[推荐学习]高中数学5.3不等式的证明5.3.4放缩法同步测控

5.3.4 放缩法
同步测控
我夯基，我达标
1.已知a=log 0.20.1,b=log 0.91.1,c=0.20.1,则a 、b 、c 的大小关系为( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.c>b>a
解析:∵a=log 0.20.1>0,
b=log 0.91.1<0,
0<c=0.20.1<1,
a=log 0.20.1>log 0.20.2=1,
∴a>c>b.
答案:B
2.当0<a<b<1时,下列不等式正确的是( ) A.b a 1)1(->(1-a)b B.(1+a)a >(1+b)b
C.(1-a)b >2)1(b a -
D.(1-a)a >(1-b)b
解析:∵0<a<1,∴0<1-a<1. ∵0<b<1,∴
b 1>1>b. ∴b a 1
)1(-<(1-a)b ,A 不成立. ∵b>2
b >0,∴(1-a)b <2)1(b
a -. ∴C 不成立.
∵1+a>1,(1+a)a <(1+a)b ,
1+b>1,而(1+a)b <(1+b)b .
∴B 不成立.
∵0<1-a<1,0<a<b<1,
∴(1-a)a >(1-a)b .
又∵1-a>1-b>0,
∴(1-a)b >(1-b)b .
∴(1-a)a >(1-b)b .∴D 成立.
答案:D 3.a=1.221,b=0.921,c=1.1的大小关系是( )
A.b<c<a
B.c<a<b
C.b<a<c
D.a<c<b
解析:a=1.12.1>>1,b=219.0<1.
∴a>c>b.
答案:A
4.下列大小关系中正确的是( )
A.0.43<30.4<log 0.43
B.0.43<log 0.43<30.4
C.log 0.43<0.43<30.4
D.log 0.43<30.4<40.3
解析:∵log 0.43<log 0.41=0,0<0.43<0.40=1,
30.4>30=1,
∴log 0.43<0.43<30.4.
答案:C
5.a=0.95.1,b=5.10.9,c=log 0.95.1,则它们的大小关系为( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.b>a>c
解析:∵0<0.9<1,而5.1>0,
∴0<0.95.1<1.
又∵0<0.9<1,而5.1>1,
∴log 0.95.1<0.
又∵5.1>1,0.9>0,∴5.10.9>1.
∴log 0.95.1<0.95.1<5.10.9.
答案:D
6.下列不等式成立的是( ) A.(-32)3<21)43(<32312)34(< B.(-32)3<21)43(<322<31)3
4( C.(-32)3<322<21)43(<31)34( D.21)43(<(-32)3<31)3
4(<322 解析:∵(-32)3<0,322=314>31)3
4(>1,0<21)43(<1, ∴(-32)3<21)43(<31)3
4(<322. 答案:A
7.设M=1
212211************-++++++ ,则( ) A.M=1 B.M<1 C.M>1 D.M 与1的大小关系不定 解析:∵M=
1212211212111101010-++++++ <=1010
112
22-=2-1=1. 答案:B
8.已知a 、b∈R +,下列各式中成立的是( )
A.cos 2θlga+sin 2θlgb<lg(a+b)
B.cos 2θlga+sin 2θlgb>lg(a+b)
C.θθ22sin cos b
a =a+
b D.θθ22sin cos b a >a+b 解析:cos 2θlga+sin 2θlgb<cos 2θlg(a+b)+sin 2θlg(a+b)=lg(a+b).
答案:A
我综合，我发展
9.设长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的长,宽,高分别为AB=a,AD=b,AA 1=c 且
则从顶点A 沿
着表面到达顶点C 1的最短距离为________________.
解析:将面A 1B 1C 1D 1与面AA 1D 1D 折到一个平面上,则AC 1=22)(c a b ++,
将面BB 1C 1C 与面AA 1B 1B 折到一个平面上,则
AC 1=22)(b a c ++,
将面A 1B 1C 1D 1与面AA 1B 1B 折到一个平面上,则
AC 1=22)(c b a ++.
∵a>b>c>0,
∴c 2+(a+b)2=a 2+b 2+c 2+2ab
>b 2+(a+c)2=a 2+b 2+c 2+2ac
>a 2+(b+c)2=a 2+b 2+c 2+2bc, 即222222)()()(c b a c a b b a c ++>++>
++. ∴最短距离为22)(c b a ++.
答案:22)(c b a ++
10.若x 、y 满足y=x 2,则log 2(2x +2y )-
87的符号为________________. 解析:∵2x +2y ≥222
222222+++=∙=∙y x y x y x ,
∴log 2(2x +2y )≥log 2.222
22++=++y x y x ∴log 2(2x +2y )-
87≥21(x+y)+81,当且仅当x=y 时取“=”. ∵y=x 2≥0,∴
21(x+y)≥0. ∴21(x+y)+8
1>0. 答案:“+”
11.在区间［21,2］上,函数f(x)=x 2+bx+c(b 、c∈R )与g(x)=x
x x 12++在同一点取得最小
值,那么f(x)在区间［2
1,2］上的最大值为________________. 解析:∵g(x)=x
x x 12++=x+x 1+1, x∈［
2
1,2］, ∴g(x)=x+x 1+1≥3,当且仅当x=1时取“=”. ∴当x=1时,g(x)min =3.
∴f(x)min =f(1)=3,即f(x)=x 2+bx+c 的顶点为(1,3).∴b=-2,c=4.
∴f(x)=x 2-2x+4在［2
1,1］上单调递减,在［1,2］上单调递增. ∴当x=2时,f(x)max =4.
答案:4
12.设a 、b 、c∈R +,求证:c b a 212121++≥.111b
a a c c
b +++++ 分析:观察不等式的结构,左边为三项和,右边为三项和,可联想基本不等式.
证明:∵a、b 、c∈R +, ∴b a 2121+≥2.12121ab
b a =∙ 又∵a+b≥2ab , ∴ab 1≥b
a +2. ∴
a 21+
b 21≥b
a +2. 同理可证
b 21+
c 21≥c b +2,a c 2121+≥c
a +2. ∴(a 21+
b 21+
c 21)×2≥b a +2+c b +2+a
c +2. ∴a 21+b 21+c 21≥b a +1+c b +1+a
c +1成立. 13.已知｜x ｜<3ε,｜y ｜<6ε,｜z ｜<9ε,求证:｜x+2y-3z ｜<ε. 分析:利用｜a+b+c ｜≤｜a ｜+｜b ｜+｜c ｜进行放缩.
证明:∵｜x ｜<
3ε,｜y ｜<6ε,｜z ｜<9
ε, ∴｜x+2y-3z ｜≤｜x ｜+2｜y ｜+3｜z ｜<3ε+2×6ε+3×9ε=ε. ∴原不等式成立.
我创新，我超越
14.已知a 、b 、c>0且a 2+b 2=c 2,求证:a n +b n <c n (n≥3且n∈R +).
分析:本不等式为指数幂的运算,其放大(缩小)可根据底数与1比较大小来判定.而条件a 2+b 2=c 2中若两边同除以c 2,得(
c a )2+(c b )2=1出现1,并且比较出c a ,c b 与1的大小. 证明:∵a 2+b 2=c 2, ∴(c a )2+(c
b )2=1. ∵a、b 、c>0, ∴0<
c a <1,0<c
b <1. ∴当n≥3时,(
c a )n <(c a )2,(c b )n <(c
b )2. ∴(
c a )n +(c b )n <(c a )2+(c b )2=1. ∴a n +b n <c n
成立.。