人教A版高中数学必修四 第三章习题课 测试学生版 精品
2020年高中数学人教A版必修四课时训练章末复习课3 Word版含答案

章末复习课课时目标 1.灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.2.体会三角恒等变换的工具性作用,掌握变换的思想和方法,提高推理和运算能力. 知识结构一、选择题1.tan 15°+1tan 15°等于( )A .2B .2+ 3C .4 D.4332.若3sin α+cos α=0,则1cos 2α+sin 2α的值为( )A.103B.53C.23D .-2 3.函数f (x )=sin 4x +cos 2x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2C .πD .2π 4.已知θ是第三象限角,若sin 4 θ+cos 4 θ=59,那么sin 2θ等于( )A.223 B .-223 C.23 D .-235.已知函数f (x )=3sin ωx +cos ωx (ω>0),y =f (x )的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于π,则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π-π12,k π+5π12,k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤k π+5π12,k π+11π12,k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π-π3,k π+π6,k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π+π6,k π+2π3,k ∈Z 6.设△ABC 的三个内角为A ,B ,C ,向量m =(3sin A ,sin B ),n =(cos B ,3cos A ),若m ·n =1+cos(A +B ),则C 的值为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7.函数f (x )=sin 2(x +π4)-sin 2(x -π4)的最小正周期是________.8.函数y =2cos 2x +sin 2x 的最小值是________.9.若8sin α+5cos β=6,8cos α+5sin β=10,则sin(α+β)=________.10.已知α为第三象限的角,cos 2α=-35,则tan ⎝⎛⎭⎫π4+2α=________. 三、解答题11.已知tan α=-13,cos β=55,α,β∈(0,π).(1)求tan(α+β)的值;(2)求函数f (x )=2sin(x -α)+cos(x +β)的最大值.12.设函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫π4x -π6-2cos 2π8x +1. (1)求f (x )的最小正周期;(2)若函数y =g (x )与y =f (x )的图象关于直线x =1对称,求当x ∈⎣⎡⎦⎤0,43时,y =g (x )的最大值.能力提升13.函数f (x )=sin xsin x +2sinx2是( )A .以4π为周期的偶函数B .以2π为周期的奇函数C .以2π为周期的偶函数D .以4π为周期的奇函数14.设α为第四象限的角,若sin 3αsin α=135,则tan 2α=________.本章所学内容是三角恒等变换的重要的工具,在三角式求值、化简、证明,进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础,是解答整个三角函数类试题的必要基本功,要求准确,快速化到最简,再进一步研究函数的性质.章末复习课作业设计 1.C2.A [∵3sin α+cos α=0,∴tan α=-13,∴1cos 2α+sin 2α=sin 2α+cos 2αcos 2α+2sin αcos α=tan 2α+11+2tan α=(-13)2+11+2×(-13)=103.]3.B [f (x )=sin 4x +1-sin 2x =sin 4x -sin 2x +1=-sin 2x (1-sin 2x )+1=1-sin 2x cos 2x =1-14sin 22x =1-14×1-cos 4x 2=18cos 4x +78∴T =2π4=π2.]4.A [∵sin 4 θ+cos 4 θ=(sin 2 θ+cos 2 θ)2-2sin 2 θcos 2 θ=1-12sin 2 2θ=59,∴sin 2 2θ=89.∵θ是第三象限角,∴sin θ<0,cos θ<0,∴sin 2θ>0.∴sin 2θ=223.]5.C [f (x )=3sin ωx +cos ωt =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6.因为函数y =f (x )的图象与y =2的两个相邻交点的距离为π,故函数y =f (x )的周期为π.所以2πω=π,即ω=2.所以f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6.令2k π-π2≤2x +π6≤2k π+π2得2k π-2π3≤2x ≤2k π+π3,即k π-π3≤x ≤k π+π6(k ∈Z ).]6.C [∵m ·n =3sin A cos B +3cos A sin B =3sin(A +B )=1+cos(A +B ),∴3sin(A +B )-cos(A +B )=3sin C +cos C =2sin ⎝⎛⎭⎫π6+C =1.∴sin ⎝⎛⎭⎫π6+C =12, ∴π6+C =56π或π6+C =π6(舍去), ∴C =23π.]7.π解析 f (x )=sin 2(x +π4)-sin 2(x -π4)=cos 2(π4-x )-sin 2(x -π4)=cos 2(x -π4)-sin 2(x -π4)=cos(2x -π2)=sin 2x .∴T =π. 8.1- 2解析 ∵y =2cos 2x +sin 2x =1+cos 2x +sin 2x =1+2sin(2x +π4),∴y min =1- 2. 9.4780解析 ∵(8sin α+5cos β)2+(8cos α+5sin β)2 =64+25+80(sin αcos β+cos αsin β) =89+80sin(α+β)=62+102=136. ∴80sin(α+β)=47,∴sin(α+β)=4780.10.-17解析 由题意,得2k π+π<α<2k π+3π2(k ∈Z ),∴4k π+2π<2α<4k π+3π.∴sin 2α>0.∴sin 2α=1-cos 22α=45.∴tan 2α=sin 2αcos 2α=-43.∴tan ⎝⎛⎭⎫π4+2α=tan π4+tan 2α1-tan π4 tan 2α=1-431+43=-17. 11.解 (1)由cos β=55,β∈(0,π),得sin β=255,tan β=2,所以tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=1.(2)因为tan α=-13,α∈(0,π),所以sin α=110,cos α=-310,f (x )=2(sin x cos α-cos x sin α)+cos x cos β-sin x sin β=-355sin x -55cos x +55cos x -255sin x=-5sin x ,又-1≤sin x ≤1,所以f (x )的最大值为 5.12.解 (1)f (x )=sin π4x cos π6-cos π4x sin π6-cos π4x =32sin π4x -32cos π4x =3sin ⎝⎛⎭⎫π4x -π3, 故f (x )的最小正周期为T =2ππ4=8.(2)在y =g (x )的图象上任取一点(x ,g (x )),它关于x =1的对称点为(2-x ,g (x )). 由题设条件,点(2-x ,g (x ))在y =f (x )的图象上,从而g (x )=f (2-x )=3sin ⎣⎡⎦⎤π4(2-x )-π3=3sin ⎝⎛⎭⎫π2-π4x -π3=3cos ⎝⎛⎭⎫π4x +π3. 当0≤x ≤43时,π3≤π4x +π3≤2π3,因此y =g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,43上的最大值为g (x )max =3cos π3=32. 13.A [由sin x +2sin x 2=2sin x 2(cos x2+1)≠0,得x ≠2k π,k ∈Z .∴f (x )定义域为{x |x ≠2k π,k ∈Z }关于原点对称.∵f (x )=sin xsin x +2sin x 2=cosx 21+cosx2.∴f (-x )=cos (-x 2)1+cos (-x 2)=cosx 21+cosx2=f (x ).∴函数f (x )为偶函数.又f (x +2π)=cos x +2π21+cos x +2π2=cos (π+x 2)1+cos (π+x 2)=-cosx 21-cos x 2≠f (x ).f (x +4π)=cos x +4π21+cos x +4π2=cos (2π+x 2)1+cos (2π+x 2)=cosx 21+cos x 2=f (x ),∴函数f (x )以4π为周期.]14.-34解析 由sin 3αsin α=sin (2α+α)sin α=sin 2αcos α+cos 2αsin αsin α=2cos 2α+cos 2α=135.∵2cos 2α+cos 2α=1+2cos 2α=135,∴cos 2α=45.∵α为第四象限角,∴2k π+3π2<α<2k π+2π,(k ∈Z )∴4k π+3π<2α<4k π+4π,(k ∈Z ) 故2α可能在第三、四象限,又∵cos 2α=45,∴sin 2α=-35,tan 2α=-34......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求,为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间,提高工作效率,打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载,资料仅供参考!(本文档收集于网络改编,由于文档太多,审核难免疏忽,如有侵权或雷同,告知本店马上删除)。
新课标高中数学人教版A必修4章节素质测试题——第三章 三角恒等变换

新课标高中数学人教版A 必修4章节素质测试题——第三章三角恒等变换(考试时间:120分钟满分:150分)姓名__________评价_________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.以下给出的四个备选答案中,只有一个正确) 1.(11新课标理5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=()A .45-B .35-C .35D .452.(09陕西理5)若3sin cos 0αα+=,则21cos sin 2αα+的值为()A.103B.53C.23D.2- 3.(12重庆理5)设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为( ) A.3-B.1-C.1D.34.(12辽宁理7)已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α=()A.-1B.2-C.2D.1 5.(11福建文9)若)2,0(πα∈,且412cos sin 2=+αα,则αtan 的值等于()A .2B CD6.(10新课标理9)若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-() A.12-B.12C.2D.-27.(08宁夏理7)0203sin 702cos 10--=()A.12B.2C.28.(12全国Ⅰ理7)已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α=( )A.3-B.9-939.(08宁夏文11)函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为()A.-3,1B.-2,2C.-3,32D.-2,3210.(11辽宁理7)设sin 1+=43πθ(),则sin 2θ=() A .79- B .19- C .19 D .7911.(08山东文10)已知354sin )6cos(=+-απα,则)67sin(πα+的值是( )A.5-B.5C.45-D.4512.(11浙江理6)若02πα<<,02πβ-<<,1cos()43πα+=,cos()42πβ-=则cos()2βα+=() A.3B.3-C.9D.9-二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在对应题号后的横线上)13.(07江苏)若13cos(),cos()55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=___________. 14.(10全国Ⅰ理14)已知α为第三象限的角,3cos 25α=-,则tan(2)4πα+=___________.15.(11重庆理14)已知1sin cos 2α=+α,且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭,则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________. 16.(12江苏11)设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分,08江西文17)已知1tan 3α=-,cos ,5β=,(0,)αβπ∈ (Ⅰ)求tan()αβ+的值;(Ⅱ)求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值.18.(本题满分12分,07四川理18)已知1413)cos(,71cos =-=βαα,且20παβ<<<. (Ⅰ)求α2tan 的值;(Ⅱ)求β.19.(本题满分12分,11广东理16)已知函数1()2sin(),.36f x x x R π=-∈(Ⅰ)求5()4f π的值; (Ⅱ)设,,,,、56)23(1310)23(20=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβαf f 求cos()αβ+的值.20.