第二章 扩频序列
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14
(3)循环移位特性
任一m序列的循环移位仍是一m序列，不同的 循环移位只是移位寄存器初始状态不同的结 果。
m序列与其自身循环移位得到的m序列模2加仍 是一个m序列，且是原m序列的另一个循环移 位。
原因
例2.3-6 以例2.1-1中的m序列为例
15
四.m序列的自相关函数与互相关函数 相关函数的本来定义 两长度相等的序列的自相关函数和互相
(3) 功率谱带宽，说明m序列的带宽由码片间 隔决定，与码长无关。
(4)直流分量
极限情况：当m序列的长度N→∞时，直流分量 →0，谱线间隔→0，说明…
22
2.m序列的互相关函数 对于两个不同的m序列，希望它们之间的
互相关函数尽可能地小，原因 m序列的互相关函数分析起来非常复杂，
且没有自相关函数那样简洁的公式，而 且是多值函数。
所占百分比，长度为n-1的游程不存在，长度为n的游 程有两个，分别为0游程和1游程。 (4)不再具有移位相加特性 (5)自相关函数是多值函数，自相关特性不如m序列。 (6)数量远多于Gold序列，更多于m序列。n级移位寄存 器M序列的个数
44
由于Gold序列的数目较多，且同一族内Gold 序列之间有较低的互相关性，所以适合作为 CDMA系统的地址码。
35
不同族Gold序列之间的互相关函数不是3 值而是多值的，且互相关值大大超过同 族内部序列之间的互相关值。因此不同 族Gold序列不适宜用作CDMA系统的地址 码。
Gold序列的自相关函数也是三值函数。
29
这一对互相关函数最小的m序列称为m序 列优选对，由这一对m序列优选对移位相 加得到的新序列称为Gold序列。
30
2.4.1 m序列优选对
定义 部分m序列优选对
级数 基准本原多项式系数 211
配对本原多项式系数 217，235，277，325，203，357，301，323
7
217
211，235，277，325，213，271，357，323
13
m序列的一个周期中，游程总数为2n1 个，其
中0游程和1游程各占一半。 当n＞2时长度为i(1≤i≤n-2)的游程占游程
总数的1 / 2i ，原因
长度为n-1的游程只有一个，为0游程，长度 为n的游程也只有一个，为1游程。
游程分布的均衡性也说明m序列的随机性。 例2.3-5 例2.1-1中m序列的游程分布。
2
例2.1-1表明 各级移位寄存器的状态是周期往复的 PN序列是周期性的 PN序列的长度 最大长度线性反馈移位寄存器序列(m序列)
3
对伪随机序列的一般要求
1.具有良好的伪随机性，即虽然有其内 在规律性，也是按一定规律生成的，但 从表面看来，却具有和随机序列类似的 随机性。不知预定规律的无关接收者难 以把信息检测出来。
4
2.具有良好的自相关、互相关特性。自相关 峰值尖锐，互相关值接近于0。以便于接收 端能将所需的信息准确地检测出来。
3.随机序列的数量足够多，保证有足够多的 地址分配给用户。
4.易于实现，设备简单，成本低。
5
2.2 PN序列的数学描述
几个定义 1.序列（生成）多项式G(x) 2.特征多项式f(x) 3.不可约多项式 4.本原多项式
6
2.3最大长度线性反馈移位寄存 器序列(m序列)
一.m序列存在的条件 (1)必要条件 如果一个n级线性反馈移位寄存器产生的
序列是周期长度为N=2^n-1的m序列，则 其特征多项式必是不可约的。 注意：反过来，特征多项式为不可约多 项式的移位寄存器序列不一定是m序列。
7
(2).充要条件 一个移位寄存器序列为m序列的充要条
23
m序列的互相关函数示意图
24
对于m序列的互相关函数只有一些统计及 结果
两结构不同但长度都为N的m序列之间的 互相关函数的 (1) 均值 (2)方差
对于互相关函数较小的m序列对，只能用 计算机搜索的方法来寻找。
25
五.m序列的缺点 (1)m序列很少。 当移位寄存器级数为n时，能产生的m序
三.m序列的伪随机性 (1)0、1的均衡性 m序列在一个周期内1的个数只比0的个数多一
个。所以一个周期内0和1的个数非常接近。 0和1的个数接近的原因 1的个数 0的个数 0、1的均衡性说明m序列的随机性。
