晶块尺寸和点阵畸变度的测定

• 其他衍器因素带来的线型宽化；
物 • 晶粒尺度并非无穷大引起的宽化； 理
宽 化 • 晶格畸变引起的宽化。
4
X射线衍射峰是由几何宽化和物理宽化组成，其中几何宽 化的因素很多，也非常复杂。实际测量时，总是通过测量 没有任何物理宽化因素的标准样品，在与待测样品完全相 同的实验条件下，测得标样的衍射线形，并以它的宽度定 为仪器宽度。 物理宽化是不是简单扣除几何宽化以后的衍射峰宽度呢？ 回答是否定的，几何宽化和物理宽化在数学上满足函数的 卷积关系，要从实验得到的衍射峰中分离出物理宽化的值， 并不是一件容易的事情。

If
(m) f
(x
y)

Ig (m)
2q (deg.)
半高宽
46.7
46.8
46.9
47.0
47.1
47.2
47.3
47.4
47.5
47.6
47.7
47.8
47.9
2 q (deg.)
积分宽度
3
引起线型宽化的可能原因
• X射线并非严格平行；
几 • X射线并非严格单色；
何
宽 化
• 衍射衍使用的是平板样品，而不是严格满足聚 焦圆曲率的样品；
12
付里叶级数变换分离法
K 衍 射 峰 线 性 的 表 达 式 I(2q) 可 用 三 角 多 项 式 来 表 达 （ 即 展 开 为 付 里 叶 级
数）。设2N为I(2q)有值区间角度等分数，A0、An和Bn都是函数I(2q)的付里叶系
数，有：
I(2q)

A0 2


[An
n1
cos(2n
B

Ih ( x)dz
Ih (m)


Ih (m)h(x)dz Ih (m)



h(x)dx
18
Ig (m)
Ih (m)
g(y) 矩形面 Ig(积 y)y
Ig (y)
h(x)
Ih (x)
f (z) If (m)
Oz
O
y
y
x
19
对 仪 器 宽化 线 形 函 数 g(y)
Ig (m)
2N
2q)

Bn
sin(2n
2N
2q)]
A0

1 N
2N1
I(2q)dq

1
2N1
I(2q)
1
N n1
An 1 2N1I(2q)cos(2n 2q)dq 1 2N1I(2q)cos(2n 2q)
N1
2N
N n1
2N
Bn 1 2N1I(2q)sin(2n 2q)dq 1 2N1I(2q)sin(2n 2q)
(2q

2q
)

bn
sin
2 n 2N
(2q

2q
)
]


/
K

K 1 2K a0


n 1
[
a
n
c
o
s(
2 n 2N
2q )
2 n bn sin( 2 N
2
q
)
]




n 1
an[cos(
2 n 2N
2q
)
cos(
2 n 2N

的某一点y处，在y区域的强 度值由Ig(y)y表示，由图中实 心矩形表示。假定线形宽化时 积分强度不变，由于物理因素 引起宽化作用使此矩形变成等 面 积 的 f(z) 线 形 ， 但 峰 位 在 仍 在y处。或者说矩形被改造为 曲线f(z)，即图中阴影部分。
Ih (m)
g(y) 矩形面 Ig(积 y)y
cos(
2 n 2N

2q
)
/
K

bn
sin(
2 n 2N

2q
)
/
K
]
cos(
2 n 2N
2q
)


n
1


[bn

bn
cos(2 n 2N
2q
)/
K

2 n an sin( 2 N
2q ) /
K
]sin( 2 n 2N
2q

)