(本题满分12分,08江苏15)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边做两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点,已知A 、B的横坐标分别为10. (Ⅰ)求)tan(βα+的值;(Ⅱ)求2αβ+的值.21.(本题满分12分,11四川文18)已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-,x ∈R . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知4cos()5βα-=,4cos()5βα+=-,02παβ<<≤.求证:2[()]20f β-=.22.(本小题满分12分,12湖北文18)设函数)(cos cos sin 32sin )(22R x x x x x x f ∈+-+=λωωωω的图像关于直线π=x 对称,其中λω,为常数,且).1,21(∈ω (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期;(Ⅱ)若)(x f y =的图像经过点(,0)4p ,求函数)(x f 的值域.新课标高中数学人教版A 必修4章节素质测试题——第三章三角恒等变换(参考答案)一、选择题答题卡:二、填空题13. 2 .14.71-,15.214-.16.50.三、解答题17.解:(Ⅰ).2cos sin tan ,552cos 1sin ),,0(,55cos 2===-=∴∈=βββββπββΘ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+∴.12311231=⨯++-=(Ⅱ).101tan cos sin ,103tan 11cos ),,0(,31tan 2==-=+-=∴∈-=αααααπααΘ从而())cos()f x x x αβ=-++.sin 5sin 52cos 51cos 51sin 53sin sin cos cos )sin cos cos (sin 2x xx x x x x x x -=-+--=-+-=ββαα 1sin -=∴x 时,.5)(max =x f18.解:(Ⅰ)由1cos 7α=,π02α<<,得sin α===∴sin 7tan cos 71ααα==⨯=于是22tan tan 21tan 47ααα===--. (Ⅱ)由π02βα<<<,得02παβ<-<. 又∵13cos()14αβ-=,∴sin()14αβ-===. 由()βααβ=--,得 cos cos[()]βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317142=⨯+=∴π3β=. 19.解:(Ⅰ)55()2sin()2sin 41264f ππππ=-==.(Ⅱ)1310sin 2]6)23(31sin[2)23(==-+=+αππαπαf ,5sin 13α∴=, 又[0,]2πα∈,12cos 13α∴=. 56cos 2)2sin(2]6)23(31sin[2)23(==+=-+=+βπβππβπβf ,3cos 5β∴=,又[0,]2πβ∈,4sin 5β∴=, 所以16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=. 20.解:由已知条件及三角函数的定义可知,cos αβ==. 因为α,β为锐角,所以.55cos 1sin ,1027cos 1in 22=-==-=ββααs 因此.21cos sin tan ,7cos sin tan ====βββααα (Ⅰ).32171217tan tan 1tan tan )(tan -=⨯-+=-+=+βαβαβα (Ⅱ)解法一:ββαββαβαtan )tan(1tan )tan()2(tan +-++=+.121)3(1213-=⨯--+-=.432πβα=+∴解法二:因为22tan 4tan 21tan 3βββ==-,所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==--..432πβα=+∴21.解:(Ⅰ)7733()sin coscos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++x x2sin()4x π=-,∴()f x 的最小正周期2T π=,最小值min ()2f x =-.(Ⅱ)证明:由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=,4cos cos sin sin 5αβαβ-=-两式相加得2cos cos 0αβ=.∵02παβ<<≤,∴cos 0β=,则2πβ=.∴22[()]24sin 204f πβ-=-=.22.解:(Ⅰ))(cos cos sin 32sin )(22R x x x x x x f ∈+-+=λωωωωλπωλπωπωλωωλωωλωωωω+-=+-=+-=+-=+--⋅=)62sin(2)6sin 2cos 6cos2(sin 2)2cos 212sin 23(22cos 2sin 3)sin (cos cos sin 2322x x x x x x x x x x x.)62sin(2)(λπω+-=∴x x f根据题意得,1)62sin(1)62sin(-=-=-πωππωπ,或, .262Z k k ∈+=-∴,πππωπ即.231Z k k∈+=,ω.65)1,21(=∴∈ωω,Θ这时.)635sin(2)(λπ+-=x x f故函数)(x f 的最小正周期为.56352ππ=÷=T(Ⅱ)由0)4(=πf 得.24sin 20)6435sin(2-=-=∴=+-⨯πλλππ,.2)635sin(2)(--=∴πx x f当1)635sin(-=-πx 时,22)(min --=x f ;当1)635sin(=-πx 时,22)(max -=x f ; 故函数)(x f 的值域为[].2222---,。
高一数学必修4(新人教)课后强化训练(含详解):第三章综合检测题.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分150分,时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.已知0<α<π2<β<π,又sin α=35,cos(α+β)=-45,则sin β=( ) A .0B .0或2425C.2425D .±2425[答案] C[解析] ∵0<α<π2<β<π且sin α=35,cos(α+β)=-45, ∴cos α=45,π2<α+β<32π,∴sin(α+β)=±35, 当sin(α+β)=35时,sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=35×45-⎝⎛⎭⎫-45×35=2425; 当sin(α+β)=-35时, sin β=-35×45-⎝⎛⎭⎫45×35=0. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2,π,∴sin β>0,故sin β=2425. [点评] (1)可用排除法求解,∵π2<β<π,∴sin β>0.故排除A ,B ,D. (2)由cos(α+β)=-45及sin α=35可得sin β=43(1+cos β)代入sin 2β+cos 2β=1中可解得cos β=-1或-725,再结合π2<β<π可求sin β. 2.若sin θ<0,cos2θ<0,则在(0,2π)内θ的取值范围是( )A .π<θ<3π2B.5π4<θ<7π4C.3π2<θ<2π D.π4<θ<3π4[答案] B[解析] ∵cos2θ<0,∴1-2sin 2θ<0,即sin θ>22或sin θ<-22, 又已知sin θ<0,∴-1≤sin θ<-22, 由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4<θ<7π4. 3.函数y =sin2x +cos2x 的图象,可由函数y =sin2x -cos2x 的图象( )A .向左平移π8个单位得到 B .向右平移π8个单位得到 C .向左平移π4个单位得到 D .向右平移π4个单位得到[答案] C[解析] y =sin2x +cos2x =2sin(2x +π4) =2sin2(x +π8) y =sin2x -cos2x =2sin(2x -π4)=2sin2(x -π8) 其中x +π8=(x +π4)-π8∴将y =sin2x -cos2x 的图象向左平移π4个单位可得y =sin2x +cos2x 的图象. 4.下列各式中,值为32的是( ) A .2sin15°cos15°B .cos 215°-sin 215°C .2sin 215°-1D .sin 215°+cos 215°[答案] B[解析] 2sin15°cos15°=sin30°=12,排除A. cos 215°-sin 215°=cos30°=32,故选B. 5.cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°的值是( ) A.62B.54C.32D.23[答案] B[解析] 原式=sin 215°+cos 215°+sin15°cos15°=1+12sin30°=1+12×12=54.6.若f (x )=2tan x -2sin 2x 2-1sin x 2cos x 2,则f ⎝⎛⎭⎫π12的值是( )A .-433B .-4 3C .4 3D .8[答案] D[解析] f (x )=2tan x +cos x12sin x=2⎝⎛⎭⎫sin x cos x +cos xsin x=2·1sin x ·cos x =4sin2x ,∴f (π12)=4sin π6=8.7.若-π2≤x ≤π2,则函数f (x )=sin x +3cos x 的最大值和最小值分别是( )A .1,-1B .1,-12C .2,-1D .2,-2[答案] C[解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2,∴x +π3∈⎣⎡⎦⎤-π6,5π6,∵f (x )=sin x +3cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3,∴f (x )最小值为-1,最大值为2.8.设函数f (x )=2cos 2x +3sin2x +a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为-4,那么a 的值等于() A .4B .-6C .-3D .-4[答案] D[解析] f (x )=cos2x +3sin2x +1+a=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+a +1 ∵0≤x ≤π2,∴π6≤2x +π6≤7π6, ∴-12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6≤1, ∴f (x )min =2×⎝⎛⎭⎫-12+a +1=-4,∴a =-4. 9.(09·重庆理)设△ABC 的三个内角为A ,B ,C ,向量m =(3sin A ,sin B ),n =(cos B ,3cos A ),若m ·n =1+cos(A +B ),则C =( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] ∵m ·n =3sin A cos B +sin B ·3cos A =3sin(A +B )=3sin C =1-cos C ,∴sin ⎝⎛⎭⎫C +π6=12, 又∵0<C <π,∴C +π6=5π6,故C =2π3. 10.已知等腰△ABC 的腰为底的2倍,则顶角A 的正切值是( ) A.32B. 3C.158 D.157[答案] D[解析] 如图,令BD =1,则AB =4,AD =15,tan θ=115,tan A =tan2θ=2tan θ1-tan 2θ=2151-115=157,故选D.11.(09·江西理)若函数 f (x )=(1+3tan x )cos x,0≤x <π2,则f (x )的最大值为( )A .1B .2 C.3+1D.3+2[答案] B[解析] f (x )=(1+3tan x )cos x=cos x +3sin x =2cos(x -π3).又∵0≤x <π2,∴当x =π3时,y 取最大值为2.12.已知sin x -sin y =-23,cos x -cos y =23,且x 、y 为锐角,则tan(x -y )的值是() A.2145B .-2145C .±2145D .±51428[答案] B[解析] 由已知sin x -sin y =-23,cos x -cos y =23,得⎩⎨⎧ sin 2x -2sin x sin y +sin 2y =49cos 2x -2cos x cos y +cos 2y =49,相加得cos(x -y )=59,∵x 、y 均为锐角且sin x -sin y <0,∴-π2<x -y <0,∴sin(x -y )=-2149,∴tan(x -y )=-2145,故选B. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)13.tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=________.[答案] 3[解析] ∵tan60°=tan(20°+40°)=tan20°+tan40°1-tan20°tan40°∴原式=tan60°·(1-tan20°·tan40°)+3tan20°·tan40° =3-3tan20°·tan40°+3tan20°·tan40°= 3.14.1sin10°-3sin80°的值为________. [答案] 4[解析] 原式=cos10°-3sin10°sin10°·cos10°=2(cos60°·cos10°-sin60°·sin10°)12sin20°=4cos70°sin20°=4. 15.已知α,β∈⎝⎛⎭⎫3π4,π,sin(α+β)=-35,sin ⎝⎛⎭⎫β-π4=1213,则cos ⎝⎛⎭⎫α+π4=________. [答案] -5665[解析] ∵α,β∈⎝⎛⎭⎫3π4,π,∴α+β∈⎝⎛⎭⎫3π2,2π, ∵sin(α+β)=-35,∴cos(α+β)=45. ∵β-π4∈⎝⎛⎭⎫π2,3π4,sin ⎝⎛⎭⎫β-π4=1213, ∴cos ⎝⎛⎭⎫β-π4=-513. