黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二寒假开学检测数学(理)试题

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二开学检测
数学（理） 试 题
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题意的） 1、复数
2
5
-i 的共轭复数是（ ） A. 2+i B. 2-i C. 2--i D. i -2
2、总体由编号为50,49,,03,02,01
的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（ ）
A ．05
B ．09
C ．07
D ．20 3、已知抛物线x y 82
=，则它的焦点到准线的距离为( ). A. 4
B. 8
C.16
D. 2
4、如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随
机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
5、已知变量y x , 之间满足线性相关关系13.1^
-=x y ，且 y x ,之间的相关数据如下表所示：
0.1 3.1
则
（ ）
A. 8.0
B. 8.1
C. 6.0
D. 6.1
6、我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N≡n（modm ），例如10≡2（mod4）．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）
A. 13
B. 11
C. 15
D. 8
7、某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查.现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30
组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（ ）
A ．416
B ．432
C ．448
D ．464
8、广东省2018年新高考方案公布，实行“3+1+2”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为( ) A ．
21 B ．31 C ．41 D ．6
1
9、在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =
，则1AB 与B C 1所成角的大小为（ ）
A.
60 B.
90 C.
105 D.
75 10、以下命题正确的个数为（ ）
①已知32-i 是关于x 的方程022=++q px x 的一个根，则实数26,12==q p
②N M ,分别是四面体OABC 的棱BC OA ,的中点，P 是线段MN 的靠近N 点的三等分点，则3
1
3161++=
③如果点),(y x M 在运动过程中，总满足关系式
4)3()3(2222=-+-++y x y x ，则点
M 的轨迹是双曲线。

④若集合{}6,5,4,3,2,1=A ，则集合A 的不同子集个数为64个。

⑤某小组有3名男生和2名女生，从中任选 2名学生参加演讲比赛，则恰有1名男生和恰有2名男生为对立事件。

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 11、《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A ．288种 B ．144种 C ．720种 D ．360种
12、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为)0,1(F ，且离心率为21，ABC ∆的三个顶
点都在椭圆上，设ABC ∆三条边AC BC AB ,,的中点分别为点M E D ,,，且三条边所在直线
的斜率分别为321,,k k k ，且321,,k k k 均不为0，O 为坐标原点，若直线OM OE OD ,,的斜率之和为1，则
3
211
11k k k ++的值为（ ） A. 43-
B. 34-
C. 43
D. 3
4 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13、已知三个数=a 12(16) ，=b 25(7) ，=c 33(4) ，
则将它们按由小到大的顺序排列为________． 14、用数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的四位偶数有 个。

15、甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为
16、已知双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于
A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若5
,2
=
AF FB 则该双曲线的离心率为__________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧-=+=t
y t
x 148（t 为参数），以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为9)2cos 45(2=-θρ. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点M 到l 的距离的最大值.
18、某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2016级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，量出的身高如下(单位：cm)：
南方：158，170，166，169，180，175，171，176， 162，163. 北方：183，173，169，163，179，171，157，175，184，166.
（1）根据抽测结果，画出茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出统计结论． （2）设抽测的10名南方大学生的平均身高为169 cm ，将10名南方大学生的身高依次输入如图所示的 程序框图进行运算，问输出的s 大小为多少？并说明s 的统计学意义。

19、某高校数学与统计学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分
数X 分布在)150,100
[内.当*)),1(10,10[N n n n x ∈+∈时，其频率a n
y 1020
-=. （1）求a 的值；
（2）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数；
（3）从成绩在100～120分的学生中，用分层抽样的方法从中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选两人甲、乙，记甲、乙的成绩分别为n m ,，求概率)10(≥-n m P ．
20、在四棱锥ABCD P -中，侧面⊥PAD 底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，
E PD PA AD CD BC ADC AD BC ,3,2,1,90,//======∠ 为AD 的中点，
F 为PC
的中点。

