,2230,12,2 5.128.2;2
t -=-≈⨯-=
故选C 5．C 【分析】
由偶函数的对称性依次可判断单调性及最值. 【详解】
结合偶函数图象关于y 轴对称可知，这个函数在[－7，7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少． 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了偶函数的图像特征，属于基础题. 6．A 【分析】
根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】
当1a =-时，1
1
y x
x
-==
，为奇函数，但值域为{}0x x ≠，不满足条件. 当1a =时，y x =，为奇函数，值域为R ，满足条件. 当2a =时，2y
x 为偶函数，值域为{}0x x ≥，不满足条件.
当3a =时，3
y x =为奇函数，值域为R ，满足条件. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题．
7．C 【分析】
根据3log y x =的单调性判断,a b 的大小关系，由1a c <<判断出三者的大小关系. 【详解】
由3log 1a e =<，335
log log 2
b a e =<=，ln31
c =>，则c a b >>.故选C. 【点睛】
本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题. 8．D 【分析】
先根据条件得到()f x 的图象关于直线3x =对称，且在(]
,3-∞上单调递增，然后通过比较
1.10.50,0.3,3到对称轴距离的大小可得所求结果．
【详解】
由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =， 所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称． 又函数()f x 在[
)3,+∞上单调递减， 所以函数()f x 在(]
,3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<， 所以()(
)()1.1
0.5
00.33f f f <<，即b a c >>．
故选D ． 【点睛】
比较函数值大小的常用方法：（1）将自变量转化到同一单调区间上，然后根据函数的单调性进行比较；（2）对于图象有对称轴的函数来讲，可将函数值的大小问题转化为自变量到对称轴的距离的大小的问题求解． 9．C 【解析】
试题分析：由函数||()x f x a =（0a >且1a ≠）满足()1f x ≤01a ⇒<<，故
的图象应是C 图，故选C ． 考点：函数的图象． 10．C 【详解】
因为函数()()log 01?a f x x a a =>≠且满足()()12f a f a +>+,所以0a < 1<,则函数
()log (01)a f x x a =<<是减函数,所以()220f x x ->可化为2021x x <-<,求解可得102
x -<<或 1
12x <<,故选C.
11．A 【解析】 【分析】
由题意可设f(x)=x 3+2018x ，由导数判断单调性，由奇偶性的定义判断f(x)为奇函数，可得f(y −1)=−f(x −1)=f(1−x)，由单调性可得x ，y 的和． 【详解】
由题意可设f(x)=x 3+2018x ， 可得导数f′(x)=3x 2+2018>0， 即f(x)为R 上的增函数；
又f(−x)=−x 3−2018x =−f(x)， 即f(x)为奇函数，
{(y −1)3+2018(y −1)=5(x−1)3+2018(x−1)=−5
，可得
(y −1)3+2018(y −1)=−[(x −1)3+2018(x −1)]， 可得f(y −1)=−f(x −1)=f(1−x)， 由f(x)在R 上递增，可得y −1=1−x ， 即有x +y =2． 故选：A ． 【点睛】
本题考查函数方程的转化思想，构造函数判断奇偶性和单调性是解题的关键，属于中档题． 12．C 【分析】
由题意首先确定函数()f x 的值域，然后求解函数()f x ⎡⎤⎣⎦的值域即可. 【详解】
函数的解析式()111111
121221
x x x x x
e e
f x e e e +-=-=-=-+++， 由于0x e >，故()1111,2122x f x e ⎛⎫
=
-∈- ⎪+⎝⎭
， 结合函数[]
y x =的定义可得函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{-1,0}. 本题选择C 选项. 【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 13．2 【分析】
直接取0x =代入计算得到答案. 【详解】
取0x =得到()12f = 故答案为：2 【点睛】
本题考查了函数值的计算，也可以先计算出函数解析式再求值. 14．-4 【解析】
试题分析：由题意，得()63f x x x =--在
上为减函数，则在[]
2,4也为减函数；
所以当
时，
.