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α+π4=cos ⎣⎡⎦⎤(α+β)-⎝⎛⎭⎫β-π4 =cos(α+β)cos ⎝⎛⎭⎫β-π4+sin(α+β)sin ⎝⎛⎭⎫β-π4 =-5665. 16.关于函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3+cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6,有下列命题:①y =f (x )的最大值为2;②y =f (x )是以π为最小正周期的周期函数;③y =f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24,13π24上单调递减;④将函数y =2cos2x 的图象向左平移π24个单位后,将与已知函数的图象重合. 其中正确命题的序号是________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)[答案] ①②③[解析] 化简f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3+cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2-π3 =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3=2cos ⎝⎛⎭⎫2x -π12 ∴f (x )max =2,即①正确.T =2π2=π,即②正确. 由2k π≤2x -π12≤2k π+π得, k π+π24≤x ≤k π+13π24,即③正确. 将函数y =2cos2x 的图象向左平移π24个单位得 y =2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π24≠f (x ),∴④不正确. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分12分)(09·广东理)已知向量a =(sin θ,-2)与b =(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2. (1)求sin θ和cos θ的值;(2)若sin(θ-φ)=1010,0<φ<π2,求cos φ的值. [解析] (1)∵a 与b 互相垂直,则a ·b =sin θ-2cos θ=0,即sin θ=2cos θ,代入sin 2θ+cos 2θ=1得,sin θ=±255,cos θ=±55, 又θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴sin θ=255,cos θ=55. (2)∵0<φ<π2,0<θ<π2,∴-π2<θ-φ<π2,则 cos(θ-φ)=1-sin 2(θ-φ)=31010, cos φ=cos[θ-(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ)+sin θsin(θ-φ)=210. 18.(本题满分12分)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )=sin 2ax -3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y=m 相切,相邻切点之间的距离为π2. (1)求m 和a 的值;(2)若点A (x 0,y 0)是y =f (x )图象的对称中心,且x 0∈⎣⎡⎦⎤0,π2,求点A 的坐标. [解析] (1)f (x )=sin 2ax -3sin ax cos ax=1-cos2ax 2-32sin2ax =-sin ⎝⎛⎭⎫2ax +π6+12, 由题意知,m 为f (x )的最大值或最小值,所以m =-12或m =32, 由题设知,函数f (x )的周期为π2,∴a =2, 所以m =-12或m =32,a =2. (2)∵f (x )=-sin ⎝⎛⎭⎫4x +π6+12, ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x +π6=0,得4x +π6=k π(k ∈Z ), ∴x =k π4-π24(k ∈Z ), 由0≤k π4-π24≤π2(k ∈Z ),得k =1或k =2, 因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24,12或⎝⎛⎭⎫11π24,12.19.(本题满分12分)函数f (x )=2a sin 2x -23a sin x cos x +a +b ,x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,值域为[-5,1],求a ,b 的值.[解析] ∵f (x )=a (1-cos2x )-3a sin2x +a +b=-2a ·⎝⎛⎭⎫32sin2x +12cos2x +2a +b =-2a sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+2a +b , ∵0≤x ≤π2,∴0≤2x ≤π,∴π6≤2x +π6≤7π6,∴-12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6≤1, 当a >0时,有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a +b =1b =-5,∴a =2,b =-5, 当a <0时,有⎩⎪⎨⎪⎧b =13a +b =-5,∴a =-2,b =1. 20.(本题满分12分)已知在△ABC 中,sin A (sin B +cos B )-sin C =0,sin B +cos2C =0,求角A 、B 、C 的大小.[解析] 方法一:由sin A (sin B +cos B )-sin C =0得sin A sin B +sin A cos B -sin(A +B )=0.所以sin A sin B +sin A cos B -sin A cos B -cos A sin B =0,即sin B (sin A -cos A )=0.因为B ∈(0,π),所以sin B ≠0,从而cos A =sin A .由A ∈(0,π)知,A =π4,从而B +C =3π4,由sin B +cos2C =0得sin B +cos2(3π4-B )=0, 即sin B -sin2B =0.即sin B -2sin B cos B =0.由此得cos B =12,B =π3.所以A =π4,B =π3,C =5π12. 方法二:由sin B +cos2C =0得sin B =-cos2C =sin ⎝⎛⎭⎫3π2-2C . 因为0<B 、C <π,所以B =3π2-2C 或B =2C -π2. 即B +2C =3π2或2C -B =π2. 由sin A (sin B +cos B )-sin C =0得sin A sin B +sin A cos B -sin(A +B )=0.所以sin A sin B +sin A cos B -sin A cos B -cos A sin B =0.即sin B (sin A -cos A )=0.因为sin B ≠0,所以cos A =sin A .由A ∈(0,π),知A =π4. 从而B +C =34π,知B +2C =3π2不合要求. 再由2C -B =12π,得B =π3,C =5π12. 所以A =π4,B =π3,C =5π12.21.(本题满分12分)设函数f (x )=a ·b ,其中向量a =(2cos x,1),b =(cos x ,3sin2x +m ).(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π6时,-4<f (x )<4恒成立,求实数m 的取值范围. [解析] (1)f (x )=2cos 2x +3sin2x +m=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+m +1. ∴函数f (x )最小正周期T =π,在[0,π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0,π6、⎣⎡⎦⎤2π3,π. (2)∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π6时,f (x )递增, ∴当x =π6时,f (x )的最大值等于m +3. 当x =0时,f (x )的最小值等于m +2.由题设知⎩⎪⎨⎪⎧m +3<4m +2>-4解之得,-6<m <1. 22.(本题满分14分)已知锐角三角形中,sin(A +B )=35,sin(A -B )=15. (1)求tan A tan B; (2)设AB =3,求AB 边上的高.[解析] (1)sin(A +B )=35,sin(A -B )=15, ∴⎩⎨⎧ sin A cos B +cos A sin B =35sin A cos B -cos A sin B =15⇔⎩⎨⎧ sin A cos B =25cos A sin B =15,⇔tan A tan B =2. (2)∵π2<A +B <π,sin(A +B )=35,∴tan(A +B )=-34,即tan A +tan B 1-tan A tan B=-34,将tan A =2tan B 代入上式并整理得2tan 2B -4tan B -1=9,解得tan B =2±62,舍去负值得,tan B =2+62,∴tan A =2tan B =2+ 6.设AB 边上的高为CD ,则AB =AD +DB =CD tan A +CD tan B =3CD 2+6,由AB =3得CD =2+6, 所以AB 边上的高为2+ 6.[点评]第(1)小题除了考查两角和与差的三角函数公式外,还考查了方程的思想.第(2)小题除了上述解法还可以通过设AB边上的高CD为x,利用tan A=2tan B,求出AD=1,BD=2后,列出x的方程求解.。
2021年高中数学必修4第三章单元测试题及答案数学必修4第三章
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第三章 命题人:吴亮 检测人: 李丰明第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.已知4cos()5αβ+=,4cos()5αβ-=-,则cos cos αβ的值为( ) A.0B.45 C.0或45 D.0或45±2. 如果sin()sin()m n αβαβ+=-,那么tan tan βα等于( )A.m n m n -+B.m n m n +-C.n m n m -+D.n m n m+-3.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( )A .-12 B.12 C .-32 D.324.化简:ππcos sin 44ππcos sin 44x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为( ) A.tan 2xB.tan 2xC.tan x -D.cot x5.在△ABC 中,如果sinA =2sinCcosB ,那么这个三角形是A .锐角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形6.若β∈(0,2π),且1-cos 2β+1-sin 2β=sinβ-cosβ,则β的取值范围是A .[0,π2]B .[π2,π]C .[π,3π2]D .[π2,2π]7.若A B ,为锐角三角形的两个锐角,则tan tan A B 的值( ) A.不大于1B.小于1C.等于1D.大于18.已知θ为第四象限角,sinθ=-32,则tanθ等于( ) A.33 B .-33 C .±33D .-39.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ-cosγ=0,则cos(α-β)的值是 A .-1 B .1 C .-12 D.1210.已知sin(α-β)=1010,α-β是第一象限角,tanβ=12,β是第三象限角,则cosα的值等于 A.7210 B .-7210 C.22 D .-22二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)把答案填第Ⅱ卷题中横线上11.若0<α<π2,0<β <π2且tanα=17,tanβ=34,则α+β的值是________.12.已知函数f(x)=(sinx -cosx)sinx ,x ∈R ,则f(x)的最小正周期是________. 13.若π3sin 25α⎛⎫+=⎪⎝⎭,则cos2α=______. 14. 函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 。
【人教A版】高中数学必修1-5教材课后习题答案全套完整WORD版
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解答:
2.解:(1)因为方程 的实数根为 ,
所以由方程 的所有实数根组成的集合为 ;
(2)因为小于 的素数为 ,
所以由小于 的所有素数组成的集合为 ;
(3)由 ,得 ,
即一次函数 与 的图象的交点为 ,
所以一次函数 与 的图象的交点组成的集合为 ;
(4)由 ,得 ,
所以不等式 的解集为 .
(1) ;
(2) .
9.设 , , ,
,求 , , .
9.解:同时满足菱形和矩形特征的是正方形,即 ,
平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形,
即 ,
.
10.已知集合 ,求 , ,
, .
10.解: , ,
, ,
得 ,
,
,
.
B组
1.已知集合 ,集合 满足 ,则集合 有 个.
当 时,集合 ,则 ;
当 ,且 ,且 时,集合 ,
则 .
4.已知全集 , ,试求集合 .
4.解:显然 ,由 ,
得 ,即 ,而 ,
得 ,而 ,
即 .
第一章 集合与函数概念
1.2函数及其表示
1.2.1函数的概念
练习(第19页)
1.求下列函数的定义域:
(1) ; (2) .
1.解:(1)要使原式有意义,则 ,即 ,
3.解:
图象如下
4.如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点 的距离是 ,从点 沿海岸正东 处有一个城镇.
(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为 ,步行的速度是 , (单位: )表示他从小岛到城镇的时间, (单位: )表示此人将船停在海岸处距 点的距离.请将 表示为 的函数.