12
(2)游程分布 游程：序列中取值相同的一段称为一个游程，
取1(0)的称为1(0)游程，各游程中的位数称 为游程长度。 关于m序列游程分布的结论
列个数。
26
2n 1
m序列的数目及其互相关函数
27
(2)不同m序列之间的最大互相关峰值很 大。在CDMA系统中会造成严重的多址干 扰。
28
2.4 Gold序列
为解决m序列数目太少以及互相关特性不 佳的问题，1967年R.Gold提出采用一对m 序列优选对来构建新的序列。
他提出“给定移位寄存器级数为n时，总 可以找到一对互相关函数值最小的m序列， 采用移位相加的方法构成新码，其互相 关旁瓣都很小，且自相关函数和互相关 函数都是有界的。”
关函数的定义
16
1.m序列的自相关函数 先看例2.3-7 例2.1-1中m序列
{1000}的自相关函数 结论 证明
17
m序列自相关函数的图像
1
－NTc
－Tc
Tc
1 N
NTc
t
18
关于m序列自相关函数R(τ)的讨论
(1)R(τ)是以NTc为周期的周期函数（Tc是码 片宽度），在τ =kNTc(N是m序列的周期,k为 整数)处出现尖峰。尖峰底宽为2Tc，Tc越小， 相关峰越尖锐。相关峰的高度远大于其他部 分，说明m序列有良好的自相关性。当N很大 和Tc很小时R(τ)趋于冲激函数，即近似于白 噪声的自相关特性。
Gold码的平衡性对于载波抑制的影响见 教材表4-7。
38
三.平衡Gold码的产生方法 （一）相关概念 1.特征相位：每个m序列都具有特征相位，
当m序列处于特征相位时，对序列每隔一位 抽样得到的新序列与原m序列完全一样。 例如：m序列(1110100)处在特征相位，而 (1010011)不处在特征相位。
件是该序列的特征多项式为本原多项式。
8
例2.3-1 例2.3-2 定义：互反多项式 定理：本原多项式的互反多项式也是本
原多项式。互反多项式所对应的序列是 原m序列的镜像序列。 例2.3-3
9
二.m序列的计算 通常人们关心的不是生成m序列的移位寄
存器，而是m序列本身。 当移位寄存器确定以后，m序列就确定了，
另一个作循环移位，然后将两个序列模2 相加。 所产生的Gold序列长度 所产生的Gold序列个数
32
二. 串行法 将一对m序列优选对的两个本原多项式相
乘，并按照模2加法合并同类项，以产生 的 2 2 n 次多项式作为Gold序列的特征多项 式。 例2.4-1已知n=6的一对m序列优选对的特 征多项式分别为103和147，画出它们所 构成的Gold序列产生器。
19
(2)R(t)是偶函数 (3)R(t)的数学表达式 (4)R(t)的功率谱密度函数：由相关函数
理论知，R(t)与功率谱密度函数G(f)是 一对傅里叶变换对。
20
R(t)功率谱密度函数的图像
21
m序列功率谱的特点
(1) 离散谱，谱线位置，谱线间隔，说明…
(2) 包络形状，零点位置，说明m序列的频谱 中不包含码片同步分量。
39
如何求出m序列的特征相位？ 2.生成函数 例2.4-2
40
（二）平衡Gold码的生成步骤 给定一对m序列优选对{a}和{b} 1.先求出其中任意一个m序列，如{a}的特征相
位序列。 2.循环移动{b}，使其首位与{a}的首位相异，
得到{b’}， {a}与{b’}的模2和产生的就是 平衡Gold序列。不断循环移位{b}，按照上述 方法，就可求出所有的平衡Gold序列。 例2.4-3
33
常见疑问 1.例2.4-1中用串行法产生的Gold序列的
长度是多少？ 2.用并行法和串行法产生的Gold序列相
同吗？
34
2.4.3 Gold序列的互相关函数与自相关函数
同一族Gold序列具有3值的互相关函数。当n 为奇数时，有50%的序列间的互相关系数为1/N，当n为偶数但不是4的倍数时，有75%的 码序列间的互相关系数为-1/N，其余的互相 关系数满足m序列优选对中的条件(见表)。
41
2.5 M序列
问题：当移位寄存器的级数为n时，所生 成的m序列的周期长度为多少？为什么？
减1的原因 为了使序列达到 2n Fra bibliotek最大长度，可以人
为地加入一个全0状态，但这时移位寄存 器序列就变成了非线性的。 全0状态加入的位置
