高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

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在空间坐标系中确定向量坐标的方法 用坐标形式表示向量需解决两个问题：一是恰当建立空间直角坐标系，通常选取 互相垂直的直线为坐标轴，顶点或中点为原点；二是正确求出向量的坐标．确定 向量的坐标一般有两种方法：①运用基底法，即把空间向量正交分解，用相互垂 直的三向量为一组基底表达某一向量，进而得坐标；②运用投影法，求出起点和 终点坐标．
解析：由O→A，O→B，O→C不能构成基底知O→A，O→B，O→C三向量共面，所以，O，A，
B，C 四点共面． 答案：D
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3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1 －3e2＋7e3，则 a，b 的坐标分别为________． 解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以 a＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． 答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)
4．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若 λe1＋μe2＋ve3＝0， 则 λ2＋μ2＋v2＝________. 解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 为不共面向量． 又∵λe1＋μe2＋ve3＝0， ∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0. 答案：0
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M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝－12A→B＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3. 所以M→N＝－12，0，12，D→C＝(0,1,0)．
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答案：D
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2．如果向量 a，b 为任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( )
A．a 与 b 共线
B．a 与 b 同向
C．a 与 b 反向
D．a 与 b 共面
解析：a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，说明 a 与 b 一定共线，故选 A.
答案：A
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O→N＝23O→P＝23×12(O→B＋O→C)＝13b＋13c. M→N＝O→N－O→M＝13b＋13c－13b－13c－13a＝－13a.
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用基向量表示向量 (1)空间中任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要是基底选定，这一向量 用基底表达的形式是唯一的． (2)用基向量 a，b，c 表示某一向量时，注意结合图形，灵活运用三角形法则或平 行四边形法则，选择的途径尽量简单．
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3．设 OABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点，且 OG＝3GG1， 若O→G＝xO→A＋yO→B＋zO→C，则(x，y，z)为( )
A.14，14，14 C.13，13，13
B.34，34，34 D.23，23，23
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[随堂训练]
1．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量的一个基底的是( )
A.A→B，A→C，A→D
B．A→B，B→C1，A→C1
C.A→B1，A→A1，C→1D
D.A→B，A→D，C→C1
解析：由条件知，A→B，A→D，C→C1不共面，故选 D.
C．(－3,2,3)
D．(－3，－2，－3)
解析：结合空间直角坐标系知选 C. 答案：C
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2．O，A，B，C 为空间四点，且向量O→A，O→B，O→C不能构成空间的一个基底，
则( )
A.O→A，O→B，O→C共线
B.O→A， O→B共线
C.O→B，O→C共线
D．O，A，B，C 四点共面
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又|O→O1|＝4，|O→A|＝4，|O→B|＝2， ∴D→O＝(－2，－1，－4)． ∵A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1) ＝O→B－O→A－A→A1. 又|O→B|＝2，|O→A|＝4，|A→A1|＝4， ∴A→1B＝(－4,2，－4)．
答案：D
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探究二 用基底表示向量 [典例 2] 空间四边形 OABC 中，M，N 是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，用向量 a，b，c 表示向量O→M，O→N，M→N. [解析] 如图，取 BC 中点 P，则 A，M，P，O，N，分别共线，连接 AP，OP. O→M＝O→A＋A→M＝a＋23A→P＝a＋23×12(A→B＋A→C) ＝a＋31(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) ＝a＋31b－13a＋31c－31a＝13a＋31b＋13c.
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第三十页，共三十二页。Fra bibliotekA→B1＝A→B＋B→B1＝A→B＋A→A1＝a＋b. ∴E→F·A→B1＝12(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝12(|b|2－|a|2)＝0. ∴E→F⊥A→B1，即 EF⊥AB1.
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探究一 基底的判断 [典例 1] 已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且O→A＝e1＋2e2－e3，O→B＝－3e1＋e2 ＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，能否以O→A，O→B，O→C作为空间的一个基底？
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[解析] 假设O→A，O→B，O→C共面，
内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，
所以 BD＝2，
所以 D 到 BC 的距离为 3，D 到 z 轴的距离为 1，
所以点 12/9/2021 D 的坐标为(0，－1， 3)． [答案] (0，－1， 3)
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[错因与防范] 1.本题易由于空间向量线性运算的几何意义理解不准确，空间几 何体中线段长度计算出错，而致误． 2．根据图形特征的空间直角坐标系，准确写出点的坐标，利用向量运算的几何 定义，进而正确得出所求的向量坐标．
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2.如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC， 设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点， 试用 a，b，c 表示B→F，B→E，A→E，E→F.