2018版高中数学人教A版 必修4第3章 章末综合测评 含解

章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知cos(α+β)+cos(α-β)=13,则cos αcos β的值为( )A .12B .13C .14D .16【解析】 由题意得:cos αcos β-sin αsin β+cos αcos β+sin αsin β=2cos αcos β=13,所以cos αcos β=16.【答案】 D2.函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3cos ⎝⎛⎭⎫x -π6+cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6-x 的图象的一条对称轴方程是( )A .x =π4B .x =π2C .x =πD .x =3π2【解析】 y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3·cos ⎝⎛⎭⎫x -π6-cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3sin ⎝⎛⎭⎫x -π6=sin ⎣⎡⎝⎛⎭⎫2x +π3-⎦⎤⎝⎛⎭⎫x -π6=sin ⎝⎛⎭⎫x +π2=cos x ,故x =π是函数y =cos x 的一条对称轴.【答案】 C3.若tan α=2tan π5,则cos ⎝⎛⎭⎫α-3π10sin ⎝⎛⎭⎫α-π5=( )【导学号:00680080】A .1B .2C .3D .4【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α-3π10=cos ⎝⎛⎭⎫α+π5-π2=sin ⎝⎛⎭⎫α+π5, ∴原式=sin ⎝⎛⎭⎫α+π5sin ⎝⎛⎭⎫α-π5=sin αcos π5+cos αsin π5sin αcos π5-cos αsin π5=tan α+tan π5tan α-tan π5.又∵tan α=2tan π5,∴原式=2tan π5+tanπ52tan π5-tanπ5=3.【答案】 C 4.2cos 10°-sin 20°cos 20°的值为( )A . 3B .62C .1D .12【解析】 原式=2cos (30°-20°)-sin 20°cos 20°=2(cos 30°cos 20°+sin 30°sin 20°)-sin 20°cos 20°=3cos 20°cos 20°= 3.【答案】 A5.cos 4π8-sin 4π8等于( )A .0B .22 C .1D .-22【解析】 原式=⎝⎛⎭⎫cos 2π8-sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8+sin 2π8 =cos 2π8-sin 2π8=cos π4=22.【答案】 B6.已知函数y =tan(2x +φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12,0,则φ的值可以是( ) 【导学号:70512045】A .-π6B .π6C .-π12D .π12【解析】 由题得tan ⎝⎛⎭⎫2×π12+φ=0, 即tan ⎝⎛⎭⎫π6+φ=0,π6+φ=k π,k ∈Z , φ=k π-π6,k ∈Z ,当k =0时,φ=-π6,故选A .【答案】 A7.若θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,sin θ-cos θ=22,则cos 2θ等于( ) A .32B .-32C .±32D .±12【解析】 由sin θ-cos θ=22两边平方得,sin 2θ=12, 又θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且sin θ>cos θ, 所以π4<θ<π2,所以π2<2θ<π,因此,cos 2θ=-32,故选B . 【答案】 B8.已知sin ⎝⎛⎭⎫π4-x =45,则sin 2x 的值为( ) A .1925B .725C .1425D .-725【解析】 sin 2x =cos ⎝⎛⎭⎫π2-2x =cos 2⎝⎛⎭⎫π4-x =1-2sin 2⎝⎛⎭⎫π4-x =1-2×⎝⎛⎭⎫452=-725. 【答案】 D9.已知cos ⎝⎛⎭⎫x +π6=35,x ∈(0,π),则sin x 的值为( ) A .-43-310B .43-310C .12D .32【解析】 由cos ⎝⎛⎭⎫x +π6=35,且0<x <π, 得π6<x +π6<π2, 所以sin ⎝⎛⎭⎫x +π6=45, 所以sin x =sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x +π6-π6=sin ⎝⎛⎭⎫x +π6cos π6-cos ⎝⎛⎭⎫x +π6sin π6 =45×32-35×12=43-310. 【答案】 B10.函数y =sin x +cos x +2⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2的最小值是( ) A .2- 2 B .2+ 2 C .3D .1【解析】 由y =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4+2,且0≤x ≤π2, 所以π4≤x +π4≤34π,所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≤1, 所以3≤y ≤2+2. 【答案】 C11.y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3-sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A .⎣⎡⎦⎤-π6,π3 B .⎣⎡⎦⎤π12,7π12 C .⎣⎡⎦⎤5π12,13π12D .⎣⎡⎦⎤π3,5π6【解析】 y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3-sin 2x =sin 2x cos π3-cos 2x sin π3-sin 2x=-12sin 2x -32cos 2x=-sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3. y =-sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的递增区间是y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的递减区间, π2+2k π≤2x +π3≤3π2+2k π,k ∈Z , ∴π12+k π≤x ≤7π12+k π,k ∈Z , 令k =0,得x ∈⎣⎡⎦⎤π12,7π12. 【答案】 B12.已知a =(sin α,1-4cos 2α),b =(1,3sin α-2),α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,若a ∥b ,则tan ⎝⎛⎭⎫α-π4=( )A .17B .-17C .27D .-27【解析】 因为a ∥b ,所以有sin α(3sin α-2)-(1-4cos 2α)=0, 即3sin 2 α-2sin α-1+4cos 2α=0 ⇒5sin 2 α+2sin α-3=0,解得sin α=35或-1,又α∈⎝⎛⎭⎫0,π2, 所以sin α=35,cos α=45,tan α=34,所以tan ⎝⎛⎭⎫α-π4=tan α-11+tan α=34-11+34=-17. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在题中的横线上) 13.函数f (x )=sin x -3cos x (x ∈R )的最小正周期为________,最大值为________. 【解析】 因为f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π3, 所以f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π3的最小正周期为T =2π,最大值为2. 【答案】 2π 214.tan ⎝⎛⎭⎫π6-θ+tan ⎝⎛⎭⎫π6+θ+3tan ⎝⎛⎭⎫π6-θ·tan ⎝⎛⎭⎫π6+θ的值是________. 【解析】 ∵tan π3=tan ⎝⎛⎭⎫π6-θ+π6+θ=tan ⎝⎛⎭⎫π6-θ+tan ⎝⎛⎭⎫π6+θ1-tan ⎝⎛⎭⎫π6-θtan ⎝⎛⎭⎫π6+θ=3,∴3=tan ⎝⎛⎭⎫π6-θ+tan ⎝⎛⎭⎫π6+θ+ 3tan ⎝⎛⎭⎫π6-θtan ⎝⎛⎭⎫π6+θ. 【答案】315.已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为________.【解析】 tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan α=17-(-2)1+17×(-2)=3.【答案】 316.已知A ,B ,C 皆为锐角,且tan A =1,tan B =2,tan C =3,则A +B +C 的值为________. 【解析】 ∵tan(A +B )=tan A +tan B 1-tan A tan B =1+21-2=-3<0,①又0<A <π2,0<B <π2,∴0<A +B <π,②由①②知,π2<A +B <π,又tan[(A +B )+C ]=tan (A +B )+tan C 1-tan (A +B )tan C =-3+31-(-3)×3=0.又∵0<C <π2,∴π2<A +B +C <32π,∴A +B +C =π. 【答案】 π三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f (x )=sin x -23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,2π3上的最小值. 【解】 (1)因为f (x )=sin x +3cos x - 3 =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3, 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3,所以π3≤x +π3≤π.当x +π3=π,即x =2π3时,f (x )取得最小值.所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3=- 3. 18.(本小题满分12分)已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin 2β,求证:tan α+tan β=2tan 2β.【证明】 因为tan(α-β)=sin 2β, tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β,sin 2β=2sin βcos β=2sin βcos βsin 2β+cos 2β=2tan β1+tan 2β, 所以tan α-tan β1+tan αtan β=2tan β1+tan 2β,整理得:tan α=3tan β+tan 3β1-tan 2β.所以tan α+tan β=3tan β+tan 3β+tan β-tan 3β1-tan 2β=2×2tan β1-tan 2β=2tan 2β.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫π2-x ·sin x -3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值; (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6,2π3上的单调性. 【解】 (1)f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫π2-x sin x -3cos 2x =cos x sin x -32(1+cos 2x ) =12sin 2x -32cos 2x -32 =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3-32, 因此f (x )的最小正周期为π,最大值为2-32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3时,0≤2x -π3≤π,从而 当0≤2x -π3≤π2,即π6≤x ≤5π12时,f (x )单调递增,当π2≤2x -π3≤π,即5π12≤x ≤2π3时,f (x )单调递减. 综上可知,f (x )在⎣⎡⎦⎤π6,5π12上单调递增;在⎣⎡⎦⎤5π12,2π3上单调递减. 20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=sin 2x -sin 2⎝⎛⎭⎫x -π6,x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π3,π4上的最大值和最小值. 【解】 (1)由已知,有f (x )=1-cos 2x2-1-cos ⎝⎛⎭⎫2x -π32=12⎝⎛⎭⎫12cos 2x +32sin 2x -12cos 2x =34sin 2x -14cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π3,-π6上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π4上是增函数, 且f ⎝⎛⎭⎫-π3=-14,f ⎝⎛⎭⎫-π6=-12,f ⎝⎛⎭⎫π4=34, 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π3,π4上的最大值为34,最小值为-12. 21.(本小题满分12分)如图1所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(-3,4),β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为210.图1(1)求tan(2α-β)的值;(2)若π2<α<π,0<β<π2,求α+β.【解】 (1)由三角函数的定义知tan α=-43,∴tan 2α=2×⎝⎛⎭⎫-431-⎝⎛⎭⎫-432=247.又由三角函数线知sin β=210. ∵β为第一象限角,∴tan β=17,∴tan(2α-β)=247-171+247×17=16173.(2)∵cos α=-35,∵π2<α<π,0<β<π2,∴π2<α+β<3π2. ∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=45×7210-35×210=22.又∵π2<α+β<3π2,∴α+β=3π4.22.(本小题满分12分)已知向量a =(2cos ωx,1),b =⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4,-1⎝⎛⎭⎫其中14≤ω≤32,函数f (x )=a ·b ,且f (x )图象的一条对称轴为x =5π8. (1)求f ⎝⎛⎭⎫34π的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2-π8=23,f ⎝⎛⎭⎫β2-π8=223,且α,β∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,求cos ()α-β的值. 【解】 (1)∵向量a =(2cos ωx,1),b =⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4,-1=(2(sin ωx +cos ωx ),-1),∴函数f (x )=a ·b =2cos ωx (sin ωx +cos ωx )-1=2sin ωx cos ωx +2cos 2ωx -1=sin 2ωx +cos 2ωx=2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π4. ∵f (x )图象的一条对称轴为x =5π8,∴2ω×5π8+π4=π2+k π(k ∈Z ).又14≤ω≤32,∴ω=1,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, ∴f ⎝⎛⎭⎫34π=2sin ⎝⎛⎭⎫2×34π+π4=-2cos π4=-1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2-π8=23,f ⎝⎛⎭⎫β2-π8=223, ∴sin α=13,sin β=23.∵α,β∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2, ∴cos α=223,cos β=53,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=210+29.。
2019版高中数学人教A版必修4:第三章检测A 含解析