42
实现方法 例2.5-1
43
M序列的性质 (1)周期长度 (2)0和1的数量 (3)游程个数、0游程和1游程的数量、各种长度的游程
寄存器不同的初始状态只是导致输出的m 序列循环移位而已。
10
m序列的生成多项式的计算
序列的生成多项式为：
1 x2n1
G(x)
f (x)
其中f(x)为特征多项式。
注意：此时分子分母的写法都应为升幂排列。
各移位寄存器不同的初始状态所产生的m序列，仅 是此m序列的循环移位。
例2.3-4
11
235
211，217，277，325，313，221，361，357
236
227，203，313，345，221，361，271，375
1021
1131，1333
9
1131
1021，1055，1225，1725
1461
1743，1541，1853
31
2.4.2 m序列的产生方法
一. 并行法 固定一对m序列优选对当中的一个，而使
36
2.4.4 平衡Gold序列
一.什么是 平衡Gold序列：1与0的个数相差1。 非平衡Gold序列：1与0的个数之差多于1。 二. 为什么要平衡 和谐，体现在两方面 更好的频谱特性 更好的载波抑制
37
n为奇数和偶数时平衡与非平衡Gold码的 数量见教材P121表4-5、4-6。
当m序列的长度n时直流分量0谱线间隔0说明对于两个不同的m序列希望它们之间的互相关函数尽可能地小原因m序列的互相关函数分析起来非常复杂且没有自相关函数那样简洁的公式而且是多值函数
扩频通信
第二章 扩频序列
1
2.1概述
随机序列 伪随机序列(伪噪声序列，PN(Pseudo-
noise)序列) 伪随机序列的产生 例2.1-1
(3)循环移位特性
任一m序列的循环移位仍是一m序列，不同的 循环移位只是移位寄存器初始状态不同的结 果。
m序列与其自身循环移位得到的m序列模2加仍 是一个m序列，且是原m序列的另一个循环移 位。
原因
例2.3-6 以例2.1-1中的m序列为例
15
四.m序列的自相关函数与互相关函数 相关函数的本来定义 两长度相等的序列的自相关函数和互相
(3) 功率谱带宽，说明m序列的带宽由码片间 隔决定，与码长无关。
(4)直流分量
极限情况：当m序列的长度N→∞时，直流分量 →0，谱线间隔→0，说明…
22
2.m序列的互相关函数 对于两个不同的m序列，希望它们之间的
互相关函数尽可能地小，原因 m序列的互相关函数分析起来非常复杂，
且没有自相关函数那样简洁的公式，而 且是多值函数。
所占百分比，长度为n-1的游程不存在，长度为n的游 程有两个，分别为0游程和1游程。 (4)不再具有移位相加特性 (5)自相关函数是多值函数，自相关特性不如m序列。 (6)数量远多于Gold序列，更多于m序列。n级移位寄存 器M序列的个数
44
由于Gold序列的数目较多，且同一族内Gold 序列之间有较低的互相关性，所以适合作为 CDMA系统的地址码。
35
不同族Gold序列之间的互相关函数不是3 值而是多值的，且互相关值大大超过同 族内部序列之间的互相关值。因此不同 族Gold序列不适宜用作CDMA系统的地址 码。
Gold序列的自相关函数也是三值函数。
29
这一对互相关函数最小的m序列称为m序 列优选对，由这一对m序列优选对移位相 加得到的新序列称为Gold序列。
30
2.4.1 m序列优选对
定义 部分m序列优选对
级数 基准本原多项式系数 211
配对本原多项式系数 217，235，277，325，203，357，301，323
7
217
211，235，277，325，213，271，357，323
13
m序列的一个周期中，游程总数为2n1 个，其
中0游程和1游程各占一半。 当n＞2时长度为i(1≤i≤n-2)的游程占游程
总数的1 / 2i ，原因
长度为n-1的游程只有一个，为0游程，长度 为n的游程也只有一个，为1游程。
游程分布的均衡性也说明m序列的随机性。 例2.3-5 例2.1-1中m序列的游程分布。
2
例2.1-1表明 各级移位寄存器的状态是周期往复的 PN序列是周期性的 PN序列的长度 最大长度线性反馈移位寄存器序列(m序列)
3
对伪随机序列的一般要求
