广州市第47中学高二数学竞赛辅导讲义PAGE9
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高二数学竞赛班二试讲义
高二数学竞赛班二试讲义第7讲 不定方程班级 姓名一、知识要点：不定方程（组）是指未知数多于方程个数的方程（组）。
数论问题中，经常讨论的是在整数（或正整数）范围内求解不定方程（组）。
1．二元一次方程定义 形如(,,,,ax by c a b c Z a b +=∈不同时为零)的方程称为二元一次方程。
定理 当(,)|a b c 时，先求二元一次方程(,,)ax by c a b c Z +=∈的特解00x x y y =⎧⎨=⎩，则通解为00(,)()(,)b x x t a b t Z a y y t a b ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=-⎪⎩；当(,)|a b c /时，方程无解。
2．不定方程问题的常见类型（1）求不定方程的解；（2）判断不定方程是否有解；（3）判断不定方程解的数量。
3．不定方程问题的常见方法（1）公式法；（2）奇偶分析法；（3）数或式的分解法；（4）不等式估计法；（5）选择特殊模的方法；（6）构造法；（7）换元法；（8）费尔马无穷递降法。
二、例题精析例1．求不定方程3710725x y +=的整数解。
例2．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程111x y n+=恰有2011组满足x y ≤的正整 数解(,)x y ．例3．试求出所以的正整数,,a b c ，其中1a b c <<<，且使得(1)(1)(1)a b c ---是1abc -的约数。
例4．求出所有满足81517x y z +=的正整数三元组(,,)x y z 。
三、精选习题1．求不定方程231725x y -=的整数解。
2．求所有的有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有解都是整数。
3．(2013华约自主招生）已知x 、y 、z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(xy -1)(yz -1)(zx -1)，求x 、y 、z 的所有可能的值。
4．求方程3361x y xy -=+的正整数解5．求所有正整数,m n ，使23m n +为平方数。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高二数学竞赛班二试讲义
高二数学竞赛班二试讲义第8讲 几个特殊的不定方程班级 姓名一、知识要点：1．勾股数方程定义 形如222x y z +=的方程叫做勾股数方程，这里,,x y z 为正整数，并称满足条件(,)1x y =的解为方程基本解。
定理 勾股数方程222x y z +=满足条件2|x 且(,)1x y =的一切基本解可以表示为：22222,,x a b y a b z a b ==-=+，其中a b >为正整数，且,a b 一奇一偶，(,)1a b =。
2．不定方程xy zt =这个四元方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出。
设(,)x z a =，则,x ac z ad ==，(,)1c d =，则,y bd t bc ==3．中国剩余定理 设122,,,,n n m m m ≥⋅⋅⋅是两两互质的正整数，记 12n M m m m =⋅⋅⋅，(1,2,3,,)i iM M i n m ==⋅⋅⋅，则同余方程组1122(mod )(mod )(mod )n n x c m x c m x c m ≡⎧⎪≡⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪≡⎩有且仅有一组解1(mod )ni i ii x M a c M =≡∑，其中，1(mod )i ii M am ≡，1,2,3,,i n =⋅⋅⋅。
4．佩尔（Pell ）方程定义 设d N *∈，且不是完全平方数，则形如221x dy -=±的方程叫做佩尔方程 定理1 如果11(,)x y 是使1x 最小的方程221x dy -=的解（称为最小解），则1111111111()(),()()22n n n nn n x x d y x d y y x d y x d y d⎡⎤⎡⎤=++-=+--⎣⎦⎣⎦ 也是方程221x dy -=的一组解 每个解(,)n n x y 都可以取幂得到11()()n n n x d y x d y n N *+=+∈。
下表是佩尔方程219d≤≤，且d 不是完全平方数的最小解d 23 5 67 8 10 11 12 13 14 15 17 18 19 x 3 2 9 5 8 3 19 10 7 649 15 4 33 17 170 y 2 1 4231632 180 1 1 8 4 39定理2 如果11(,)x y 是使1x 最小的方程221x dy -=-的解（称为最小解），则212121211111111111()(),()()22n n n n n n x x d y x d y y x d y x d y d----⎡⎤⎡⎤=++-=+--⎣⎦⎣⎦也是方程221x dy -=-的一组解 每个解(,)n n x y 都可以取幂得到2111()()n n n x d y x d y n N -*+=+∈。
高中数学竞赛教案讲义
高中数学竞赛教案讲义主题：高中数学竞赛备考一、课程目标：1. 提高学生数学逻辑思维能力和解题能力；2. 增强学生对数学知识的理解和应用能力；3. 培养学生团队合作意识和竞赛意识；4. 培养学生学习数学的兴趣和信心。
二、教学内容：1. 数论知识与解题方法；2. 代数知识与解题方法；3. 几何知识与解题方法；4. 概率与统计知识与解题方法。
三、教学重点：1. 突出数学问题解题的逻辑思维；2. 突出数学知识运用的方法；3. 突出解题过程中的技巧与技法。
四、课堂教学安排：第一节课：数论知识与解题方法1. 介绍数论基础知识；2. 讲解数论解题方法；3. 练习数论题目。
第二节课：代数知识与解题方法1. 复习代数基础知识；2. 讲解代数解题方法；3. 练习代数题目。
第三节课：几何知识与解题方法1. 复习几何基础知识；2. 讲解几何解题方法；3. 练习几何题目。
第四节课：概率与统计知识与解题方法1. 介绍概率与统计基础知识；2. 讲解概率与统计解题方法；3. 练习概率与统计题目。
五、课后作业：1. 每节课的课后习题；2. 复习本节课的知识点；3. 复习前几节课的知识点；4. 组织小组讨论解题方法。
六、教学评估：1. 每节课的课堂练习成绩；2. 期中考试成绩；3. 期末考试成绩；4. 学生综合表现与进步情况。
七、教学心得与总结：数学竞赛备考是一个长期的过程，需要坚持不懈和不断努力。
教师要引导学生找到解题的方法，培养学生的数学思维和解题能力。
同时，学生也要积极主动，多加练习，不断提高自己的数学水平。
希望通过我们的共同努力，可以在数学竞赛中获得好的成绩。
高中数学竞赛讲义
数学竞赛讲义目录第一章集合 (2)第二章函数 (15)§2.1函数及其性质 (15)§2.2二次函数 (21)§2.3函数迭代 (28)§2.4 抽象函数 (32)第三章数列 (37)§3.1 等差数列与等比数列 (37)§3.2 递归数列通项公式的求法 (44)§3.3 递推法解题 (48)第四章三角平面向量复数 (51)第五章直线、圆、圆锥曲线 (60)第六章空间向量简单几何体 (68)第七章二项式定理与多项式 (75)第八章联赛二试选讲 (82)§8.1 平几名定理、名题与竞赛题 (82)§8.2 数学归纳法 (99)§8.3 排序不等式 (103)第一章集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.§1.1集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集φ.4. 集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集差集：记A 、B 是两个集合，则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作B A \.即A x B A ∈={\且}B x ∉.2.集合的运算性质(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律);(3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律);(5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律);(7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律)(8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n=.2)1(1-⋅+⋅n n n〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a 的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( )A.5B.4C.25D.10【解】0)1(2≥+x ,x x x -≥++∴12,且012>++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22yx y x ……+)1(20082008y x +的值.〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】B A = ,⎩⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x . B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy又由A ∈1及B A =,得.1B ∈所以⎩⎨⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==11y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾! 所以,1-=y x 代入得:++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21, *)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n 2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-. 当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++∈R }, {(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是． 【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =, 代入方程|1|x y ++=,得 2420x x --=，解出得 2x =± 所以，当 211a <= 时, M N =∅． ………… ③令 2y =，代入方程 |1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =．所以，当 3a > 时, M N =∅． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当 13a ≤≤+即 [13a ∈ 时,M N ≠∅．故填 [1-.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系.〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性. 【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1;{1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n 2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地，即15-n 是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ，则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1，即15-n 是4、3、2的公倍数，于是可令)(1215+∈=-N m m n ，由此可得：5112+=m n ①要使游行队伍人数最少，则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数，应为2.于是可令)(25+∈+=N p q m ，由此可得：512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ，25605+≥p n ② 所以10002560≥+p ，4116≥p . 取17=p 代入②式，得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例12】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，A B φ=，且A B ={1，2，3，…，n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ，则3∉A ，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B .同样6∉B ，所以6∈A ，这时10∉A ，，即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=24，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=25，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛) 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为( ) A.31 B.32 C.1 D.34 2. (2006年陕西预赛)b a ,为实数,集合M=x x f a P a b →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于( )A.1-B.0C.1D.1±3. (2004年全国联赛)已知M={}32|),(22=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A ．[26,26-] B.（26,26-）C.（332,332-） D.[332,332-] 4. (2005年全国联赛) 记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T },4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++=i T a a a a a M i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ 5. 集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有( )A.27B.28.C.26D.256.设A={n |100≤n ≤600,n ∈N }，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.7. 已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .8. 设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.9. (2006年集训试题)设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n }．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10. 设A ＝{a |a ＝22x y -,,x y Z ∈}，求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)； ⑵42 ()k A k Z -∉∈. 11.（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．12. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.(B 组)1. 设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ， S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立.证明：S 是由全体正有理数组成的集合.2．321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-（1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问（1）当a 取何值时，C B A )(为含有两个元素的集合？ （2）当a 取何值时，C B A )(为含有三个元素的集合？ 4．已知{}22(,)4470,,A x y x y x y x y R =++++=∈,{}(,)10,,B x y xy x y R ==-∈.⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A 与B 的距离定义;⑵依据⑴中的定义求出A 与B 的距离.5.设集合=P ｛不小于３的正整数｝，定义Ｐ上的函数如下：若P n ∈，定义)(n f 为不是n 的约数的最小正整数，例如5)12(,2)7(==f f .记函数f 的值域为Ｍ.证明：.99,19M M ∉∈6．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个.【参考答案】 A 组1.解： N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意可得，N M 的图形在第一象限的面积为A ＝613121=-.因此N M 的图形面积为32. 所以选B. 2.解:由M=P,从而1,0==a ab,即0,1==b a ,故.1=+b a 从而选C. 3. 解：MN ≠∅相当于点（0，b ）在椭圆2223x y +=上或它的内部221,3b b ∴≤≤≤.故选A.4.解: 用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈=M ' 中的最大数为107]2400[]6666[=.