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1.1:由题意,得cos αcos β-sin αsin β+cos αcos β+sin αsin β=2cos αcos β=,所以cos αcos β=.1316:D2.sin 47°cos 43°+sin 137°sin 43°等于( )B.1C.-1D.12:sin 47°cos 43°+sin 137°sin 43°=sin 47°cos 43°+cos 47°sin 43°=sin 90°=1.:B3.函数y=3sin x-3cos x 的最大值是( )3A.3+4.A.15.函数f (x )=1-2sin 2,则f =( )(x +π4)(π6)B.- C. D.3121232:f (x )=1-2sin 2=cos 2=cos =-sin 2x ,(x +π4)(x +π4)(2x +π2)=-sin=-sin =-.π6)(2×π6)π332:A6.已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,则cos α=( )353-433+433±434±337.:C8.已知sin α-cos α=,α∈(0,π),则tan α=( )2B.- C. D.12222:将sin α-cos α=两边平方得sin 2α-2sin αcos α+cos 2α=2,即sin αcos α=-,212=-,sinαcosα2α+cos 2α=tanαtan 2α+112整理得2tan α+tan 2α+1=0,即(tan α+1)2=0,tan α=-1.故选A .9.10.则f (,k ∈Zkπ-π12,kπ+5π12],k ∈Zkπ+5π12,kπ+11π12],k ∈Zkπ+π6,kπ+2π3],k ∈Zkπ-π3,kπ+π6]:f (x )=2sin ,由题意得f (x )的最小正周期T=π,∴ω==2,∴f (x )=2sin ,令2k π-(ωx +π6)2πT =2ππ(2x +π6)x+≤2k π+,k ∈Z ,解得k π-≤x ≤k π+,k ∈Z ,则f (x )的单调递增区间是,k ∈Z .π6π2π3π6[kπ-π3,kπ+π6]11.解析12.cos 2β=1-2sin 2β=1-2×.(5)25:72513.设向量a =,b =,若a ∥b ,则sin 的值是 .(12,sinα)(32,cosα+23)(2α-5π6):因为a ∥b ,所以sin α,12(cosα+23)=32cos α+sin α,所以sin ,1213=32(α-π6)=13sin =sin =-cos =2sin 2-1=-1=-.(2α-5π6)(2α-π3-π2)(2α-π3)(α-π6)2979:-7914.15.C= 2sin =1.(6+C )sin .(π6+C )=12+C=+C=(舍去).5π6或π6π6C=.2π3:2π3三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)化简:.2cos 4x -2cos 2x +122tan (π4-x )·sin 2(π4+x )17.∈,∴2α∈(π,2π).(2)sin 2α=-.∴tan 2α=-2.2232tan 4α=.2tan2α1-tan 22α=-421-(-22)2=42718.(9分)已知函数f (x )=sin 2x-cos 2x.123(1)求f (x )的最小正周期和最小值;将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g (x )的图象.当x ∈时,求g (x )的值域.(1)f (x )=sin 2x-cos 2x=sin 2x-(1+cos 2x )=sin 2x-cos 2x-=sin,因此f (x )的最小正周1231232123232(2x -π3)‒3219.边在扇形的一半径对于题图①,MN=20sin θ,ON=20cos θ,S 1=ON ·MN=400sin θcos θ=200sin 2θ,所以当sin 2θ=1,即θ=45°时,=200 cm 2.S 1max 对于题图②,MQ=40sin(60°-α),MN=sin α,4033S 2=.80033[cos (2α-60°)-12]cos(2α-60°)=1,即2α-60°=0,α=30°时,cm 2.S 2max =400334003400320.。
【精品习题】高中人教A版数学必修4:第三章 章末检测 Word版含解析

第三章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分,考试时间120分钟.一、选择题:本大题共12题,每题5分,共60分.在下列各题的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.sin68°sin67°-sin23°cos68°的值为( )A .-22 B.22C.32D .1 答案:B 解析:原式=sin68°cos23°-cos68°sin23°=sin(68°-23°)=sin45°=22. 2.已知sin α=23,则cos(π-2α)等于( )A .-53 B .-19C.19D.53 答案:B解析:cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin 2α)=2sin 2α-1=2×49-1=-19.3.已知M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪sin x =12,N =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪cos2x =12,则( ) A .M =N B .M ⊆NC .N ⊆MD .M ∩N =∅ 答案:B解析:由cos2x =1-2sin 2x =12,得sin x =±12,故选B.4.已知sin θ2=-45,cos θ2=35,则角θ终边所在象限是( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 答案:C解析:∵sin θ=2sin θ2cos θ2=-2425<0,cos θ=cos 2θ2-sin 2θ2=-725<0,∴θ终边在第三象限.5.函数f (x )=lg (sin 2x -cos 2x )的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π-3π4<x <2k π+π4,k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π+π4<x <2k π+5π4,k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ k π-π4<x <k π+π4,k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π+π4<x <k π+3π4,k ∈Z答案:D解析:∵f (x )=lg (sin 2x -cos 2x )=lg (-cos2x ),∴-cos2x >0,∴cos2x <0,∴2k π+π2<2x <2k π+3π2,k ∈Z ,∴k π+π4<x <k π+3π4,k ∈Z .6.若函数f (x )=sin ax +cos ax (a >0)的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-π8,0 B .(0,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-18,0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18,0 答案:C解析:由条件得f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax +π4,又函数的最小正周期为1,故2πa =1,∴a =2π,故f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx +π4.将x =-18代入得函数值为0. 7.tan20°+tan40°+3(tan20°+tan40°)等于( )A.33 B .1 C. 3 D. 6 答案:C解析:tan60°=tan20°+tan40°1-tan20°·tan40°,∴3-3tan20°tan40°=tan20°+tan40°, ∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°= 3.8.关于x 的方程sin x +3cos x -a =0有实数解,则实数a 的范围是( ) A .[-2,2] B .(-2,2) C .(-2,0) D .(0,2) 答案:A解析:sin x +3cos x -a =0,∴a =sin x +3cos x=2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x +32cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,-1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3≤1,∴-2≤a ≤2.9.若α,β为锐角,sin α=2 55,sin(α+β)=35,则cos β等于( )A.2 55B.2 525C.2 55或2 525 D .-2 525 答案:B解析:cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,∵α为锐角cos α= 1-2025=55,∴sin(α+β)=35<sin α,∴α+β>π2.∴cos(α+β)=-1-925=-45, ∴cos β=-45×55+2 55×35=2 525.10.函数y =sin x 2+3cos x2的图象的一条对称轴方程为( )A .x =113πB .x =53πC .x =-53πD .x =-π3答案:C解析:y =sin x 2+3cos x 2=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π3, 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-53π=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-56π+π3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2=-2, ∴x =-53π为函数的一条对称轴.11.已知θ为第三象限角,若sin 4θ+cos 4θ=59,则sin2θ等于( )A.2 23 B .-2 23 C.23 D .-23 答案:A 解析:由sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=59,知sin 2θcos 2θ=29,又θ为第三象限角,∴sin θ·cos θ=23,sin2θ=2 23.12.设动直线x =a 与函数f (x )=2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x 和g (x )=3cos2x 的图象分别交于M ,N两点,则|MN |的最大值为( )A. 2B. 3 C .2 D .3 答案:D解析:f (x )=1-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2x =1+sin2x . |MN |=|f (a )-g (a )|=|1+sin2a -3cos2a |=|2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2a -π3+1|≤3. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13.cos π5cos 25π的值是________.答案:14解析:原式=12sin π5·2sin π5cos π5·cos 2π5=14sin π5·2sin 2π5cos 25π=14sinπ5sin 45π=14.14.已知sin α=12+cos α,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4的值为________. 答案:-142解析:∵sin 2α+cos 2α=1,sin α=12+cos α,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12+cos α2+cos 2α=1,∴2cos 2α+cos α-34=0,∴cos α=-1±74,∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,∴cos α>0,∴cos α=7-14,∴sin α=12+cos α=7+14, ∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=cos 2α-sin 2α22sin α-cos α=-2(sin α+cos α)=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫7+14+7-14=-142.15.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,则cos(α-β)的值为________.答案:2327解析:∵cos α=13,α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,∴sin α=2 23,∴sin2α=4 29,cos2α=-79.又cos(α+β)=-13,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=2 23.∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β) =⎝ ⎛⎭⎪⎫-79×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13+4 29×2 23=2327. 16.函数f (x )=3cos(3x -θ)-sin(3x -θ)是奇函数,则tan θ等于________.答案:- 3解析:∵f (x )是奇函数,∴f (0)=0,∴3cos(-θ)-sin(-θ)=0,∴3cos θ+sin θ=0,∴tan θ=- 3.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知sin α+cos αsin α-cos α=3,tan(α-β)=2,求tan(β-2α)的值.解:∵sin α+cos αsin α-cos α=tan α+1tan α-1=3,∴tan α=2,∵tan(α-β)=2,∴tan(β-α)=-2,∴tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=tan β-αtan α1+tan β-αtan α=-2-2122=43.18.(12分)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),|a -b |=2 55,求cos(α-β)的值.解:∵a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β), ∴a -b =(cos α-cos β,sin α-sin β),∴|a -b |=cos α-cos β2sin α-sin β2=2-2cos α-β=2 55,∴cos(α-β)=35.19.(12分)已知函数f (x )=-2 3sin 2x +sin2x + 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值;(2)在给出的直角坐标系中,画出函数y =f (x )在区间[0,π]上的图象.解:(1)f (x )=3(1-2sin 2x )+sin2x=sin2x +3cos2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π,最小值为-2.(2)列表:20.(12分)已知向量a =(sin θ,-2)与b =(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2.(1)求sin θ和cos θ的值;(2)若sin(θ-φ)=1010,0<φ<π2,求cos φ的值.解:(1)∵a ⊥b ,∴sin θ×1+(-2)×cos θ=0⇒sin θ=2cos θ.∵sin 2θ+cos 2θ=1,∴4cos 2θ+cos 2θ=1⇒cos 2θ=15.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴cos θ=55,sin θ=2 55.(2)解法一:由sin(θ-φ)=1010得, sin θcos φ-cos θsin φ=1010⇒sin φ=2cos φ-22, ∴sin 2φ+cos 2φ=5cos 2φ-2 2cos φ+12=1⇒5cos 2φ-2 2cos φ-12=0.解得cos φ=22或cos φ=-210, ∵0<φ<π2,∴cos φ=22.解法二:∵0<θ,φ<π2,∴-π2<θ-φ<π2.所以cos(θ-φ)=1-sin2θ-φ=31010. 故cos φ=cos[(θ-(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ)+sin θsin(θ-φ)=55×3 1010+2 55×1010=22. 21.(12分)已知函数f (x )=2sin x +2cos(x -π). (1)求函数f (x )的最小正周期和值域;(2)若函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫α,65,π4<α<3π4,求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α的值. 