14
一般K=2，解出：
a0
N1
2N
N n1
2N
Bn 1 2N1I(2q)sin(2n 2q)dq 1 2N1I(2q)sin(2n 2q)
N1
2N
N n1
2N
式中n=1，2，3……为阶数。
同理， I1(2q)的线形也可以写成：
q q q I1 (2) a 2 0 n 1 [a nc o s (2 2 N n 2) b ns in (2 2 N n 2)]
5
晶粒细化引起的宽化
• 谢乐方程：
k L cosq
• 公式的推导方法不同，式中k=0.89或0.94，但实际应 用中一般取k=1；
• β是指因为晶粒细化导致的衍射峰加宽部分，单位为弧 度。
6
晶格畸变引起的宽化
晶面间距是倒易矢量的倒数，晶面间距变化Δd，必然导致倒 易矢量产生相应的波动范围，倒易球成为具有一定厚度的面 壳层，当反射球与倒易球相交时，得到宽化的衍射线.
晶块尺寸与点阵畸变度的测定
材料科学与工程学院 艾延龄
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主要内容
1. 衍射线的宽化效应 2. K线分离 3. 实测衍射峰与物理宽化效应的关系 4. 晶格畸变量和晶块尺寸的测定
2
Intensity (a.u.)
Intensity (a.u.)
46.7 46.8 46.9 47.0 47.1 47.2 47.3 47.4 47.5 47.6 47.7 47.8 47.9
N1
2N
N n1
2N
式中n=1，2，3……为阶数。
同理， I1(2q)的线形也可以写成：
q q q I1 (2) a 2 0 n 1 [a nc o s (2 2 N n 2) b ns in (2 2 N n 2)]
13
利
用
I (2q )

I1(2q )
I1 ( 2q
数）。设2N为I(2q)有值区间角度等分数，A0、An和Bn都是函数I(2q)的付里叶系
数，有：
I(2q)

A0 2


[An
n1
cos(2n
2N
2q)

Bn
sin(2n
2N
2q)]
A0

1 N
2N1
I(2q)dq

1
2N1
I(2q)
1
N n1
An 1 2N1I(2q)cos(2n 2q)dq 1 2N1I(2q)cos(2n 2q)
nM时： I1(n)= I(n)；I2(n)=0 M<n<N-M时： I1(n)= I(n) - I1(n-M)/K； I2(n)= I(n) - I1(n)=I1(n-M)/K nN-M时： I1(n)=0；I2(n)= I(n)
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付里叶级数变换分离法
K 衍 射 峰 线 性 的 表 达 式 I(2q) 可 用 三 角 多 项 式 来 表 达 （ 即 展 开 为 付 里 叶 级
If(m)= Ig(y) y= Ig(m) g(y) y
If
(m)

Ig(m)

g(y)y
20
仪测曲线上X处的衍射强度并非仅由工具曲线的某一个强度单元Ig(y)y被物理宽 化扩展在此作出的贡献，而是整个工具曲线上各强度单元扩展后在此处所作贡 献的叠加：
Ih(x)

2q
)

sin (
2 n 2N
2q
)
sin (
2 n 2N

2q
)


/
K


n 1
bn [sin (
2 n 2N
2q
)
cos(
2 n 2N

2q
)

cos(
2 n 2N
2q
)
s in (
2 n 2N

2q
)


/
K

K 2
K
1
a
0



[
a
n

an
I(2q) = I1(2q)+I2(2q)
I2(2q)
2q
2q
2q 1
2q2
2q
K1、K2线的存在对X光衍射线线形的影响
假定K1与K2衍射线强度按波长的分布近似相同，强度比为K：
K=I1(2q)/I2(2q-2q)
I(2q) = I1(2q)+I2(2q)= I1(2q)+I1(2q-2q)/K
9
K衍射由K1、K2衍射叠加而成， 底 宽 为 V 。 若 双 线 分 离 度 为 2q ， 当 K1与K2衍射线峰形对称、底宽相同 时，K1与K2衍射峰同侧边界相距也
I1(2q2q) 2q
V
I(2 q)I1(2 q)I2(2 q)
I1(2q )
I2 (2q )
为2q。 实测线形I(2q)是K1和 K2所形成的 线形I1(2q)和I2(2q)的叠合：
或
I1(2q)= I(2q) - I1(2q-2q)/K
10
Rachinger法 K衍射峰底宽为V，可将等分后从数学方法进行K的双线分离。为了使2q
能被等分，可先将2q划分为M等分，单元宽度w=2q/M，再以w为单元宽度将 V划分为N等分，N=V/w。用n表示单元序号，I(n)、I1(n)、I2(n) 分别表示各分割 单元的对应强度。按I1(2q)= I(2q) - I1(2q-2q)/K，有