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400－2004=396.而=10]396[7]1104[将此数除以47，便得M 中的数.74707171432+++故选C. 5.解：A=φ时，有1种可能；A 为一元集时，B 必须含有其余2元，共有6种可能；A 为二元集时，B 必须含有另一元.共有12种可能；A 为三元集时，B 可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.从而选A.6．解：被7除余2的数可写为7k +2. 由100≤7k +2≤600.知14≤k ≤85. 又若某个k 使7k +2能被57整除，则可设7k +2=57n . 即57256227778n n n n k n -+--===+.即n －2应为7的倍数. 设n =7m +2代入，得k =57m +16. ∴14≤57m +16≤85. ∴m =0,1.于是所求的个数为85－(14－1)－2=70．７．解：依题意可得{13}A x x =<<,设1()2x f x a -=+,2()2(7)5g x x a x =-++要使A B ⊆,只需()f x ,()g x 在(1,3)上的图象均在x 轴的下方,则(1)0f ≤,(3)0f ≤,(1)0g ≤,(3)0g ≤,由此可解得结果.8．解：由于1995=15⨯133，所以，只要n >133，就有15n >1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了15⨯9=135, … 15⨯133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870.另一方面，把k 与15k 配对，（k 不是15的倍数，且1≤k ≤133）共得133—8=125对，每对数中至多能取1个数为A 的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填1870.9.解：考虑M 的n +2元子集P={n －l ，n ，n +1，…，2n }．P 中任何4个不同元素之和不小于(n －1)+n +( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以k ≥n +3．将M 的元配为n 对，B i =(i ，2 n +1－i )，1≤i ≤n ． 对M 的任一n +3元子集A ，必有三对123,,i i i B B B 同属于A(i 1、I 2、I 3两两不同)．又将M 的元配为n －1对，C I (i ，2n －i )，1≤i ≤n －1．对M 的任一n +3元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与123,,i i i B B B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数k = n +310．10.解: ⑴∵k ,1k -∈Z 且21k -＝22(1)k k --,∴21k -∈A ；⑵假设42 ()k A k Z -∈∈,则存在,x y Z ∈,使42k -＝22x y -即()()2(21)x y x y k -+=- (*) 由于x y -与x y +具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立.由此，42()k A k Z -∉∈.11.解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由AB ≠∅得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-．12．解：由④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 可知，若x ∈P ，则)( N k P kx ∈∈ （1）由①可设x ，y ∈P ，且x ＞0，y ＜0，则－y x ＝|y |x (|y |∈N ) 故x y ,－y x ∈P ,由④,0＝(－y x )+x y ∈P .（2）2∉P .若2∈P ，则P 中的负数全为偶数，不然的话，当－（12+k ）∈P （N k ∈）时，－1＝（－12-k ）＋k 2∈P ，与③矛盾.于是，由②知P 中必有正奇数.设),( 12,2N n m P n m ∈∈--，我们取适当正整数q ，使 12|2|->-⋅n m q ，则负奇数P n qm ∈-+-)12(2.前后矛盾B 组1．证明：设任意的r ∈Q ，r ≠0,由②知r ∈S ，或－r ∈S 之一成立.再由①，若r ∈S ，则S r ∈2；若－r ∈S ，则S r r r ∈-⋅-=)()(2.总之，S r ∈2.取r =1，则1∈S .再由①，2=1+1∈S ，3=1+2∈S ，…，可知全体正整数都属于S . 设S q p ∈,，由①S pq ∈，又由前证知S q ∈21，所以21q pq q p ⋅=∈S .因此，S 含有全体正有理数.再由①知，0及全体负有理数不属于S .即S 是由全体正有理数组成的集合. 2．证明：（1）若j i S y S x ∈∈,，则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,，所以每个集合中均有非负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.否则，设321,,S S S 中的最小正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最小的非负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S .若b ＞0,则0≤b －a ＜b ，与b 的取法矛盾.所以b =0.任取,1S x ∈因0∈2S ,故x －0＝x ∈3S .所以⊆1S 3S ，同理3S 1S ⊆. 所以1S =3S .（２）可能.例如1S =2S ={奇数}，3S ={偶数}显然满足条件，1S 和2S 与3S 都无公共元素. 3．解：C B A )(=)()(C B C A .C A 与C B 分别为方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=+=+1122y x y ax （Ⅱ）⎩⎨⎧=+=+1122y x ay x 的解集.由（Ⅰ）解得（y x ,）=（0，1）=（212a a+，2211a a +-）；由（Ⅱ）解得 （y x ,）=（1，0），（2211a a +-，212aa+） （1）使C B A )(恰有两个元素的情况只有两种可能：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+111012222a a a a ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+011112222aa a a由①解得a =0；由②解得a =1.故a =0或1时，C B A )(恰有两个元素.（2）使C B A )(恰有三个元素的情况是：212a a +=2211aa +- 解得21±-=a ，故当21±-=a 时，C B A )(恰有三个元素.4．解: (1)设1212,minP A P Bd P P ∈∈=(即集合A 中的点与集合B 中的点的距离的最小值),则称d 为A 与B 的距离.⑵解法一：∵A 中点的集合为圆22(2)(2)1,x y +++=圆心为(2,2)M --,令(,)P x y 是双曲线上的任一点,则2MP =22(2)(2)x y +++=224()8x y x y ++++ =2()24()x y xy x y +-+++8=2()4()28x y x y ++++ 令t x y =+,则2MP =22428(2)24t t t ++=++ 当2t =-时,即102xy x y =-⎧⎨+=-⎩有解，∴min MP =∴1d =解法二：如图,P 是双曲线上的任一点, Q 为圆22(2)(2)1x y +++=上任一点,圆心为M .显然,P M MP +Q Q ≥(当P M 、Q 、三点共线时取等号)∴min 1d MP =-.5．解：记!18=n 时，由于1，2，……18都是n 的约数，故此时.19)(=n f 从而.19M ∈ 若存在P n ∈，使99)(=n f ，则对于小于99的正整数k ，均有n k |，从而n n |11,|9，但是1)11,9(=，由整数理论中的性质9×11=99是n 的一个约数，这是一个矛盾！从而.99M ∉ 6．证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
高中数学竞赛培训讲义(word版43页)
2011高中数学竞赛培训教材编者：全国特级教师(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z 证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：（1）一切奇数属于M;（2）4k-2(k∈Z)不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。
3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)若A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素的确定例2．已知集合M ＝{X ，XY ，lg(xy)}，S ＝{0，∣X ∣，Y}，且M ＝S ，则(X ＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于( ).分析：解题的关键在于求出X 和Y 的值，而X 和Y 分别是集合M 与S 中的元素。