解:(1)由题意得,f (x )=2sin x +2cos(x -π)=2sin x -2cos x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4,因为-1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4≤1,所以函数f (x )的值域为[-2,2],函数f (x )的周期为2π.(2)因为函数f (x )过点⎝⎛⎭⎪⎫α,65, 所以f (α)=65⇒2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=65⇒ sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=35,因为π4<α<3π4, 所以0<α-π4<π2⇒cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4>0⇒cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=1-sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=45,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=2sin α=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α-π4+π4 =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4cos π4+2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4sin π4⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=725.22.(12分)在△ABC 中,f (B )=4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+B 2+3cos2B -2cos B .(1)若f (B )=2,求角B ;(2)若f (B )-m >2恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)f (B )=4cos B ·1-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+B 2+3cos2B -2cos B =2cos B (1+sin B )+3cos2B-2cos B=sin2B +3cos2B =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3. ∵f (B )=2,∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B +π3=2. ∵B 是△ABC 的内角,∴2B +π3=π2,则B =π12.(2)若f (B )-m >2恒成立,即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B +π3>2+m 恒成立. ∵0<B <π,∴π3<2B +π3<73π,∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B +π3∈[-2,2], ∴2+m <-2,即m <-4.。
2020_2021学年高中数学模块复习课第三章第3课时概率习题含解析新人教A版必修320201230

第3课时概率课后篇巩固提升基础巩固1.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是()A.恰有1名男生与恰有2名女生B.至少有1名男生与全是男生C.至少有1名男生与至少有1名女生1名男生与全是女生中的两个事件互斥且不对立符合要求;B中的两个事件之间是包含关系,不符合要求;C 中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件,故不互斥;D中的两个事件是对立的,不符合要求.故选A.2.《易经》是我国古代预测未来的著作,其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知,则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为()A.18B.14C.38D.12:正正正,正正反,正反正,反正正,正反反,反正反,反反正,反反反,共8种,其中出现两正一反的共有3种,故所求概率为38.故选C.3.把一枚质地均匀的骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率为()A.16B.14C.13D.12(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18个.而“在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点”包含的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9个.∴在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率为918=12.故选D.4.如图,在正方形围栏内均匀撒米粒,一只小鸡在其中随意啄食,此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是()A.14B.π4C.13D.π3A表示小鸡正在正方形的内切圆中,则事件A的几何区域为内切圆的面积S=πR2(2R 为正方形的边长),全体基本事件的几何区域为正方形的面积,由几何概型的概率公式可得P(A)=πR2(2R)2=π4,即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为π4.5.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,则从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为.5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为29.6.如图,在直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT 内的概率为.,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,所以OA落在∠yOT内的概率为60360=16.7.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率,有(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土),共10种等可能发生的结果.其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也是5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为12.8.某集团公司为了加强企业管理,树立企业形象,考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查,当不处罚时,有80人会迟到,得到如下数据:表中数据所得频率视为概率.(1)当处罚金额定为100元时,员工迟到的概率比不进行处罚时降低多少?(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A,B两类:A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为;B类是其他员工.现对A类和B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷调查,则前两位均为B类员工的概率是多少?设“当处罚金额定为100元时,迟到的员工改正行为”为事件A,则P(A)=80-40200=15,故当处罚金额定为100元时,员工迟到的概率比不进行处罚时降低15.(2)由题可知,A类员工和B类员工各有40人,故分别从A类员工和B类员工中抽出2人.设从A类员工中抽出的2人分别为A1,A2,从B类员工中抽出的2人分别为B1,B2.设“对A类与B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷调查”为事件M,则事件M中首先抽出A1的事件有(A1,A2,B1,B2),(A1,A2,B2,B1),(A1,B1,A2,B2),(A1,B1,B2,A2),(A1,B2,A2,B1),(A1,B2,B1,A2),共6种,同理首先抽出A2,B1,B2的事件也各有6种.故事件M共有4×6=24(种).设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N,则事件N有(B1,B2,A1,A2),(B1,B2,A2,A1),(B2,B1,A1,A2),(B2,B1,A2,A1),共4种.所以P(N)=424=16,故抽取的4人中前两位均为B类员工的概率是16.9.空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m3)为0~50时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为50~100时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为100~150时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为150~200时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染;当空气污染指数为200~300时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染;当空气污染指数为300以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.2017年8月18日某省x个监测点数据统计如下:(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x,y的值,并完成频率分布直方图;(2)在空气污染指数分别为50~100和150~200的监测点中,用分层抽样的方法抽取5个监测点,从中任意选取2个监测点,事件A“两个都为良”发生的概率是多少?∵0.003×50=15x ,∴x=100. ∵15+40+y+10=100,∴y=35.40100×50=0.008,35100×50=0.007,10100×50=0.002.频率分布直方图如图所示.(2)在空气污染指数为50~100和150~200的监测点中分别抽取4个和1个监测点,设空气污染指数为50~100的4个监测点分别记为a,b,c,d;空气污染指数为150~200的1个监测点记为E,从中任取2个的基本事件分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(b,c),(b,d),(b,E),(c,d),(c,E),(d,E)共10种,其中事件A “两个都为良”包含的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共6种,所以事件A “两个都为良”发生的概率是P (A )=610=35. 能力提升1.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A.910B.45C.12D.25,得从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中“甲或乙被录用”的所有不同的可能结果有9种,所求概率为910.2.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.7122名男生记为A 1,A 2,2名女生记为B 1,B 2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(B 1,B 2),(A 2,A 1),(B 1,A 1),(B 2,A 1),(B 1,A 2),(B 2,A 2),(B 2,B 1)12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2)4种情况,则发生的概率为412=13,故选A .3.甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛,比赛得分情况的茎叶图如图所示(单位:分),其中乙队的一个得分数字被污损,那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为( )A.15B.310C.25D.12。
最新人教A版高中数学必修四第3章三角恒等变换测试题(含详解)
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θ等于 (
)
6 A.- 5
4 B.- 5
4
6
C. 5
D.5
cos2θ+sin θcosθ 1+ tan θ 6
解析
原式=
cos
2
θ+
sin
2
θ
=1+
tan
2= θ
5.
答案 D
6.在△ ABC中,已知 sin Acos A=sin BcosB,则
△ ABC是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
第三章测试
( 时间: 120 分钟,满分: 150 分)
一、选择题 ( 本大题共 12 小题,每题 5 分,共
60 分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符
合题目要求地 )
1.sin105 °cos105°地值为 ( )
1
1
A. 4
B .- 4
3 C. 4
3 D.- 4
1
1
1
解析 原式= 2sin210 °=- 2sin30 °=- 4.
时, y
有最小值
1- 2
2 .
∴值域为
1- 2
2 1+ ,2
2 .
答案 C
24 11.已知 θ为第二象限角, sin( π-θ) =25,则
cos θ2地值为 (
)
3
4
A. 35
B. 5
3 C. ±5
4 D.±5
24
24
解析 由 sin( π-θ) =25,得 sin θ=25.
7 ∵θ为第二象限地角,∴ cosθ=- 25.
A. 2
2 B. 2
3
C. 2
人教版高中数学必修4第三章单元测试(二)- Word版含答案
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2018-2019学年必修四第三章训练卷三角恒等变换(二)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.22cos 15sin 15︒-︒的值为( )A .12B .2 C .3 D .62.函数sin 2cos cos 2sin 3636y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象的一条对称轴方程是( ) A .4x π=B .2x π=C .x =πD .2x 3π=3.已知()5sin 45α︒=+,则sin 2α等于( ) A .45-B .35-C .35D .454.sin 2sin 23y x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是( )A .,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .,1212π7π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .,12125π13π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .,36π5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.已知θ是锐角,那么下列各值中,sin cos θθ+能取得的值是( ) A .43B .34 C .53D .126.sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( ) A .12-B .12C .3-D .3 7.已知tan 222θ=-,22θπ<<π,则tan θ的值为( ) A .2 B .2-C .2D .2或2-8.函数sin cos y x x =-的图象可以看成是由函数sin cos y x x =+的图象平移得到的.下列所述平移方法正确的是( ) A .向左平移2π个单位 B .向右平移4π个单位 C .向右平移2π个单位 D .向左平移4π个单位 9.设sin17cos45cos17sin45a =︒︒+︒︒,22cos 131b =︒-,3c =,则有( ) A .c a b << B .b c a <<C .a b c <<D .b a c <<10.化简1sin 4cos41sin 4cos4αααα+-++的结果是( )A .1tan 2αB .tan 2αC .1tan αD .tan α11.如图,角α的顶点在坐标原点O ,始边在y 轴的正半轴,终边经过点()3,4P --.角β的顶点在原点O ,始边在x 轴的正半轴,终边OQ 落在第二象限,且tan 2β=-,则cos POQ ∠的值为( )此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A.B.CD12.设12(,)a a =a ,12(,)b b =b .定义一种向量积:1212(,)(,)a a b b ⊗⊗=a b 1122(,)a b a b =.已知12,2⎛⎫= ⎪⎝⎭m ,,03π⎛⎫= ⎪⎝⎭n ,点,()P x y 在sin y x =的图象上运动,点Q 在()y f x =的图象上运动.