1.具有良好的伪随机性，即虽然有其内 在规律性，也是按一定规律生成的，但 从表面看来，却具有和随机序列类似的 随机性。不知预定规律的无关接收者难 以把信息检测出来。
4
2.具有良好的自相关、互相关特性。自相关 峰值尖锐，互相关值接近于0。以便于接收 端能将所需的信息准确地检测出来。
3.随机序列的数量足够多，保证有足够多的 地址分配给用户。
4.易于实现，设备简单，成本低。
5
2.2 PN序列的数学描述
几个定义 1.序列（生成）多项式G(x) 2.特征多项式f(x) 3.不可约多项式 4.本原多项式
6
2.3最大长度线性反馈移位寄存 器序列(m序列)
一.m序列存在的条件 (1)必要条件 如果一个n级线性反馈移位寄存器产生的
序列是周期长度为N=2^n-1的m序列，则 其特征多项式必是不可约的。 注意：反过来，特征多项式为不可约多 项式的移位寄存器序列不一定是m序列。
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(2).充要条件 一个移位寄存器序列为m序列的充要条
23
m序列的互相关函数示意图
24
对于m序列的互相关函数只有一些统计及 结果
两结构不同但长度都为N的m序列之间的 互相关函数的 (1) 均值 (2)方差
对于互相关函数较小的m序列对，只能用 计算机搜索的方法来寻找。
25
五.m序列的缺点 (1)m序列很少。 当移位寄存器级数为n时，能产生的m序
三.m序列的伪随机性 (1)0、1的均衡性 m序列在一个周期内1的个数只比0的个数多一
个。所以一个周期内0和1的个数非常接近。 0和1的个数接近的原因 1的个数 0的个数 0、1的均衡性说明m序列的随机性。
12
(2)游程分布 游程：序列中取值相同的一段称为一个游程，
取1(0)的称为1(0)游程，各游程中的位数称 为游程长度。 关于m序列游程分布的结论
列个数。
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2n 1
m序列的数目及其互相关函数
27
(2)不同m序列之间的最大互相关峰值很 大。在CDMA系统中会造成严重的多址干 扰。
28
2.4 Gold序列
为解决m序列数目太少以及互相关特性不 佳的问题，1967年R.Gold提出采用一对m 序列优选对来构建新的序列。
他提出“给定移位寄存器级数为n时，总 可以找到一对互相关函数值最小的m序列， 采用移位相加的方法构成新码，其互相 关旁瓣都很小，且自相关函数和互相关 函数都是有界的。”
关函数的定义
16
1.m序列的自相关函数 先看例2.3-7 例2.1-1中m序列
{1000}的自相关函数 结论 证明
17
m序列自相关函数的图像
1
－NTc
－Tc
Tc
1 N
NTc
t
18
关于m序列自相关函数R(τ)的讨论
(1)R(τ)是以NTc为周期的周期函数（Tc是码 片宽度），在τ =kNTc(N是m序列的周期,k为 整数)处出现尖峰。尖峰底宽为2Tc，Tc越小， 相关峰越尖锐。相关峰的高度远大于其他部 分，说明m序列有良好的自相关性。当N很大 和Tc很小时R(τ)趋于冲激函数，即近似于白 噪声的自相关特性。
Gold码的平衡性对于载波抑制的影响见 教材表4-7。
38
三.平衡Gold码的产生方法 （一）相关概念 1.特征相位：每个m序列都具有特征相位，
当m序列处于特征相位时，对序列每隔一位 抽样得到的新序列与原m序列完全一样。 例如：m序列(1110100)处在特征相位，而 (1010011)不处在特征相位。
件是该序列的特征多项式为本原多项式。
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例2.3-1 例2.3-2 定义：互反多项式 定理：本原多项式的互反多项式也是本
原多项式。互反多项式所对应的序列是 原m序列的镜像序列。 例2.3-3
9
二.m序列的计算 通常人们关心的不是生成m序列的移位寄
存器，而是m序列本身。 当移位寄存器确定以后，m序列就确定了，
另一个作循环移位，然后将两个序列模2 相加。 所产生的Gold序列长度 所产生的Gold序列个数
32