高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)
高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一) 高中数学竞赛讲义（一）──集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。
例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。
规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。
如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若称为A在I中的补集。
定义6 差集，。
定义7 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 设，求证：（1）；（2）；（3）若，则[证明]（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则（因为）。
高二联赛班秋季第9讲解析几何(2)
本讲的目标是熟练应对一试解析几何大题.近三年来的命题趋势是，一试解几大题难度向高考难度趋近，一般来说是一道圆锥曲线类的综合问题，同时与不等式、向量、数列包括数论（不定方程等）相联系；当与不等式相联系时，一般来说以均值为主；与数论相联系时，往往会给出一些参数，在确定参数过程中可能需要用到不定方程等数论知识； 与数列相联系的问题往往给出的是一个递归定义的图形和式子，问题归结为对某个等比或递归数列求和，最后还有可能与极限相联系，这种问题实际上在高考模拟题中也多有出现；【例1】 椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥， 则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【例2】 设曲线C 1:1222=+y ax (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x +m )在x 轴上方公有一个公共点P ． ⑴ 实数m 的取值范围（用a 表示）；经典精讲知识点睛第9讲解析几何 （2） 9.1解析几何综合⑵ O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a <21时，试求△OAP 的面积的最大值 （用a 表示）.【例3】 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点P刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当P 取遍圆周上所有点时， 求所有折痕所在直线上点的集合．【例4】 如题图，P 是抛物线22210y x y -+-=上的动点，点B C ,在直线1x =-上，圆22(1)1x y ++=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．【例5】AB为2=-上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．1y x【例6】 设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【例7】 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m m y x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.【例8】 过抛物线22y px =(p 为不等于2的素数)的焦点F,作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M,N 两点,线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点,交x 轴于Q 点.⑴ 求PQ 中点R 的轨迹L 的方程;⑵ 证明:L 上有无穷多个整点,但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.【例9】 在x 轴同侧的两个圆：动圆1C 和圆0244422222=+--+b ay abx y a x a 外切 （0,,≠∈a N b a ），且动圆1C 与x 轴相切，⑴ 求动圆1C 的圆心轨迹方程L;⑵ 若直线069584)17(422=-++--a a b ay abx 与曲线L 有且仅有一个公共点，求b a ,之值。
高二数学竞赛班讲义组合
高二数学竞赛班讲义组合高一数学竞赛班二试第二讲抽屉原理染色方法班级姓名一、知识要点：1．第I 型抽屉原理把m 个物体放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉的物品不少于l 个，其中,|1,|mn m nl m n m n =?+/??2．第II 型抽屉原理把m 个物体放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉的物品不多于l 个，其中m l n ??=3．运用抽屉原理的关键是构造恰当的“抽屉”和“物品”二、经典例题例1．（1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证：无论怎样染，总存在同色三角形。
例2．(第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家，其中每一个人和其他所有人的都通信，他们的通信中只讨论三个题目中的一个。
求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.例3．（首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.例4．（2010年联赛加试第四题）（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同。
问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？二、精选习题1．有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.2．如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？3．（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.4．（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.5．对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种。
高二数学竞赛班二试讲义
高二数学竞赛班二试讲义第9讲 进位制班级 姓名一、知识要点：1．进位制k 进制数，一般地，若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示成为一串数字连写在一起的形式110()n n k a a a a - (0n a k <<，10n a -≤，…，1a ，0)a k <．1110()110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯⨯+二、例题精析例1．（1）记集合{0,1,2,3,4,5,6}T =，1234(7){()|,1,2,3,4}i M a a a a a T i =∈=，将M 中 的元素按从大到小的顺序排列，则第2008个数是（ ）A ．(7)1100B ．(7)1101C ．(7)5565D ．(7)5566 （2）设{}n a 是递增的正整数数列：1,7,8,49,50,56,57,⋅⋅⋅，它们或者是7的幂，或者是7的不同的幂之和，则1000a = 。
例2．设()P x 是x 的十进制表示的各位数字之积，求2()1022P x x x =--成立的正整数x 。
例3．（1990.第32届IMO 备选题）证明：对任意自然数n ，二项式系数(0)mn C m n ≤≤中，奇数的个数是2的幂。
例4．（99年LS ）(满分50分)给定正整数n ，已知用克数都是正整数的k 块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，n 克的所有物品。
（1）求k 的最小值f (n )； （2）当且仅当n 取什么值时，上述f (n )块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。
三、精选习题1．设有集合{}3124234|0,1,2,,8,1,2,3,49999i a a a a A a i ⎧⎫=+++∈⋅⋅⋅=⎨⎬⎩⎭，把A 中各数按照从大到小的顺序排列，求第2010个数。
2．正整数n 的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得n 是某一个整数的四次方。
高中数学竞赛培训讲义(word版43页)
∴当 k=-4 时， (x12+x22)max=18.