且满足OQ OP =⊗+uuu v uu u vm n (其中O 为坐标原点),则()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为( ) A .2,π B .2,4π C .12,4π D .12,π二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13的值是________.14.已知sin cos2αα=,,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,则tan α=________.15.函数2sin si o (n c s )y x x x =+的最大值为________.16.已知α、β均为锐角,且()cos s n(i )αβαβ=+-,则tan α=________.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知tan α,tan β是方程26510x x +=-的两根,且02απ<<,2β3ππ<<. 求:tan()αβ+及αβ+的值.18.(12分)已知函数()22cos 2sin 4cos f x x x x -=+. (1)求3f ⎛⎫⎪⎝⎭π的值;(2)求()f x 的最大值和最小值.19.(12分)已知向量3si ()n ,cos αα=a ,2sin 5sin 4cos ()ααα=-,b ,3,22απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,且⊥a b .(1)求tan α的值; (2)求cos 23απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.20.(12分)已知函数()2s 2sin o 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的周期和单调递增区间;(2)若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解,求实数m 的取值范围.21.(12分)已知函数()()2cos 2s co 1f x x x x x +-=∈R . (1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值;(2)若()065f x =,0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求0cos2x 的值.22.(12分)已知02αβπ<<<<π,1tan 22α=,1os (0c )βα=-. (1)求sin α的值; (2)求β的值.2018-2019学年必修四第三章训练卷三角恒等变换(二)答 案一、选择题 1.【答案】C【解析】由题可知:22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=,故选C .2.【答案】C【解析】sin 2sin cos 362y x x x x ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,当x =π时,1y =-.故选C . 3.【答案】B【解析】()()sin cos sin 45ααα=+︒+,∴sin cos αα+ 两边平方,∴21sin 25α+=,∴3sin 25α=-.故选B . 4.【答案】B【解析】1sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2sin 223332y x x x x x x x πππ⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当12x π=时,min 1y =-;当12x 7π=时,max 1y =, 且T =π.故选B . 5.【答案】A 【解析】∵02θπ<<,∴,444θππ3π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,又sin cos 4θθθπ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,sin 14θπ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭,1sin cos θθ<+≤.故选A . 6.【答案】B【解析】sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒sin 9073sin 270()()()(47sin 18073sin 36)047+=︒+︒︒-︒︒+︒︒-︒ cos73cos47si ()()n73sin 47---=︒︒︒︒ cos73cos47sin73sin 4(7)︒︒-︒=︒- cos 73)4(7=-︒+︒ 1cos1202=-︒=.故选B . 7.【答案】B【解析】∵22θπ<<π,∴2θπ<<π, 则tan 0θ<,22tan tan 21tan θθθ==--2tan 0θθ-=,解得tan 2θ=或tan θ=(舍去),∴tan 2θ=.故选B . 8.【答案】C【解析】sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴sin cos 424y x x x x π⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选C .9.【答案】A【解析】sin62a =︒,cos26sin64b =︒=︒,sin60c =︒. ∵sin y x =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为递增函数,∴c a b <<.故选A .10.【答案】B【解析】原式()()222sin 2sin 2cos 22sin 22sin 2cos 2tan 22cos 22sin 2cos 22cos 2cos 2sin 2ααααααααααααα++===++. 故选B . 11.【答案】A【解析】11t ()an tan tan 2βθθ=π--=-=, ∴1tan 2θ=,2tan 43θ=.∴1212tan tan 21tan tan tan POQ θθθθ+-==-∠,∴2POQ <∠π<π.∴cos POQ ∠=.故选A . 12.【答案】C【解析】112,(),02,2332,OQ OP x x y y ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⊗+=⊗⎭⎝⎭uuu v uu u v m n ,则023x x π=+,012y y =,所以0126x x π=-,02y y =, 所以()11sin 226x y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭=.所以最大值12A =,最小正周期4T =π.故选C .二、填空题 13.【答案】1【解析】tan 60tan15tan 4511tan 60tan15︒-︒==︒=+︒︒1=. 14.【答案】 【解析】∵2sin cos212sin ααα==-,∴22sin sin 10αα+-=,∴1sin 2α=或1-. ∵,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,∴1sin 2α=,∴56α=π,∴tan α=.15.1【解析】2sin sin co ()1cos 2sin 2s n 214x y x x x x x π⎛⎫=-+- ⎝++⎪⎭=,∴max 1y . 16.【答案】1【解析】∵()cos s n(i )αβαβ=+-∴cos cos sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβ-=- ∴()cos sin cos s ()in cos sin αββαββ=++ ∵α、β均为锐角, ∴sin cos 0ββ+≠,∴cos sin αα=,∴tan 1α=.三、解答题 17.【答案】1,54π. 【解析】∵tan α,tan β是方程26510x x +=-的两根,∴5tan tan 6αβ+=,1tan tan 6αβ=,()115tan tan 6tan 1tan t n 61a αβαβαβ==--+=+. ∵02απ<<,2β3ππ<<, ∴2αβπ<+<π,∴54αβπ+=. 18.【答案】(1)94-;(2)6,73-.【解析】(1)2392cos sin 4cos 12333344f π2ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭π+-=-+-=-.(2)()()()2222cos 11cos 4cos 3cos 4cos 12f x x x x x x -+--=--=2273cos 33x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,x ∈R .因为[]cos 1,1x ∈-,所以,当cos 1x =-时,()f x 取得最大值6; 当2cos 3x =时,()f x 取得最小值73-. 19.【答案】(1)43-;(2).【解析】(1)∵⊥a b ,∴0⋅=a b .而3si ()n ,cos αα=a ,2sin 5sin 4cos ()ααα=-,b , 故226sin 5sin cos 4cos 0αααα⋅=+-=a b . 由于cos 0α≠,∴26tan 5tan 40αα+-=. 解之,得4tan 3α=-,或1tan 2α=.∵3,22απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,tan 0α<,故1tan 2α= (舍去).∴4tan 3α=-.(2)∵3,22απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,∴3,24απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭.由4tan 3α=-,求得1tan 22α=-或tan 22α=(舍去).∴sin2α=cos 2α=,1cos cos cos sin sin 2323223αααπππ⎛⎫+=-=-= ⎪⎝⎭20.【答案】(1)π,2,1212k k k π5π⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)[]0,1m ∈.【解析】(1)()2s 2sin o 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 222x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1sin 2x x =+2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,周期T =π;222232k x k ππππ-≤-≤π+, 解得()f x 的单调递增区间为,1212k k k π5π⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2),42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以22,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以()f x 的值域为[]2,3.而()2f x m =+,所以[]22,3m +∈,即[]0,1m ∈. 21.【答案】(1)π,最大值为2,最小值为1-;(2. 【解析】(1)由()2cos 2c o s 1f x x x x =+-,得())2()2cos 22sin 22sin cos 2co 6s 1x x f x x x x x π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭-,所以函数()f x 的最小正周期为π.因为()2sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数,又()01f =,26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,12f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2,最小值为1-.(2)由(1)可知()002sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为()065f x =,所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,从而04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.∴0000cos 2cos 2cos sin 2sin 66666cos 26x x x x ⎡ππ⎤ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.22.【答案】(1)45;(2)34π. 【解析】(1)22tan42tan 31tan 2ααα==-,∴sin 4cos 3αα=.又∵22sin cos 1αα+=, 解得4sin 5α=. (2)∵02αβπ<<<<π,∴0βα<-<π.∵os (c )βα=-,∴()sin βα=- ∴[]sin sin sin cos cos s ()()()in ββααβααβαα-+-+==-3455=+=∵,2βπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,∴34βπ=.。
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷):第三章 章末检测 含解析

第三章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分,考试时间120分钟.一、选择题:本大题共12题,每题5分,共60分.在下列各题的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.sin68°sin67°-sin23°cos68°的值为( )A .-22 B.22C.32D .1 答案:B解析:原式=sin68°cos23°-cos68°sin23°=sin(68°-23°)=sin45°=22.2.已知sin α=23,则cos(π-2α)等于( )A .-53B .-19C.19D.53 答案:B解析:cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin 2α)=2sin 2α-1=2×49-1=-19.3.已知M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ sin x =12,N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪cos2x =12,则( ) A .M =N B .M ⊆N C .N ⊆M D .M ∩N =∅ 答案:B解析:由cos2x =1-2sin 2x =12,得sin x =±12,故选B.4.已知sin θ2=-45,cos θ2=35,则角θ终边所在象限是( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 答案:C解析:∵sin θ=2sin θ2cos θ2=-2425<0,cos θ=cos 2θ2-sin 2θ2=-725<0,∴θ终边在第三象限.5.函数f (x )=lg (sin 2x -cos 2x )的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π-3π4<x <2k π+π4,k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π+π4<x <2k π+5π4,k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π-π4<x <k π+π4,k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π+π4<x <k π+3π4,k ∈Z 答案:D解析:∵f (x )=lg (sin 2x -cos 2x )=lg (-cos2x ),∴-cos2x >0,∴cos2x <0,∴2k π+π2<2x <2k π+3π2,k ∈Z ,∴k π+π4<x <k π+3π4,k ∈Z . 6.若函数f (x )=sin ax +cos ax (a >0)的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫-π8,0 B .(0,0) C.⎝⎛⎭⎫-18,0 D.⎝⎛⎭⎫18,0 答案:C解析:由条件得f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫ax +π4,又函数的最小正周期为1,故2πa=1,∴a =2π,故f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2πx +π4.将x =-18代入得函数值为0. 7.tan20°+tan40°+3(tan20°+tan40°)等于( )A.33B .1 C. 3 D. 6 答案:C解析:tan60°=tan20°+tan40°1-tan20°·tan40°,∴3-3tan20°tan40°=tan20°+tan40°, ∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°= 3.8.