考点：函数的单调性与最值. 15．[)0,8
【分析】
题目等价于220mx mx -+>恒成立，讨论0m =和0m ≠两种情况，计算得到答案. 【详解】 函数()
f x =
的定义域为R ，即220mx mx -+>恒成立.
当0m =时，易知成立. 当0m ≠时，需满足：2
0880
m m m m >⎧∴<<⎨∆=-<⎩
综上所述：08m ≤< 故答案为：[)0,8 【点睛】
本题考查了函数的定义域，忽略掉0m =的情况是容易发生的错误. 16．9 【解析】 【分析】
由题意结合新定义的知识分类讨论满足题意的函数的个数即可. 【详解】
由不严格的增函数的定义可知函数的值域为一个数或两个数， 当值域为一个数时：
()()()1231g g g ===，()()()1232g g g ===，()()()1233g g g ===共三种情况，
当值域为两个数时：
()()()121,32g g g ===，()()()121,33g g g ===，()()()122,33g g g ===， ()()()11,232g g g ===，()()()11,233g g g ===，()()()12,233g g g ===，
综上可得，函数()g x 共有9个. 【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查
的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
17．（1）A ∩B ＝{x |﹣3＜x ≤﹣1}（2）（1，3]． 【分析】
（1）首先确定A 、B ，然后根据交集定义求出即可； （2）由A ∪B ＝R ，得41
45
a a -+≤-⎧⎨+⎩＞，得1＜a ≤3．
【详解】
B ＝{x |x ≤﹣1或x ＞5}，
（1）若a ＝1，则A ＝{x |﹣3＜x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x |﹣3＜x ≤﹣1}； （2）∵A ∪B ＝R ，
∴4145a a -+≤-⎧⎨+⎩
＞，
∴1＜a ≤3，
∴实数a 的取值范围为（1，3]． 【点睛】
本题考查了交集及其运算，考查了并集运算的应用，是基础题．
18．（1）候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位（2）此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍. 【分析】
（1）将05x =，0v =代入函数，计算得到答案.
（2）根据题意得到方程组130230
12.5log lg 2100
11.5log lg 2100x x x x
⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，两式相减化简得到答案.
【详解】
（1）将05x =，0v =代入函数式可得310log lg52100
x
=
-， 即()3
log 2lg521lg 220.70 1.40100x ==⋅-=⨯=.所以 1.43 4.66100
x ==，于是466x =.
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位.
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得
130230
12.5log lg 2100
11.5log lg 2100x x x x ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
， 两式相减可得1321
1log 2x x =
，于是12
9x x =， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍. 【点睛】
本题考查了函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．（1）32a =，()24x
x
g x =-（2）12,4
m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
【分析】
（1）根据()218f a +=代入函数计算得到32a =，继而得到函数解析式.
（2）12,22x
t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，函数变换为()2
11=24
t t μ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭得到()12,4g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦计算得到答案. 【详解】
（1）()2
223
3318a a f a ++==⋅=，所以32a =，所以()()3424x
a x x x g x =-=-.
（2）()()
2
2422x x x
x g x =-=-+，令12,22x
t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，
所以()()2
21124
g x t t t t μ⎛⎫==-+=--+ ⎪⎝⎭，在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()12,4g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦，即12,4
m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】
本题考查了函数的解析式，方程的解的问题，将方程解的问题转化为函数的值域是解题的关键.
20．（1）()1313
x
x
f x -=+（2）()f x 在R 上单调递减，证明见解析 【分析】
（1）先计算()3x
g x =，再根据()00f =解得1m =，得到解析式.