例 3. 已知 f(x)=x2-2x+2 ，在 x∈[t,t+1] 上的最小值为 g(t) ，求 g(t) 的表达式。
解： f(x)=(x-1)2+1 (1) 当 t+1<1 即 t<0 时， g(t)=f(t+1)=t2+1
(2) 当 t ≤ 1≤ t+1 ，即 0≤ t ≤ 1 时， g(t)=f(1)=1 (3) 当 t>1 时， g(t)=f(t)=t2-2t+2
0
a)
fmin=min{f(p),f(q)}
例 1. 当 x 为何值时，函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+ … +(x-an)2 取最小值。
解：∵ f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+ …+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2 … +an)x+(a12+a22+ …
中取得，最值情况如下表：
-b/2a ∈ [p,q]
-b/2a [p,q]
a>
fmin=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4
0
a)
fmin=min{f(p),f(q)} fmax=max{f(p),f(q)}
fmax=max{f(p),f(q)}
a<
fmax=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4
5 / 43
又 1-x2=2y2 ≥ 0，∴ x2≤1，－ 1≤x≤ 1 . ∴当 x=2/3 时， y=( √10)/6 ，（2x+3y2） max=16/3 ； 当 x=-1 时， y=0， （ 2x+3y2 ） min=－ 2 (2) 由 3x2+2y2=6x ，得 y2=(3/2)x(2-x) ，代入 x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2 又 y2=(3/2)x (2-x) ≥ 0，得 0≤ x≤ 2. 当 x=2，y=0 时，（x2+y2 ）max=4；当 x=0，y=0 时，(x2+y2)min=0 三、二次函数与二次方程 设 f(x)=ax2+bx+c(a ≠ 0) 的二实根为 x1,x2 ， (x1 ＜x2) ，Δ =b2-4ac ，且α、β ( α＜β ) 是预先给定的 两个实数。 1．当两根都在区间 ( α , β ) 内，方程系数所满足的充要条件 ∵α＜ x1 ＜ x2＜β，对应的二次函数 f(x) 的图象有下列两种情形
高二数学竞赛培训讲义6-10套
映射与函数的最值一、基础知识 1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →. 2．单射若:f A B →是一个映射且对任意,x y A ∈，x y ≠，都有()()f x f y ≠，则称之为单射.3．满射若:f A B →是一个映射且对任意y B ∈，都有一个x A ∈，使得()f x y =，则称:f A B →是A 到B 上的满射.4．一一映射一般地，设A ，B 是两个集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射.（即:f A B →既是单射又是满射）只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则1f-构成的映射，记作：1:f B A -→.5．函数设A ，B 都是非空的数集，f 是从A 到B 的一个对应法则.那么，从A 到B 的映射:f A B →就叫做从A 到B 的函数，记做()y f x =，其中x A ∈，y B ∈，原象集合A 叫做函数()f x 的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C B ⊆. 6．反函数若函数:f A B →是一一映射，则它的逆映射1:f B A -→叫原函数的反函数，通常记作1()y f x -=.二、基础训练1、在19×93的方格纸上画出主对角线，则它穿过_________个单位方格的内部.【解】主对角线穿过一个方格时，就会在方格内部留下一小段线段，因此每个方格对应于其内的这条小线段.这个网格共有20条竖线和94条横线，主对角线和所有竖线与横线共有112个交点，这112个交点可组成111条小线段.2、函数y =的最大值是_________，最小值是_________【解】导数法.y '==故y 在51[4,]12上单调增，在51[,5]12上单调减，从而max 2y =，min 1y =. 3、设定义在整数集上的函数()f x 满足52000()[(8)]2000n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩，则(1993)f =_____【解】(1993)[(19938)](1996)[(19968)](1999)f f f f f f f =+==+=[(19998)](2002)1997f f f =+==.4、求函数y =.AB【解】y =x 轴上点(,0)x到点(1,1)-和(1,1)的距离之和，故值域为)+∞.三、典型例题1、设集合{|011,}M x x x =≤≤∈Z ，集合{(,,,)|,,,F a b c d a b cd M =∈，映射:f F Z →使得(,,,)fa b c d a bc d→-，已知(,,,)39,(,,,)66f fu v x y u y x v →→，求,,,x y u v 的值. 【解】由f 的定义和已知数据，得3966(,,,)uv xy uy xv u v x y M -=⎧⎨-=∈⎩，将两式相加，相减并分别分解因式得()()105y v u x +-=，()()27y v u x -+=，显然，0,0u x y v -≥-≥，在,,,{|011,}x y u v x x x ∈≤≤∈Z 的条件下，011u x ≤-≤，105[]12211y v +≤+≤，即1022y v ≤+≤，但()|105y v +，可见1()15y v +=， 2()21y v +=，对应可知1()7u x -=，2()5u x -=.同理，由011y v ≤-≤，27[12211u x +≤+≤知322u x ≤+≤， 又有1()3u x +=，2()9u x +=.对应地1()9y v -=，2()3y v -=，于是有以下两种可能：（Ⅰ）15,7,9,3;y x u x u x y v +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=⎩ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围，因此（Ⅱ）无解. 2、设,x y R +∈，求u =.【解】将已知式变形为：u =222cos30x y xy ++-⋅.构造等腰直角三角形AOD ，如图，||||OA OD ==,OB OC 是AOD ∠的三等分线，||OB x =，||OC y =，则||||||||u AB BC CD AD =++≥= 由等面积法可解得，当3x y ==.3、求函数3422(21)x x y x x -=++的值域.【解法一】由于函数为奇函数，故只需考虑0x ≥的情形.（1）当01x ≤<时，由均值不等式有22222111()8118x x x y x x-+=≤+=++； （2）当1x =时，0y =；（3）当1x >时，222222211111||()2118118x x x x x x y x x x x +--+=⋅⋅≤+=++++，当1x =所以原函数的值域为11[,]88-.【解法二】222121411x x y x x-=⋅⋅++，令tan ,[0,)2x παα=∈，则111sin 4[,]888y α=∈-. 4、若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求u =.【解法一】易证222222222333(),(),()444x y xy x y y z yz z y z x zx x z ++≥+++≥+++≥+，所以[()()()]u x y y z z x ≥=+++++=13x y z ===时取等号）【解法二】设11()2z x y yi =+，21()2z y z zi =++，31()2z z x xi =+，所以123123||||||||u z z z z z z =++≥++【解法三】设1()2A x y y +，31())22B x y z y z +++，3(())2C x y z x y z ++++，则u OA AB BC OC =++≥5、在圆周上给定21(3)n n -≥个点，从中任选n 个点染成黑色，试证一定存在两个黑点，使得以它们为端点的两条弧之一的内部，恰好含有n 个给定的点. 【证明】若不然，从圆周上任何一个黑点出发，沿任何方向的第1n -个点都是白点，因而对于每一个黑点，都可得到两个相应的白点.