关于x 的方程sin x +3cos x -a =0有实数解,则实数a 的范围是( )A .[-2,2]B .(-2,2)C .(-2,0)D .(0,2) 答案:A解析:sin x +3cos x -a =0,∴a =sin x +3cos x=2⎝⎛⎭⎫12sin x +32cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫x +π3≤1,∴-2≤a ≤2. 9.若α,β为锐角,sin α=2 55,sin(α+β)=35,则cos β等于( )A.2 55B.2 525C.2 55或2 525 D .-2 525答案:B解析:cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,∵α为锐角cos α=1-2025=55, ∴sin(α+β)=35<sin α,∴α+β>π2.∴cos(α+β)=- 1-925=-45,∴cos β=-45×55+2 55×35=2 525.10.函数y =sin x 2+3cos x2的图象的一条对称轴方程为( )A .x =113πB .x =53πC .x =-53πD .x =-π3答案:C解析:y =sin x 2+3cos x2=2sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π3, 又f ⎝⎛⎭⎫-53π=2sin ⎝⎛⎭⎫-56π+π3 =2sin ⎝⎛⎭⎫-π2=-2, ∴x =-53π为函数的一条对称轴.11.已知θ为第三象限角,若sin 4θ+cos 4θ=59,则sin2θ等于( )A.2 23 B .-2 23C.23 D .-23 答案:A解析:由sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=59,知sin 2θcos 2θ=29,又θ为第三象限角,∴sin θ·cos θ=23,sin2θ=2 23. 12.设动直线x =a 与函数f (x )=2sin 2⎝⎛⎭⎫π4+x 和g (x )=3cos2x 的图象分别交于M ,N 两点,则|MN |的最大值为( ) A. 2 B. 3 C .2 D .3 答案:D解析:f (x )=1-cos ⎝⎛⎭⎫π2+2x =1+sin2x .|MN |=|f (a )-g (a )|=|1+sin2a -3cos2a |=|2sin ⎝⎛⎭⎫2a -π3+1|≤3. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13.cos π5cos 25π的值是________.答案:14解析:原式=12sin π5·2sin π5cos π5·cos 2π5=14sin π5·2sin 2π5cos 25π=14sinπ5sin 45π=14.14.已知sin α=12+cos α,且α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α-π4的值为________. 答案:-142解析:∵sin 2α+cos 2α=1,sin α=12+cos α,∴⎝⎛⎭⎫12+cos α2+cos 2α=1,∴2cos 2α+cos α-34=0, ∴cos α=-1±74,∵α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴cos α>0,∴cos α=7-14,∴sin α=12+cos α=7+14,∴cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α-π4=cos 2α-sin 2α22(sin α-cos α)=-2(sin α+cos α)=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫7+14+7-14=-142. 15.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则cos(α-β)的值为________. 答案:2327解析:∵cos α=13,α∈⎝⎛⎭⎫0,π2, ∴sin α=2 23,∴sin2α=4 29,cos2α=-79.又cos(α+β)=-13,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=2 23.∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=⎝⎛⎭⎫-79×⎝⎛⎭⎫-13+4 29×2 23=2327. 16.函数f (x )=3cos(3x -θ)-sin(3x -θ)是奇函数,则tan θ等于________. 答案:- 3解析:∵f (x )是奇函数,∴f (0)=0,∴3cos(-θ)-sin(-θ)=0,∴3cos θ+sin θ=0,∴tan θ=- 3.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知sin α+cos αsin α-cos α=3,tan(α-β)=2,求tan(β-2α)的值.解:∵sin α+cos αsin α-cos α=tan α+1tan α-1=3,∴tan α=2,∵tan(α-β)=2,∴tan(β-α)=-2,∴tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=tan (β-α)-tan α1+tan (β-α)tan α=-2-21+(-2)×2=43.18.(12分)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),|a -b |=2 55,求cos(α-β)的值.解:∵a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β), ∴a -b =(cos α-cos β,sin α-sin β), ∴|a -b |=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2-2cos (α-β)=2 55,∴cos(α-β)=35.19.(12分)已知函数f (x )=-2 3sin 2x +sin2x + 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值;(2)在给出的直角坐标系中,画出函数y =f (x )在区间[0,π]上的图象. 解:(1)f (x )=3(1-2sin 2x )+sin2x=sin2x +3cos2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π,最小值为-2.(2)列表:x 0 π12 π3 7π12 5π6π 2x +π3 π3 π2 π 3π2 2π 7π3f (x ) 3 2 0 -2 0 320.(12分)已知向量a =(sin θ,-2)与b =(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2. (1)求sin θ和cos θ的值;(2)若sin(θ-φ)=1010,0<φ<π2,求cos φ的值.解:(1)∵a ⊥b ,∴sin θ×1+(-2)×cos θ=0⇒sin θ=2cos θ.∵sin 2θ+cos 2θ=1,∴4cos 2θ+cos 2θ=1⇒cos 2θ=15.∵θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴cos θ=55,sin θ=2 55. (2)解法一:由sin(θ-φ)=1010得,sin θcos φ-cos θsin φ=1010⇒sin φ=2cos φ-22,∴sin 2φ+cos 2φ=5cos 2φ-2 2cos φ+12=1⇒5cos 2φ-2 2cos φ-12=0.解得cos φ=22或cos φ=-210,∵0<φ<π2,∴cos φ=22.解法二:∵0<θ,φ<π2,∴-π2<θ-φ<π2.所以cos(θ-φ)=1-sin 2(θ-φ)=31010. 故cos φ=cos[(θ-(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ)+sin θsin(θ-φ)=55×3 1010+2 55×1010=22. 21.(12分)已知函数f (x )=2sin x +2cos(x -π). (1)求函数f (x )的最小正周期和值域;(2)若函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫α,65,π4<α<3π4,求f ⎝⎛⎭⎫π4+α的值. 解:(1)由题意得,f (x )=2sin x +2cos(x -π)=2sin x -2cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4,因为-1≤sin ⎝⎛⎭⎫x -π4≤1,所以函数f (x )的值域为[-2,2],函数f (x )的周期为2π. (2)因为函数f (x )过点⎝⎛⎭⎫α,65, 所以f (α)=65⇒2sin ⎝⎛⎭⎫α-π4=65⇒ sin ⎝⎛⎭⎫α-π4=35,因为π4<α<3π4, 所以0<α-π4<π2⇒cos ⎝⎛⎭⎫α-π4>0⇒cos ⎝⎛⎭⎫α-π4=1-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π4=45, 所以f ⎝⎛⎭⎫π4+α=2sin α=2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α-π4+π4 =2sin ⎝⎛⎭⎫α-π4cos π4+2cos ⎝⎛⎭⎫α-π4sin π4⇒f ⎝⎛⎭⎫π4+α=725.22.(12分)在△ABC 中,f (B )=4cos B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4+B 2+3cos2B -2cos B . (1)若f (B )=2,求角B ;(2)若f (B )-m >2恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)f (B )=4cos B ·1-cos ⎝⎛⎭⎫π2+B 2+3cos2B -2cos B =2cos B (1+sin B )+3cos2B -2cos B=sin2B +3cos2B =2sin ⎝⎛⎭⎫2B +π3. ∵f (B )=2,∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B +π3=2. ∵B 是△ABC 的内角,∴2B +π3=π2,则B =π12.(2)若f (B )-m >2恒成立,即2sin ⎝⎛⎭⎫2B +π3>2+m 恒成立. ∵0<B <π,∴π3<2B +π3<73π,∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B +π3∈[-2,2], ∴2+m <-2,即m <-4.。
2018学年高中人教A版数学必修4单元测试卷:习题课四含解析
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3π 3π ,π ,2π 1 8 解析:因为 cosα+sinα=- ,α∈(0,π),所以 sin2α=- ,cosα<0,且α∈ 4 ,所以 2α∈ 2 , 3 9 17 所以 cos2α= 1-sin22α= .故选 A. 9 3 2.已知 sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα= ,β是第三象限角,则 sin(2β+7π)=( ) 5 24 24 A. B.- 25 25 12 12 C.- D. 25 25 答案:B 解析:∵sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sinβ= 3 4 - - 3 3 4 ,∴sinβ=- .又β是第三象限角,∴cosβ=- ,∴sin(2β+7π)=-sin2β=-2sinβcosβ=-2× 5 × 5 = 5 5 5 24 - . 25 3 1 3.已知角α,β均为锐角,且 cosα= ,tan(α-β)=- ,则 tanβ=( ) 5 3 1 9 A. B. 3 13 13 C. D.3 9 答案:D 3 4 4 1 解析:由于α,β均为锐角,cosα= ,则 sinα= ,tanα= .又 tan(α-β)=- ,所以 tanβ=tan[α-(α-β)]= 5 5 3 3 4 1 + tanα-tanα-β = 3 3 =3.故选 D. 1+tanαtanα-β 4 1 1- × 3 3 4.函数 f(x)=cos2x+sin2x+2(x∈R)的值域是( ) 5 ,3 A.[2,3] B. 2 C.[1,4] D.[2,4] 答案:A 解析:因为 f(x)=cos2x+sin2x+2=3-2sin2x+sin2x=3-sin2x,sinx∈[-1,1],所以 f(x)∈[2,3].故选 A. π π - , 2 5.已知 tanα,tanβ是方程 x +3 3x+4=0 的两根,且α,β∈ 2 2 ,则α+β等于( ) π 2π A. B.- 3 3 π 2π π 2π C. 或- D.- 或 3 3 3 3 答案:B π π - , 解析:由题意,得 tanα+tanβ=-3 3,tanαtanβ=4,∴tanα<0 且 tanβ<0.又∵α,β∈ 2 2 ,∴α,β∈(-
高中数学人教A版选修4-5113三个正数的算术--几何平均数测试(学生版)
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1.1.3 三个正数的算术几何平均不等式(检测学生版)时间:50分钟 总分:80分 班级: 姓名:一、选择题(共6小题,每题5分,共30分)1、已知正数x ,y ,z ,且x +y +z =6,则lg x +lg y +lg z 的取值范围是( )A .(-∞,lg 6]B .(-∞,3lg 2]C .[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞) 2.已知x ∈R +,有不等式:x +1x ≥2x ·1x =2,x +4x 2=x 2+x 2+4x 2≥33x 2·x 2·4x 2=3,….启发我们可能推广结论为:x +a xn ≥n +1(n ∈N +),则a 的值为( ) A .n n B .2n C .n 2 D .2n +13.设0<x <1,则x (1-x )2的最大值为( )A.18 B .1 C.3183 D.4274.已知a ,b ,c ∈R +,x =a +b +c 3,y =3abc ,z =a 2+b 2+c 23,则( ) A .x ≤y ≤zB .y ≤x ≤zC .y ≤z ≤x D.z ≤y ≤x 5.设x ,y ,z >0,且x +3y +4z =6,则x 2y 3z 的最大值为( )A .2B .7C .8D.1 6、设a,b,c ∈R +,且a+b+c=1,若M=··,则必有 ( ) A.0≤M< B.≤M<1C.1≤M<8D.M ≥8二、填空题(共4小题,每题5分,共20分)7.若x>0,y>0且xy 2=4,则x+2y 的最小值为 .8. 若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c 都能成立的一个等式可以是 .9、若a >2,b >3,则a +b +1(a -2)(b -3)的最小值为________. 10.已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1,对于下列不等式:①abc ≤127;②1abc≥27;③a 2+b 2+c 2≥13.其中正确的不等式序号是________. 三、解答题(共3小题,每题10分,共30分)11、求函数f(x)=x(52x)2的最大值. 12.已知a ,b ,c 均为正数,证明:a 2+b 2+c 2+(1a +1b +1c )2≥63,并确定a ,b ,c 为何值时,等号成立.13.已知x ,y ,z ∈R +,x +y +z =3.(1)求1x +1y +1z的最小值; (2)证明:3≤x 2+y 2+z 2<9.。
【优质文档】必修4第三章模块综合试卷
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所以
ωπ 2+
π4≥
π 2,
ωπ+ π4≤32π,
0<ω≤2,
解得
1≤ω≤ 2
5 4,故选
A.
10.已知正三角形 ABC 的边长为 2 3,平面 ABC 内的动点 P,M 满足 ||= 1,=,则 ||2 的最大 值是 ( )
43 A. 4
49 B. 4
C.37+46 3 答案 B
D.
37+ 2 4
所以 x= 2x0- 3, y= 2y0,
代入点 P 的轨迹方程,得
x0-
3 2
2+
3 y0- 2
2=
1 4,
所以点 M 的轨迹方程为
x-
3 2
2+
3 y-2
2=
1 4
,
它表示以
33 2 ,2
为圆心,以
1 2为半径的圆,
所以 ||max=
23+
3
2+
3 2-0
2+ 12= 72,
所以
||2max=
49 4.
π个单位,那么所得的图象对应的函数解析式是 6
()
A . y= sin 2x
B. y=cos 2x
2π C.y= sin 2x+ 3
π D. y= sin 2x- 6
答案 D
解析 ∵f(x)= sin 2x+ π6 ,
π
π
∴将函数 f(x)= sin 2x+ 6 的图象向右平移 6个单位长度,
得f
π x- 6 =sin
2
x-
π 6+
π 6=
sin
π 2x-6 ,
所得的图象对应的函数解析式是
π y=sin 2x-6 ,
故选 D.