高考数学一轮复习 第十三章 第2讲 古典概型配套限时规

第2讲古典概型
分层训练A级基础达标演练
(时间：30分钟满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．(2012·宿迁模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．
解析分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故
所求事件的概率P＝3
15＝
1
5
.
答案1 5
2．(2011·陕西卷改编)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．
解析最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有
6种，所以P＝6
36＝
1 6
.
答案1 6
3．(2012·滨州月考)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为________．
解析试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36(个)基本事件．事件点P在x＋y＝5
下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P＝6
36
＝
1
6
.
答案1 6
4．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．
解析要及格必须答对2道或3道题，共C23C12＋C33＝7(种)情形，故P＝7
C35＝
7
10
.
答案 710
5．(2011·苏州调研)已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ，则“以a ，b ，c 为边恰好构成三角形”的概率是________．
解析 A 中有两个数字，a ，b ，c 可重复，共有8种不同取法，其中可以构成三角形的取法有5种，分别为(2,2,2)，(5,5,5)，(5,5,2)，(5,2,5)和(2,5,5)，共5种，∴构成三
角形的概率为58
. 答案 58
6．(2012·南京、盐城调研一)袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．
解析 四个球中任取3个球的方法共有4种，其中恰好成等差数列的有两种：2,3,4和
2,4,6，∴P ＝24＝12
. 答案 12
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．
解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有：{1,2}，{1,3}两个．
因此所求事件的概率为P ＝26＝13
. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)(2,4)，共3个，
所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316
.
故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316
. 8．(2010·陕西卷)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，
样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570
＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P ＝0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为：
故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1
人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率P 2＝915＝35
. 分层训练B 级 创新能力提升
1．(2012·苏北四市调研一)已知a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，直线l 1：x －2y －1＝0，l 2：ax ＋by －1＝0，则直线l 1⊥l 2的概率为________．
解析 由l 1⊥l 2，从而a ＝2b ，有(2,1)，(4,2)，(6,3)共3种，其概率大小为P ＝36×6
＝112
. 答案 112 2．(2011·湖北卷)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为________．
解析 用间接法，得所求概率为P ＝1－12×27×2612×30×29＝1－117145＝28145. 答案 28145
3．(2012·阜宁第一次调研)连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，向量a ＝(m ，n )，若b ＝(－
1,1)，△ABC 中AB →与a 同向，CB →与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是________．
解析 ∵∠ABC 是钝角，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)夹角为锐角，∴n －m >0，m <n ，∴
包含15个基本事件，又共有36个基本事件，∴∠ABC 是钝角的概率是512
.
答案 512
4．(2012·重庆卷)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．
解析 6节课共有A 6
6种排法，按要求共有三类排法，一类是三门文化课排列，有两个空，插入2节艺术课，有A 33A 23×2种排法；第二类，三门文化课排列有两个空，插入1节艺术课，有A 33·A 13·2A 33种排法；第三类，三门文化课相邻排列，有A 33A 44种排法．则满足条件的概率为
2A 33A 23＋A 33A 13·2A 33＋A 33A 44A 66＝35
. 答案 35
5．(2011·广东卷)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
(1)求第66(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分，
∴16
(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90， 这6位同学成绩的方差
s 2＝16
×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49， ∴标准差s ＝7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，
恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，
所求的概率为410
＝0.4， 即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.
6．(2010·福建卷)设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .
(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件；
(2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)．
解 (1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，
即S ＝{x |－2≤x ≤3}．
由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16，
P (ξ＝1)＝26＝13，
P (ξ＝4)＝26＝13，
P (ξ＝9)＝16.
故ξ的分布列为：
所以E (ξ)＝0×16＋1×13＋4×3＋9×6＝6.。