这就定义了一个由所有黑点到白点的对应，因为每个黑点对应于两个白点，故共有2n 个白点（包括重复计数）.又因为每个白点至多是两个黑点的对应点，故至少有n 个不同的白点，这与共有21n -个点矛盾，故命题成立.6、把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平行四边形的个数.【解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形. 把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接B ′C ′. 将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交， 连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，{(,,,)|12}B i j k l i j k l n =≤<<<≤+.把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：:f A B →，下面我们证明f 是A 与B 的一一对应.事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同. 所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组(,,,)i j k l ，12i j k l n ≤<<<≤+，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有42()()n card A card B C +==.加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C四、课后作业金版奥数教程高一分册P109-116同余（一）知识、技能、方法 一、同余的概念及性质定义：设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 用m 除所得的余数相同，则称a ，b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）；若所得的余数不相同，称a ，b 对模m 不同余，记为a ≡b （mod m ）.例如，15≡7（mod 4），－23≡12（mod 7）.当0b m ≤<时，a ≡b （mod m ），则称b 是a 对模m 的最小非负剩余.同余有如下两种等价定义法：①若m|a －b ，则称a 、b 对模m 同余；②若a =b+mt （t ∈Z ），则称a 、b 对模m 同余.性质：（1）0(mod )|a m m a ≡⇔； （2）(mod )a a m ≡（反身性）(mod )(mod )a b m b a m ≡⇔≡（对称性） (mod )(mod )(mod )a b m a c m b c m ≡⎫⇒≡⎬≡⎭（传递性）（3）若(mod )a b m ≡，(mod )c d m ≡，则① (mod )a c b d m ±≡±； ② (mod )ac bd m ≡.（4）若(mod ),0,1,2,,i i a b m i n ≡=，则1010(mod )nn n n a x a x a b x b x b m +++≡+++.特别地，设10()()n n i f x a x a x a a Z =+++∈，若(mod )a b m ≡，则()()(mod )f a f b m ≡.（5）若(mod )ac bc m ≡，则(mod)(,)ma b m c ≡.特别地，又若(,)1m c =，则(mod )a b m ≡. 这个性质说明同余式两边的同一非零因数，不能像等式那样“约去”，只有当这非零因数与模互质时，才可“约去”.（6）(mod )a b m ≡，而|(0)d m d >，则(mod )a b d ≡. （7）设(mod )a b m ≡，①若0c >，则(mod )ac bc mc ≡；②d 为a 、b 、m 的任一公约数，则(mod )a b m d d d≡. （8）若1(mod )a b m ≡，2(mod )a b m ≡且12(,)1m m =，则12(mod )a b m m ≡. （9）若(mod )a b m ≡，则(,)(,)a m b m =.（10）每一个整数a 恰与0，1，…，m -1这m 个数中的某一个对模m 同余. 二、剩余类和完全剩余系（1）剩余类：设m ∈N*，把全体整数按其对模m 的余数r （0≤r ≤m －1）归于一类，记为r k ，每一类r k （r=0，1，…，m －1）均称模m 的剩余类（也称为同余类）.根据定义，剩余类具有如下性质：①0121m Z k k k k -=⋃⋃⋃，其中()i j k k i j φ⋂=≠；②对任一数n ∈Z ，有惟一的0r 使0r n k ∈； ③对任意的,a b ∈Z ，,(mod )r a b k a b m ∈⇔≡. （2）完全剩余类：设011,,,m k k k -是模m 的（全部）剩余类，从每个r k 中任取一个数r a ，这m 个数110,,,-m a a a 组成的一个组称为模m 的一个完全剩余系，简称完系.显然，模m 的完全剩余系有无穷多个，但最常用的是下面两种：① 非负数最小完全剩余系：0，1，2，…，m －1； ② 绝对值最小完全剩余系：它随m 的奇偶性不同而略有区别.当21m k =+时为,(1),,1,0,1,,(1),k k k k -----（对称式）当2m k =时为(1),(2),,1,0,1,(1),k k k k ------或,(1),,1,0,1,,(1)k k k ----- 由定义不难得到如下判别完全剩余系的方法：定理一：m 个整数m a a a ,,,21 是模m 的一个完系⇔当i j ≠时，i a ≡)(mod m a j . 定理二：设（b ，m ）=1，c 为任意整数，若12,,,n a a a 为一个完系，则12,,,m ba c ba c ba c +++也是模m的一个完全剩余系.特别地，任意m 个连续整数构成模m 的一个完全剩余系.（3）欧拉函数：设m 为一正整数，用记号()m ϕ表示0，1，…，m －1中与m 互质的数的个数，把()m ϕ称为欧拉函数.（4）简化剩余系：如果一个模m 的剩余类r k 中任一数与m 互质，则称r k 是与模m 互质的剩余类；在与模m 互质的每个剩余类中任取一个数（共)(m ϕ个）所组成的数组，称为模m 的一个简化剩余系. 定理三: 12(),,,m a a a ϕ是模m 的简化剩余系(,)1i a m ⇔=且(mod )(,,1,2,())i j a a m i j i j m ϕ≡≠=.（判别方法）定理四：在模m 的一个完全剩余系中，取出所有与m 互质的数组成的数组，就是一个模m 的简化剩余系. （构造方法） 定理五：设12(),,,m a a a ϕ是模m 的简化剩余系，若（k ，m ）=1，则)(21,,,m ka ka ka ϕ 也是模m 的简化剩余系.三、一次同余方程（1）设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++为x 的整系数多项式，同余式()0(mod )f x m ≡，0(mod )n a m ≡叫做一元n 次同余方程；若c 使得()0(mod )f c m ≡成立，则(mod )x c m ≡叫做同余方程)(mod 0)(m x f ≡的一个解.（2）)(mod m b ax ≡（其中m | a ）称为一次同余方程. 定理一：若(,)1a m =，则)(mod m b ax ≡有一个解.定理二：若(,)1a m d =>，d|b ，则)(mod m b ax ≡无解，其中)(mod 0m a ≡.定理三：若(,)1a m d =>，则)(m o d m b ax ≡有d 个解.并且，若)(m o d 1m x βα=的一个解为1(mod )x r m ≡，则d 个解为：1,,1,0),(mod 1-=+≡d k m km r x ，其中.,,1dm m db da ===βα定理四：对同余方程组⎩⎨⎧≡≡).(mod ),(mod 2211m c x m c x 记.],[,),(2121M m m d m m ==①若d | 21c c -，则此同余方程组无解；②若21|c c d -，则此同余方程组有对模M 的一类剩余解.四、模m 的阶定义：设m>1是一个固定的整数，a 是与m 互素的整数，则存在整数k ，1≤k ＜m ，使得)(mod 1m a k ≡，我们将具有这一性质的最小正整数（仍记为k ）称为a 模m 的阶.性质：①设(,)1a m =，k 是a m 模的阶，ν,u 是任意整数，则(mod )u va a m ≡的充要条件是(mod )u k ν≡.特别地，)(mod 1m a u≡的充分必要条件是k | u .