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解析：连接 BO，则B→F＝12B→P ＝12(B→O＋O→P)＝12(c－b－a) ＝－12a－12b＋12c. B→E＝B→C＋C→E＝－a＋12C→P＝－a＋12(C→O＋O→P)＝－a－12b＋12c. A→E＝A→P＋P→E＝A→O＋O→P＋12(P→O＋O→C)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. 12E→/9/F202＝1 12C→B＝12O→A＝12a.
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
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考纲定位
重难突破
1.理解空间向量基本定理，并能用基 重点：掌握空间向量的基本
本定理解决一些几何问题．
定理，并能用空间向量基本
2.理解基底、基向量及向量的线性组 定理解决一些简单问题．
合的概念．
难点：掌握空间向量的坐标
3.掌握空间向量的坐标表示，能在适 表示，能在适当的坐标系中
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判断一组向量能否作为空间的基底的方法 (1)关键是要判断它们是否共面，如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果 存在一个向量可以用另外的向量线性表示，也不能构成基底； (2)如果从正面难以入手，常用反证法或是借助一些常见的几何图形帮助我们进行 判断； (3)用反证法证明时，要结合空间向量共面定理．
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2．空间直角坐标系 以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为 原点 ，分别 以 e1，e2，e3 的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O-xyz. 3．空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量 p，一定可以把它 平移 ，使它的起点与原点 O 重合，得
到向量O→P＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p
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探究三 求空间向量的坐标 [典例 3] 在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中，∠AOB＝π2，AO＝4， BO＝2，AA1＝4，D 为 A1B1 的中点，在如图所示的空间直角 坐标系中，求D→O，A→1B的坐标． [解析] ∵D→O＝－O→D＝－(O→O1＋O→1D) ＝－[O→O1＋12(O→A＋O→B)] ＝－O→O1－12O→A－12O→B.
当的坐标系中写出向量的坐标.
写出向量的坐标.
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01 课前 自主(zìzhǔ)梳理
02 课堂 合作(hézuò)探究 03 课后 巩固(gǒnggù)提升
课时作业
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[自主梳理]
一、空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对于空间任一向量 p，存在有序实数 组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc . 其中{a，b，c} 叫作空间的一个基底， a，b，c 都叫作基向量． 二、空间向量的正交分解及其坐标表示 1．单位正交基底 三12个/9/20有21 公共起点 O 的 两两垂直 的单位向量 e1，e2，e3 称为单位正交基底．
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求空间向量坐标时易发生的错误
[典例] 如图，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点 O 是 BC
的中点，点 D 在平面 yOz 内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，
则点 D 的坐标是________． [解析] 在空间直角坐标系中，BC＝4，原点 O 是 BC 的中点，点 D 在平面 yOz
根据向量共面的充分必要条件有：O→A＝xO→B＋yO→C，
即 e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴－x＋3xy＝＋2y＝，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解．
∴O→A，O→B，O→C不共面，
12∴/9/2{02O1→A，O→B，O→C}可作为空间的一个基底．
＝ xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量 p 的单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标， 记作 p＝(x，y，z) ．
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[双基自测]
1．已知 A(3,2，－3)，则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( )
A．(－3，－2,3)
B．(－3,2，－3)
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解析：如图，由已知O→G＝34O→G1
＝34(O→A＋A→G1)
＝34[O→A＋13(A→B＋A→C)]
＝34O→A＋14[(O→B－O→A)＋(O→C－O→A)]
＝14O→A＋14O→B＋14O→C，
从而
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x＝y＝z＝14.
答案：A
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3．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点， 并且 PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量M→N，D→C的坐标．
解析：如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，且 PA⊥平面 ABCD， AD⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3，以{e1，e2，e3} 为基底建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为D→C＝A→B＝e2，
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5.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，D1B1 的中点，求证：EF⊥AB1. 证明：设A→B＝a，A→A1＝b，A→D＝c， 则E→F＝E→B1＋B→1F＝12(B→B1＋B→1D1) ＝12(A→A1＋B→D)＝12(A→A1＋A→D－A→B) ＝12(－a＋b＋c)，
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1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量 p＝a＋b，q＝a－b 构成基底
的向量是( )
A．2a
B．2b
C．2a＋3b
D．2a＋5c
解析：由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以 a，b，c 不共面，在四个选项中，
只有 D 与 p，q 不共面，因此，2a＋5c 与 p，q 能构成一组基底，故选 D.