2 A0 3
an

An

1 2
[
An
cos(
2 n 2N

2q
)

Bn
sin(
2 n 2N

2q
)]
1 cos( 2 n 2q ) 1
2N
4
bn

Bn

1 2
[
B
n
cos( 2 n 2N
2q
)

An
sin(
2 n 2N
1 cos( 2 n 2q ) 1
2q )]
Ig (y)
h(x)
Ih (x)
f (z) If (m)
O
函数卷积的物理意义
Oz
y
y x
显然，在x处f(z)的强度为：If(m)f(z)=If(m)f(x-y)。这也是实心矩形Ig(y)y 在x处对真实线形h(x)的
分]应等于f(z)的峰值If(m)与其积分宽度的乘积，故有：

g( y)dy
Ig (m)
Ig (m)

的积分强度除以线形的峰值。则仪器宽 化曲线（工具曲线）的积分宽度b、物



I f (z)dz
I f (m) f (z)dz

f (z)dz
I f (m)
I f (m)



理宽化曲线（本质曲线）的积分宽度、 仪测曲线的积分宽度B分别表示为：
积关系。
17
分别用下列函数g(y)、f(z)、h(x) 表示仪器宽化、物理宽化及试样实测曲线的线
形函数：
由仪器宽化因素造成的强度分布曲线（工具曲线）记为：
Ig(x)= Ig(m)g(y)
Ig(m)为g(y)曲线的最大强度值；
由物理宽化因素造成的强度分布曲线（本质曲线）记为：
If(z)= If(m)f(z)
K
2q )
有
a2 b2
A 0
2


[ An
n 1
cos(2 n 2N
2q
)

Bn
sin( 2 n 2N
2q
)]


a0 2


[an
n 1
cos(2 n 2N
2q
)

bn
sin( 2 n 2N
2q
)
]




a0 2


[an
n 1
cos
2 n 2N
26.5 27.0 27.5 28.0 28.5 29.0 29.5 30.0
2q (deg.)
7
Intensity (a.u.)
晶格畸变引起的宽化
•晶块尺度范围内的内应力引起的晶格畸变，将会 导致不同晶粒的晶面间距发生改变，这种改变将 是随机的，在统计规律下，晶面间距可以表示为 d±Δd，最终导致衍射角的相应变化为2（θ±Δθ）
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主要内容
1. 衍射线的宽化效应 2. K线分离 3. 实测衍射峰与物理宽化效应的关系 4. 晶格畸变量和晶块尺寸的测定
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• 衍射峰的实际测量宽度称为实测宽度B； • b是与仪器的实验条件相关的特性，称为仪器宽度；β是
与物理宽化对应的宽度； • β相对于仪器宽度b的增量称为“加宽”； • B,b,β三者之间不是简单的加和效应，而是一种复杂的卷
qq qq q •衍射线的半高宽： 2 ( 1 /2 ) 2 ( 1 /2 ) 4 1 /2
•对布拉格方程微分后可以得出Δθ与晶面间距变化 率之间的关系，并最终得到：
4tanq d
d
8
主要内容
1. 衍射线的宽化效应 2. K线分离 3. 实测衍射峰与物理宽化效应的关系 4. 晶格畸变量和晶块尺寸的测定
If(m)为f(z)曲线的最大强度值；
直接由被测试样测得的谱线称为仪测曲线，记为：
Ih(x)= Ih(m)h(x)
If(m)为f(z)曲线的最大强度值。
将谱线的积分强度定义为谱线曲线下面 的总面积；谱线的积分宽度定义为谱线


b
Ig (z)dz
I g (m)g ( y)dy
2N
4
根据实测K的线形I(q)计算其付里叶系数A0、An和Bn，再利用上式计算K1
的线形I1(q)的付里叶系数a0、an和bn，并计算出I1(q)。
付里叶级数变换分离法计算工作量较大，但用计算机处理速度非常快。这
种分离方法不受人为因素的影响，它的独到之处是还能给出函数I1(q) 的付里叶 系数。