新初中数学向量的线性运算单元汇编及答案解析

新初中数学向量的线性运算单元汇编及答案解析
一、选择题
1．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．
①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()
m a b ma mb -=-r r r r
②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r
③若ma mb =r
r
（m 是实数）时，则有a b =r
r
④若ma na =r r
（m 、n 是实数，0a ≠r
r
），则有m n = A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】
①对于实数m 和向量a r
、b r ，恒有()
m a b ma mb -=-r r r r ，正确；
②对于实数m 、n 和向量a r
，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；
③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；
故选C. 【点睛】
本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．
2．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】
根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，
错误，
D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；
故选D.
【点睛】
此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.
3．四边形ABCD 中，若向量与
是平行向量，则四边形ABCD ( )
A ．是平行四边形
B ．是梯形
C ．是平行四边形或梯形
D ．不是平行四边形，也不是梯形
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题目中给的已知条件与
是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定
与
的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.
【详解】
根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与
的大小，所以有一组对边平行的四边
形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】
此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.
4．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④
方向相同 A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则
方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但
的模不一定，③错误； 对于④，若
，则
能推出
的方向相同，但
的方向相同，得到
④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
5．如果向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，那么向量a r 用单位向量e r
表示为（ ）
A ．12
a e =
r
r B ．2a e =r r
C ．12
a e =-
r
r D ．2a e =-r r
【答案】C 【解析】
由向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为
1
2
，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为
12
， ∴12
a e =-
r
r ． 故选C ．
6．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=r r
B ．如果a b =r r ，那么a b =r r
C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r
D ．对于非零向量b r
，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】
A. -r r
a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；
B. 如果a b =r r
，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；
C. 若向量a r 与b r
均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错
误；
D. 对于非零向量b r
，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r
，故D 正确.
故答案为D. 【点睛】
本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.
7．下列说法正确的是（ ）． A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘
C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短
D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】
解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；
C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；
D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】
考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．
8．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r
，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．
A ．()
12
a b -r r
B ．()
12
b a -r r
C ．()
12
a b +r r
D ．()
12
a b -+r r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r r
r ，然后根据中线的定义可得：()
12
CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .
【详解】
解：∵AB a =u u u r r
，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r
∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴
()
1122
CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r ∴()()
1122
AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r
故选C.
【点睛】
此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.
9．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ） A ．++ B ．-+
C ．+-
D ．--
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论． 【详解】 如图，
，则
-+
故选B ． 【点睛】
此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.
10．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r
的结果等于（ ）．
A ．QP uuu r
B ．OQ uuu r
C ．SP u u r
D ．SQ u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】
解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r
=Q O uuu r ，
故选B. 【点睛】
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.
11．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r
（）＝（）
B ．
m n a ma na ++r r r
（）＝
C ．m a b ma mb +r r r r
（+）＝ D ．若0ma =r r
，那么0a =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】
根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0
v 是有方向的，而0没有，所以错误．
解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v
．∴错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
12．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(),m n ，向量OP u r
可以用点P 的坐标
表示为：(),OP m n =u r ．已知()11,OA x y =u r ，()22,OB x y =u r
，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA u r 与OB u r
互相垂直．在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A ．()()01
3,2019,3,1OC OD -==-u r u r B
．
))
1,1,1,1OE OF =u r u r C
．(
()
21,,82OG OH ⎛
⎫= ⎪
⎝
⎭u r u r D
．
,OM +⎭
u r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可． 【详解】 A.(
)1
332019
10-⨯-+⨯=，正确；
B.
))
11112⨯
+⨯=，错误；
C.(
2
1
842
+⨯=，错误；
D.
)
)
2222
⨯+=，错误； 故答案为：A ．
本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．
13．下列命题正确的是（ ）
A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r
B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r
C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r
＝0
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】
解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r
表示长度相
等，方向相同，所以A 选项不正确；
B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；
C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r
，所以C 选项正确；
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r
，不正确．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
14．下列说法中，正确的是（ ）
A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0
B ．如果e r 是单位向量，那么e r
＝1
C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r
D ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r
，
那么a r ∥b r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】
解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r
．
B 、如果e r 是单位向量，那么e r
＝1，错误．应该是e r ＝1．
C 、如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r
，错误．模相等的向量，不一定平行．
D 、已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ，那么a r ∥b r
，正确．
故选：D ．
本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.
15．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r
r 等于（ ）
A ．BD u u u r
B ．A
C u u u r
C ．DB u u u r
D ．CA u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r
，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∵AD b =u u u r r ，
∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，
∴a b +r r =AB u u u
r +BC uuu r =AC u u u r ．
故选B ．
16．已知a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，用a r
表示b r 向量为（ ） A ．35b a =r r B ．53b a =r r C ．35b a =-r r D ．53
b a =-r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，即可用a r 表示b r 向量.
【详解】
a r
=3，b r =5，
b r =53a r ,
b r 与a r
的方向相反,
∴5.3
b a =-r r
故选：D. 【点睛】
考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.
17．已知非零向量a r 、b r 和c r ，下列条件中，不能判定a b r r
P 的是（ ）
A ．2a b =-r r
B ．a c =r r ，3b c =r r
C ．2a b c +=r r r ，a b c -=-r r
r
D ．2a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求
【详解】
A 、2a b =-r r
，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；
B 、a c =r r ，3b c =r r ，则a r ∥b r ∥c r
，故本选项错误；
C 、由已知条件知2a b =-r r
，3a c -=r r ，则a r ∥b r ∥c r ，故本选项错误；
D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a r 与b r
不一定平
行，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．
18．设e r
为单位向量，2a =r ，则下列各式中正确的是（ ）
A ．2a e =r r
B ．a e a
=r
r r C ．2a e =r r D ．112
a =±r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据e r
为单位向量，可知1e =r ,逐项进行比较即可解题.
【详解】
解：∵e r
为单位向量， ∴1e =r
,
A 中忽视了向量的方向性,错误
B 中忽视了向量的方向性,错误
C 中,∵2a =r ,1e =r
, ∴2a e =r r
,正确,
D 中忽视了向量的方向性,错误
故选C. 【点睛】
本题考查了向量的应用,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键.
19．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，
＝，那么
等于
（ ）
A ．＝＋
B ．＝＋
C ．＝－
D ．＝＋
【答案】D 【解析】 【分析】
利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得
＝
,
＋ .
故选D. 【点睛】
本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.
20．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u r
r
，
AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r
表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r r
D ．12
a b --r r
【答案】A 【解析】
试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，
＝1
2
a b
r
r
．故选A．
考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．。