平行与相交问题
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●
c
m
例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b cm
●
正平线
n
a a b
c
m
●
n
唯一解
例.作一直线L,与直线AB、GH相交,并与直线MN平行。
⒉
两平面平行
b
c d a c a b b d a c e d
e
f
① 若一平面上的两相交 直线对应平行于另一平 面上的两相交直线，则 这两平面相互平行。 ② 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有积 聚性的那组投影必相互 平行。
还可通过重影点判别可见性。
⑵ 直线为特殊位置
m b
k
a
●
●
c
n
1(2)
b
k● 2 m(n) ● 1
●
c
a
空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其 水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚 在该点上。 作图 用面上取点法 ① 求交点 ② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在 前；点Ⅱ位于MN上，在 后。故k 2为不可见。
f e
f
h
a c
b
d
f e
h
3.2
相交的问题
⒈ ● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。 我们先讨论直线与平面中至少有一个 处于特殊位置的情况。
例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析
kd
2
b
●
●
●
作图
1） 过MN作铅垂面PH 2） 作三角形ABC与P面的交线 n PH 3）交线KL与MN的交点D即为 所求交点
l
4）利用重影点可见性分别判断 直线投影可见性
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平 面的共有线，同时交线上的点都是两平面的 共有点。
要讨论的问题：
① 求两平面的交线 方法： 确定两平面的两个共有点。 ⑴ ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。 先讨论两平面中至少有一个处于特殊位 置的情况。
b m n
●
●
作 图
h
1(2)
a f
c
① 求交线 ② 判别可见性 点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上， 点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh 可见，n2不可见。
⑶
f m d ●
b k ● n
投影分析
●
e
a
b m● a d
●
c
f
e k
●
n c
N点的水平投影n 位于Δdef的外面，说 明点N位于ΔDEF所确 定的平面内，但不位 于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和 ΔDEF的交线应为MK。
第 三 章 几何元素的相对关系
3.1
平行的问题
一、直线与平面的平行
性质1：直线平行于平面内的一条 直线，则直线平行于该平面。 性质2：直线平行于某投影面垂直 面，则直线与该面具有积聚 性的同面投影相平行。
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？ a b
有无数解
n
c m
●
b
n a
能否不用重 能! 从正面投影上可看出， 影点判别？
b
如何判别？ 可通过正面投影 直观地进行判别。
4.求 两 平 面 的 交 线 ， 并 表 明 可 见 性 。
a) b) c)
1′(2′) 3′(4′)
2 1 4 3
⑵
b e m f ● a e
● ● ●
空间及投影分析
n 1 ● 2 c h 平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影， 故mn即MN的正面投影。
利用重影点反求交线 判断可见性
两平面相交问题——三面共点法求交线
用辅助面三面共点法求交线
求△ABC与DE、FG
两平面的交线。
取过A、E的正垂面作 辅助平面，求得三
在两平面之外另外任作一辅助平面 R，求出R与P、Q的交线，两交线
的交点就是P、Q、R的三面共点。
类似作第二个辅助平面又可求出一 个交点，两交点的连线所求两平面
面共点K；同样过
A、F作铅垂面为辅
助平面，求得交点L。
的交线。
两平面相交问题——迹线平面相交
P、Q迹线平面的交线为MN
b n
a
1(2)
●
k ●
c
m
m a
2
●
● ●
c n
平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即 为K点的水平投影。 作 图 ① 求交点 ② 判别可见性
(K应为可见与不可见部份的分界点)
k 1 b
由水平投影可知，KN段在平 面前，故正面投影上kn为 可见。
互交
平面相交问题——用辅助平面法求交线
求△ABC与cDEFG的交线KL
直线平面相交问题——换面法求交点
在平面内作水平线，做出新 投影面V1,将平面变换为投影面 垂直面 利用重影点法反求交点 判断可见性
两平面相交问题——换面法求交线
在平面DEFG内作正平线FJ， 做出新投影面H1,将平面DEFG 变换为投影面垂直面
（3） 一般情况下直线与平面的相交 空间及投影分析
n
k d l ● ● a 2(3) 1 ● b m
m a
● ●
c
3 1
●
c
●
过直线MN作铅垂面PH， 作出ABC与P面的交线KL， KL与MN的交点D即为直线 MN与ABC的交点，并利用K、 1和2、3两对重影点的可见性 帮助判断直线水平、正立投影 的可见性。
例：求两平面的交线 MN并判别可见性。
⑴
a b e ● m(n)
空间及投影分析
平面ABC与DEF都 为正垂面，它们的正面投 影都积聚成直线。交线必 为一条正垂线，只要求得 交线上的一个点便可作出 交线的投影。
f
c
d
a d
●
e
●
n
作 图
c
m f
① 求交线 ② 判别可见性 在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。
c
m
例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b cm
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正平线
n
a a b
c
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唯一解
例.作一直线L,与直线AB、GH相交,并与直线MN平行。
⒉
两平面平行
b
c d a c a b b d a c e d
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① 若一平面上的两相交 直线对应平行于另一平 面上的两相交直线，则 这两平面相互平行。 ② 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有积 聚性的那组投影必相互 平行。
还可通过重影点判别可见性。
⑵ 直线为特殊位置
m b
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1(2)