②设a m a ,2),(=模m 的阶为k ，则数列,,,,32 a a a 模m 是周期的，且最小正周期是k ，而k 个数k a a a ,,,2 模m 互不同余.③设(,)1a m =，则a 模m 的阶整除欧拉函数()m ϕ．特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1.（二）例题分析例1、求使21n+能被3整除的一切自然数n .例2、求2999最后两位数字.例3、求证31980+41981能被5整除.例4、证明：正整数a 是9的倍数的充要条件是a 的各位数码之和是9的倍数.例5、设101010a =，计算某星期一后的第a 天是星期几？例6、求所有的素数p ，使241p +与261p +也是素数.例7、求满足|125|7m n -=的全部正整数,m n .例8、连续写出19到80的两位数，问：所得到的数192020……780能被1980整除吗？例9、试判断282726197319721971++能否被3整除？例10、求出所有满足8x +15y =17z 的正整数三元组（x ，y ，z ）.例11、证明：对于任意的非负整数n ，19×8n +17是合数.例12、设p 是一个素数，11k p ≤≤-，试证：1(1)(mod )k kp C p -≡-.例13、设a 和m 都是正整数，a >1，证明：).1(|-m a m ϕ例14、设m,a ,b 都是正整数，m>1，则.1)1,1),(-=--b a b a m m m例15、设1n >，证明：21n-不能被n 整除.数列的求和一、知识回顾本节主要内容有S n 与a n 的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；∑符号的运用. 掌握数列前n 项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等． 1.重要公式①1+2+…+n =21n (n +1) ②12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1) ③13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)22.数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3. 在等差数列中S m +n =S m +S n +mnd,在等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n ．4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项．应掌握以下常见的裂项：等)!1(1!1)!1(1④,ctg2ctg 2sin 1③,!)!1(!②,111)1(1①+-=+-=α-+=⋅+-=+n n n ααn n n n n n n n 5.错项相消法6.并项求和法二、基本训练1、数列{}n a 的各项为正数,其前n 项和n S 满足)1(21nn n a a S +=,则n a =______.2、（200 6天津）已知d c b a ,,,都是偶数，且d c b a <<<<0，90=-a d ，若c b a ,,成等差数列，dc b ,,成等比数列，则d c b a +++的值等于 ．3、（2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 _______4、(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)
高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二) 高中数学竞赛讲义（十）──直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=,tanα=.6．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。
且两者不重合，则l1//l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
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应用题专题[重点]1. 与函数、方程、不等式有关的应用问题2. 与数列有关的应用问题[难点]提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
[考点概述]数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。
解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。
当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。
一、求解应用题的一般步骤：1、审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。
3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。
4、解决数学问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。
5、返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。
二、应用题的常见题型及对策1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型：常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。
解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。
2、与数列有关的问题：常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。
解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。
3、与空间图形有关的问题：常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。
解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。
4、与直线、圆锥曲线有关的题型：常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。
常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。
5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型：常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。
6、与排列、组合有关的问题：运用排列、组合等知识解决7、与概率、统计有关的应用问题：这是近几年高考(新课程卷)的重点、热点，是必考内容，主要用概率公式和排列组合知识。
对常规型应用题，可使用下列“解题表”：（一）通读全题，初步估计本题属于哪种数学模型；（二）目标是什么?未知是什么?（三）清理题目中所有量：有哪些是已知量?哪些是未知量?哪些是常量?哪些是变量?是否需要设置新的量?（四）能否画个示意图?列个表?（五）条件中有哪些基本关系?是相等关系，还是不等关系？（六）涉及这些关系有哪些数学知识?能否将（三）中的量代入使之成为方程或不等式?（七）能否将上面的代数式化简?能否通过解方程或解不等式求出未知量?（八）完成并检验全题．[例题与练习]1．如图1，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）．Ａ．26 Ｂ．24 Ｃ．20 Ｄ．19图1 图2 图3讲解：这是2001年全国高考题，是一道典型的非常规应用题，所用数学知识甚至小学程度就够了，但许多考生却选择了错误的答案，究其原因，主要是“文字理解”这一关过不了．这些考生按图中“通路”求信息量，求出了3＋5＋12＝20，4＋6＋12＝22，7＋6＋12＝25，6＋8＋12＝26，故选Ａ．这里就是将“连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量”中“通过”没有理解正确．对最上面一条“通路”来说，它最多只能通过“3、5、12”中的最小值3个信息！依次还有4、6、6个，因此从A出发的信息到B最多有3＋4＋6＋6＝19个．正确答案为Ｄ．2 向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图2所示，那么水瓶的形状是（）．讲解：本题要求根据图2中函数关系的大致图象（粗略的），对图中四个形状容器可能相符的容器作出判断，这里没有数值的运算，甚至没有严格的形式推理，生活常识、图象的变化趋势（性质）是判断的依据．