（1）求证：PA ∥平面BEF ； （2）求二面角A BE F --的余弦值。

21、近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．
图1 图2
附注：①对于一组数据),(,),,(),,(2211n n v u v u v u ，其回归直线u v βα+= 的斜率和截距
的最小二乘估计分别为∑∑==--=
n
i i
n
i i i u
n u
v u n v
u 1
2
21^
β，u v ^
^βα-= ；
②参考数据：
．
（1）记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在]16,8( ”为事件A ，试估计A 的概率；
（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中x (单位：年)表示二手车的
使用时间， y (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用
bx a e y += 作为二手车平均交易价格y 关于其使用年限x 的回归方程，相关数据如下（其中
i i y Y ln = ，∑==n
i i Y Y 1
101）
： ∑=====10
1,
4.301,9.1,7.8,
5.5i i i y x Y y x 385,75.7910
1
210
1
==∑∑==i i i i
i x Y
x
根据回归方程类型及表中数据，建立y 关于x 的回归方程。

22、设椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率为23
，左顶点到直线022=-+y x 的距离
为
5
5
4． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，试探究：点
O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，试求AOB ∆面积S 的最小值．
牡一中2017级高二学年下学期开学检测数学（理）答案
17、（1） 0124:=-+y x l
1
9
:2
2=+y x C （2）17 18、【答案】（1）解：由题意画出茎叶图如图所示．
统计结论(给出下述四个结论供参考)： ①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；
②南方大学生的身高比北方大学生的身高更整齐；
③南方大学生的身高的中位数为169.5 cm ，北方大学生的身高的中位数是172 cm ； ④南方大学生的身高基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的身高分布较为分散
（2）解：由程序框图可得s 表示10位南方大学生身高的方差． 由题意得10位南方大学生身高的平均数169，
故方差为
．
s 是描述身高的离散程度的量，它的统计学意义是：s 的值越小，表示身高越整齐，s 的值越大，表示身高越参差不齐
19、Ⅰ）由题意知，n 的取值为10，11，12，13，14．把n 的取值分别代入
a
n
y 1020
-=， 可得（0.5﹣10a ）+（0.55﹣10a ）+（0.6﹣10a ）+（0.65﹣10a ）+（0.7﹣10a ）＝1．解得a ＝0.04．
（2）频率分布直方图如图：
这40名新生的高考数学分数的平均数为105×0.10+115×0.15+125×0.20+135×0.25+145×0.30＝130．
（3）这40名新生的高考数学分数在[100，110）的频率为0.1，
分数在[110，120）的频率为0.15，频率比0.1：0.15＝2：3．
按分层抽样的方法从成绩在100～120分的学生中，抽取[100，110）内2人，[110，120）内3人，
记[100，110）内2人为A,B ，[110，120）内3人，为a,b,c ．
从5名学生中随机抽取2名学生的基本事件为AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb,Bc,ab,ac,bc ，共10个，
甲、乙的成绩分别为n m ,，满足10
≥-n m 的有：Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb,Bc ，共6个.
所以
5
3106)10(=
=≥-n m P
20、.（1）略 （2）
3
3-
21、（1）解:由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在 的
频率为
，在
的频率为
所以
（2）解:由
得
，即 关于 的线性回归方程为
．
因为 ，
所以
关于 的线性回归方程为
，
即 关于 的回归方程为
22、（1）由已知，
因为故所求椭圆的方程为;
（Ⅱ）法一：设，，
①当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知，，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即
又因为点在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为
②当直线l的斜率存在时，设其方程为．
联立得：所以，
由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，且
故，化简得，故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值
法二：（若设直线方程为，也要对直线斜率为0进行讨论）设，
①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=-x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即
又因为点在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为
②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为．
联立得：所以，故
，
即,所以,
所以,化简得，故点O到直线AB的距离为
综上，点O到直线AB的距离为定值
（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1;
当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，
则直线OB的斜率为，由得，
同理故
令，则，故综上，△AOB 面积S的最小值为．
法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，，
②当直线l的斜率存在时，，且点O到直线AB的距离为，
故，
令，则，
4
≤S．综上，△AOB面积S的最小值为．
≤
因为，故1
5。