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k● 2 m(n) ● 1
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空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其 水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚 在该点上。 作图 用面上取点法 ① 求交点 ② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在 前；点Ⅱ位于MN上，在 后。故k 2为不可见。
f e
f
h
a c
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3.2
相交的问题
⒈ ● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。 我们先讨论直线与平面中至少有一个 处于特殊位置的情况。
例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析
kd
2
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●
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作图
1） 过MN作铅垂面PH 2） 作三角形ABC与P面的交线 n PH 3）交线KL与MN的交点D即为 所求交点
l
4）利用重影点可见性分别判断 直线投影可见性
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平 面的共有线，同时交线上的点都是两平面的 共有点。
要讨论的问题：
① 求两平面的交线 方法： 确定两平面的两个共有点。 ⑴ ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。 先讨论两平面中至少有一个处于特殊位 置的情况。
b m n
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作 图
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1(2)
a f
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① 求交线 ② 判别可见性 点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上， 点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh 可见，n2不可见。
⑶
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b k ● n
投影分析
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a
b m● a d
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N点的水平投影n 位于Δdef的外面，说 明点N位于ΔDEF所确 定的平面内，但不位 于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和 ΔDEF的交线应为MK。
第 三 章 几何元素的相对关系
3.1
平行的问题
一、直线与平面的平行
性质1：直线平行于平面内的一条 直线，则直线平行于该平面。 性质2：直线平行于某投影面垂直 面，则直线与该面具有积聚 性的同面投影相平行。
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？ a b
有无数解
n
c m
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b
n a
能否不用重 能! 从正面投影上可看出， 影点判别？
b
如何判别？ 可通过正面投影 直观地进行判别。
4.求 两 平 面 的 交 线 ， 并 表 明 可 见 性 。
a) b) c)
1′(2′) 3′(4′)
2 1 4 3
⑵
b e m f ● a e
● ● ●
空间及投影分析
n 1 ● 2 c h 平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影， 故mn即MN的正面投影。
利用重影点反求交线 判断可见性
两平面相交问题——三面共点法求交线
用辅助面三面共点法求交线
求△ABC与DE、FG
两平面的交线。
取过A、E的正垂面作 辅助平面，求得三
在两平面之外另外任作一辅助平面 R，求出R与P、Q的交线，两交线
的交点就是P、Q、R的三面共点。
类似作第二个辅助平面又可求出一 个交点，两交点的连线所求两平面
面共点K；同样过
A、F作铅垂面为辅
助平面，求得交点L。
的交线。
两平面相交问题——迹线平面相交
P、Q迹线平面的交线为MN
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1(2)
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k ●
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平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即 为K点的水平投影。 作 图 ① 求交点 ② 判别可见性
(K应为可见与不可见部份的分界点)
k 1 b
由水平投影可知，KN段在平 面前，故正面投影上kn为 可见。
互交
平面相交问题——用辅助平面法求交线
求△ABC与cDEFG的交线KL
直线平面相交问题——换面法求交点
在平面内作水平线，做出新 投影面V1,将平面变换为投影面 垂直面 利用重影点法反求交点 判断可见性
两平面相交问题——换面法求交线
在平面DEFG内作正平线FJ， 做出新投影面H1,将平面DEFG 变换为投影面垂直面
（3） 一般情况下直线与平面的相交 空间及投影分析
n
k d l ● ● a 2(3) 1 ● b m
m a
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3 1
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过直线MN作铅垂面PH， 作出ABC与P面的交线KL， KL与MN的交点D即为直线 MN与ABC的交点，并利用K、 1和2、3两对重影点的可见性 帮助判断直线水平、正立投影 的可见性。
例：求两平面的交线 MN并判别可见性。
⑴
a b e ● m(n)
空间及投影分析
平面ABC与DEF都 为正垂面，它们的正面投 影都积聚成直线。交线必 为一条正垂线，只要求得 交线上的一个点便可作出 交线的投影。
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作 图
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① 求交线 ② 判别可见性 在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。