我们可以说：从图可见，若水深H从0变化到（Ｈ／2）时变化状况与（Ｈ／2）变化到H变化状况相比，注水量在减少，符合这一性质的只有选择支Ｂ．3．甲乙两地相距S公里，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度ｖ（千米／时）的平方成正比，并且系数为b，固定部分为a元．（1）将全程运输成本y表示成v的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车以多大速度行驶?讲解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为（S／ｖ），全程运输成本为ｙ＝ａ·（S／ｖ）＋ｂｖ２·（S／ｖ）＝S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ），所以所求函数及其定义域为ｙ＝S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ），ｖ∈（0，ｃ］．（2）由题意知S，ａ，ｂ，ｖ都是正数，故有S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ）≥2S．当且仅当（ａ／ｖ）＝ｂｖ，即ｖ＝时上式中等号成立．当ｖ＝≤ｃ，全程运输成本ｙ最小．当＞ｃ，ｖ∈（0，ｃ］时，有S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ）－S（（ａ／ｃ）＋ｂｃ） ＝S［（（ａ／ｖ）－（ａ／ｃ））＋（ｂｖ－ｂｃ）］ ＝（S／ｖｃ）（ｃ－ｖ）（ａ－ｂｃｖ）．因为ｃ－ｖ≥0，且ａ＞ｂｃ 2，故有ａ－ｂｃｖ≥ａ－ｂｃ 2＞0．所以S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ）≥S（（ａ／ｃ）＋ｂｃ）．且仅当ｖ＝ｃ时，全程运输成本ｙ最小．综上所述，为使全程运输成本y最小，当 ｖ＝≤ｃ时，行驶速度应为ｖ＝；当＞ｃ时，行驶速度应为ｖ＝ｃ．说明：根据生活常识，汽车速度不会是一个无穷大的量，本题题意中“速度不得超过c千米／时”是一个重要的条件，它不仅是在第（1）小题求定义域的依据，更是第（2）小题中分类讨论中分类的标准．故而注意这类实际意义中量所受的制约及在解题中的作用是非常重要的．4．如图3所示，开始时桶1中有a升水，t秒后剩余的水符合指数衰减曲线ｙ１＝ａｅ－ｎｔ，那么桶2中的水就是ｙ２＝ａ－ａｅ－ｎｔ.假定当5分钟后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多少分钟桶1中的水只有（ａ／4）．讲解：由题意得ａｅ－5ｎ＝ａ－ａｅ－5ｎ，即ｅ－5ｎ＝（1／2）．①设再过t分钟后桶1中的水只有（ａ／4），那么ａｅ－ｎ（ｔ＋5）＝（ａ／4），ｅ－ｎ（ｔ＋5）＝（1／4）．②将（1）式平方，得ｅ－10ｎ＝（1／4）．③比较②、③，得 －ｎ（ｔ＋5）＝－10ｎ，即ｔ＝5．所以再过5分钟后桶1中的水只有（ａ／4）．说明：从①式中可以解出ｎ＝－（1／5）ｌｎ（1／2），但这只是题目的一个过渡量，并无一定解出的必要．一些同学解出后，不仅增加了解题步骤，而且有可能陷入繁琐运算使解题夭折．5．若干毫升水倒入底面半径为2ｃｍ的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）．.6A B cmC D6．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）． A 5种 B 6种 C 7种 D 8种解析：设购买软件x 片，x ≥3且x ∈N *，磁盘y 盒，y ≥2且y ∈N *，则60x +70y ≤500，即6x +7y ≤50．①当x =3时，y =2，3，4.有3种选购方式.②当x =4时，y =2，3.有2种选购方式.③当x =5时，y =2.有1种选购方式.④当x =6时，y =2.有1种选购方式。
综上，共有7种选购方式，故选C.评述：此题考查不等式的应用，建模能力，分类讨论思想及应用意识.7.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ２，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画图的上、下各留8ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白，则当λ＝__________时，宣传画所用纸张面积最小讲解：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，则λx 2＝4840.设纸张面积为S ，有S ＝（x ＋16）（λx ＋10）＝λx 2＋（16λ＋10）x ＋160，将x ＝λ1022代入上式，得S ＝5000＋4410（8λλ5+）.当8λ＝λ5，即λ＝85（85＜1)时，S 取得最小值， 评述：本题主要考查建立函数关系式、求函数的最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．8.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少（1／5）．本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1／4）．（1）设ｎ年内（本年度为第一年）总投入为ａｎ万元，旅游业总收入为ｂｎ万元，写出ａｎ、ｂｎ的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入?9. 如图4，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为ｂ米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．（A 、B 孔的面积忽略不计）图4 图5 图6解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk ，其中k ＞0为比例系数，依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a ＞0，b ＞0） 得b =aa+-230（0＜a ＜30)①于是()2k k k k y 646430a a ab a 3234a 2a 2a 22a====--+--+++++18264)2(234ka a k=+⋅+-≥当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值.这时a =6，a =－10（舍去） 将a =6代入①式得b =3故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a 、b 值使ab 最大.由题设知4b +2ab +2a =60（a ＞0，b ＞0）即a +2b +ab =30（a ＞0，b ＞0） ∵a +2b ≥2ab 2 ∴2ab 2＋ab ≤30当且仅当a =2b 时，上式取等号.由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18 即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. ∴2b 2＝18．解得b =3，a =6. 故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.评述：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力10. 图5为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．（1）输入带钢的厚度为α，输出带钢厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过ｒ0．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊? （一对轧辊减薄率＝（输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚度／输入该对的带钢厚度）） （2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm.若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Ｌｋ.为了便于检修，请计算Ｌ１、Ｌ２、Ｌ３并填入下表．（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）解析：本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力。