二. 串行法 将一对m序列优选对的两个本原多项式相
乘，并按照模2加法合并同类项，以产生 的 2 2 n 次多项式作为Gold序列的特征多项 式。 例2.4-1已知n=6的一对m序列优选对的特 征多项式分别为103和147，画出它们所 构成的Gold序列产生器。
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(2)R(t)是偶函数 (3)R(t)的数学表达式 (4)R(t)的功率谱密度函数：由相关函数
理论知，R(t)与功率谱密度函数G(f)是 一对傅里叶变换对。
20
R(t)功率谱密度函数的图像
21
m序列功率谱的特点
(1) 离散谱，谱线位置，谱线间隔，说明…
(2) 包络形状，零点位置，说明m序列的频谱 中不包含码片同步分量。
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如何求出m序列的特征相位？ 2.生成函数 例2.4-2
40
（二）平衡Gold码的生成步骤 给定一对m序列优选对{a}和{b} 1.先求出其中任意一个m序列，如{a}的特征相
位序列。 2.循环移动{b}，使其首位与{a}的首位相异，
得到{b’}， {a}与{b’}的模2和产生的就是 平衡Gold序列。不断循环移位{b}，按照上述 方法，就可求出所有的平衡Gold序列。 例2.4-3
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常见疑问 1.例2.4-1中用串行法产生的Gold序列的
长度是多少？ 2.用并行法和串行法产生的Gold序列相
同吗？
34
2.4.3 Gold序列的互相关函数与自相关函数
同一族Gold序列具有3值的互相关函数。当n 为奇数时，有50%的序列间的互相关系数为1/N，当n为偶数但不是4的倍数时，有75%的 码序列间的互相关系数为-1/N，其余的互相 关系数满足m序列优选对中的条件(见表)。
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2.5 M序列
问题：当移位寄存器的级数为n时，所生 成的m序列的周期长度为多少？为什么？
减1的原因 为了使序列达到 2n Fra bibliotek最大长度，可以人
为地加入一个全0状态，但这时移位寄存 器序列就变成了非线性的。 全0状态加入的位置
42
实现方法 例2.5-1
43
M序列的性质 (1)周期长度 (2)0和1的数量 (3)游程个数、0游程和1游程的数量、各种长度的游程
寄存器不同的初始状态只是导致输出的m 序列循环移位而已。
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m序列的生成多项式的计算
序列的生成多项式为：
1 x2n1
G(x)
f (x)
其中f(x)为特征多项式。
注意：此时分子分母的写法都应为升幂排列。
各移位寄存器不同的初始状态所产生的m序列，仅 是此m序列的循环移位。
例2.3-4
11
235
211，217，277，325，313，221，361，357
236
227，203，313，345，221，361，271，375
1021
1131，1333
9
1131
1021，1055，1225，1725
1461
1743，1541，1853
31
2.4.2 m序列的产生方法
一. 并行法 固定一对m序列优选对当中的一个，而使
36
2.4.4 平衡Gold序列
一.什么是 平衡Gold序列：1与0的个数相差1。 非平衡Gold序列：1与0的个数之差多于1。 二. 为什么要平衡 和谐，体现在两方面 更好的频谱特性 更好的载波抑制
37
n为奇数和偶数时平衡与非平衡Gold码的 数量见教材P121表4-5、4-6。
当m序列的长度n时直流分量0谱线间隔0说明对于两个不同的m序列希望它们之间的互相关函数尽可能地小原因m序列的互相关函数分析起来非常复杂且没有自相关函数那样简洁的公式而且是多值函数
扩频通信
第二章 扩频序列
1
2.1概述
随机序列 伪随机序列(伪噪声序列，PN(Pseudo-
noise)序列) 伪随机序列的产生 例2.1-1