（2）先判断函数单调递减，设12x x <，计算()()120f x f x ->，利用定义法得到证明. 【详解】
（1）设()x
g x a =，由()g x 的图象过点()2,9，可得29a =，∴3a =，()3x
g x =
故函数()()
()3113x x
m g x m f x g x --=
=++. 再根据()f x 为奇函数，可得()()()
01
001011
m g m f g --=
=
=++，∴()01m g ==， 即()1313x x f x -=+.检验：()()1331
1331x x x
x f x f x -----===-++，∴()f x 是奇函数. ∴()1313
x
x
f x -=+. （2）()()
2131321131313
x x x x x
f x -+-===-+++，∴()f x 在R 上单调递减. 证明：设12x x <，则12033x x <<，由于()()12
1222
1313x x f x f x -=
-++()
()()
2112
2331313x x x x -=++，12033x x <<，可得()
212330x x
->，
∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x > 故()f x 在R 上单调递减. 【点睛】
本题考查了函数的解析式，函数的单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 21．（1）(],lg16-∞（2）6a > 【分析】
（1）()()
2
lg 109f x x x =-+-，计算定义域为()1,9，得到()(]2
5160,16t x =--+∈，
代入得到值域.
（2）讨论1a >和01a <<两种情况，计算2360a ∆=->得到答案. 【详解】
（1）当10a =时，()()
2
lg 109f x x x =-+-，
设()2
2109516t x x x =-+-=--+，
由21090x x -+->，得21090x x -+<，得19x <<，即函数的定义域为()1,9， 此时()(]2
5160,16t x =--+∈，
则lg lg16y t =≤，即函数的值域为(],lg16-∞. （2）若()f x 存在单调递增区间，
则当1a >，则函数29t x ax =-+-存在单调递增区间即可， 则判别式2360a ∆=->得6a >或6a <-（舍），
当01a <<，则函数29t x ax =-+-存在单调递减区间即可，则判别式2360a ∆=->得
6a >或6a <-，此时a 不成立，
综上所述：实数a 的取值范围是6a >. 【点睛】
本题考查了函数的值域和单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误. 22．（1）函数的单调递增区间为11,2⎛⎤
- ⎥⎝⎦，[
)1,+∞（2
1
22a ≤≤
【分析】
（1）化简得到()2212121212x x x f x x x x ⎧⎛
⎫-+≥ ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨⎛⎫
⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩
，画出函数图像得到单数单调区间.
（2）化简得到()2
42121x a x a x x ---+≤+-，讨论0x a ≤≤，1a x a <≤+和
1x a >+三种情况，计算得到答案.
【详解】
（1）当12a =时，()22
212121221212x x x f x x x x x x ⎧⎛⎫
-+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=--=⎨
⎛
⎫⎪+-< ⎪⎪⎝⎭
⎩
.
画出函数图像：
由函数的图像可知，函数的单调递增区间为11,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
，[
)1,+∞.
（2）不等式()()12f x f x -≤化为()2
212124x x a x x a ----≤--，
即：()2
42121x a x a x x ---+≤+-，对任意的[)0,x ∈+∞恒成立.
因为0a >，所以分如下情况讨论：
①0x a ≤≤时，不等式化为()()2
42121x a x a x x --+-+≤+-⎡⎤⎣⎦恒成立.
即24120x x a ++-≥对[]0,x a ∀∈恒成立.
∵()2
4120g x x x a =++-≥在[]0,a 上单调递增，
只需()()min 0120g x g a ==-≥，∴1
02
a <≤
. ②当1a x a <≤+时，不等式化为()()2
42121x a x a x x -+-+≤+-⎡⎤⎣⎦恒成立， 即24160x x a -++≥对(],1x a a ∀∈+恒成立， 由①知102
a <≤
，∴()2
416h x x x a =-++在(],1a a +上单调递减， ∴只需()()2
min 1420h x h a a a =+=+-≥
，∴2a ≤-
2a ≥-，
122<
122
a ≤≤
.
③当1x a >+时，不等式化为()()2
42121x a x a x x ---+≤+-⎡⎤⎣⎦恒成立，
即2230x a +-≥对()1,x a ∀∈++∞恒成立，
()2230x x a ϕ=+-≥在()1,a ++∞上单调递增，
∴只需()()2
min 1420x a a a ϕϕ=+=+-≥，∴2a ≤-2a ≥
，
1
22
a ≤≤
，
综上所述，a 122
a ≤≤. 【点睛】
本题考查了函数的单调性，不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.。