福建省莆田四中高三数学上学期第一次月考试题新人教A

莆田四中2013-2014学年高三数学（理）上学期第一次月考试卷
说明：本卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |2
x x ≥}，则M ∩N ＝（ ）
A ．{0}
B ．{0,1}
C ．{－1,1}
D ．{－1,0,1}
2.若函数)
1lg(2
)(x x f -=
，则函数)(x f 的定义域是（ ）
A. ),1(+∞
B. ),1()1,0(+∞⋃
C.)0,1()1,(-⋃--∞
D. )1,0()0,(⋃-∞ 3．已知0a >，则“
2a
xdx =⎰
”是“2a =”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．设函数()2x
f x =，则下列结论中正确的是( )
A. (1)(2)(f f f -<<
B. ((1)(2)f f f <-<
C. (2)((1)f f f <<-
D. (1)((2)f f f -<<
5．下列说法错误的是 ( )
A ．“3cos 5α=
”是“7
cos 225
α=-”的充要条件 B ．命题p ：关于x 的函数2
34y x ax =-+在[1，+∞）上是增函数，则2
3
a ≤
C ．命题p ：存在R x ∈0,使得0102
0<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x D ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ” 6．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移
6
π
个单位，得到函数()y g x =的图象， 则它的一个对称中心是（ ） A ．(,0)2
π
-
B. (,0)6π
-
C. (,0)6π
D. (,0)3π
7．设函数2()()f x g x x =+，曲线)(x g y =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，
则曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ） A ．2 B ．14- C ．4 D ．12
-
8．已知函数x x x f 12)(3
-=，若)(x f 在区间)1,2(+m m 上单调递减，则实数m 的取值范围
2 1
3 第9题图
是（ ）A ．11≤≤-m B ．11<≤-m C ．11<<-m
D ．11≤<-m
9．如下图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针
上全 部移到另一根针上。

(1)每次只能移动一个金属片；
(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能 放在较小的金属片上面。

若将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动
的次数记为()f n ，则(5)f =（ ）
A. 33
B. 31
C.17
D. 15
10．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2
x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为
( ) A. 4
B. 5
C. 6
D.
7
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．） 11. 已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,
{a
b
a ，又可表示成}0,,{2
b a a +，则=+20122011b a
12. 一扇形的面积为12
cm ,它的周长是4cm ，则其圆心角为 弧度 13．化简：2
2cos (
)cos ()44
π
π
αα-++= 14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π
2
，x ∈R)的图象的一部分如图所示， 则函数f (x )的解析式是 .
15．若对于定义在R 上的函数f (x ) ,其图象是连续不断的，且存在常数λ(∈λR)使得
f (x +λ) +λf (x ) = 0对任意实数x 都成立，则称f (x ) 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于
“λ—伴随函数”的结论：
①f (x ) =0 是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”； ②f (x ) = x 不是“λ—伴
随函数”； ③f (x ) = x 2
是一个“λ—伴随函数”； ④“
2
1
—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是_______________（填上所有不正确．．．
的结论序号）． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
:0
3
x
p
x
-
>
-
16．（本小题满分13分）已知；
)5
(
)5
2(
:2≤
+
+
+
-a
a
x
a
x
q若是的
充分不必要条件，求实数a的取值范围。

17．（本小题满分13分）已知函数2
()3sin cos cos
f x x x x a
=++．
（Ⅰ）求()
f x的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若()
f x在区间[,]
63
ππ
-上的最大值与最小值的和为
3
2
，求a的值．
18．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD
-的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且2
PA=，E是侧棱PA上的动点。

（1）求三棱锥C PBD
-的体积；
（2）如果是的中点，求证平面；
（3）是否不论点在侧棱的任何位置，都有？证明你的结论。

19．（本小题满分1３分）
已知椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的两个焦点和短轴的两个端点都在圆221
x y
+=上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点，试探讨k为何值时，△OAB为直角三角形？
20．（本小题满分1４分）已知函数2
()(2)ln,
f x x a x a x
=-++其中常数0
a>.
q
p⌝
（1）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；
（2）当4a =时，若函数()y f x m =-有三个不同的零点，求m 的取值范围； （3）设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:(),l y g x =
当0x x ≠时，若
()()
0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类
对称点”，
请你探究当4a =时，函数()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个
“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.
21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．
如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中． （１）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
二阶矩阵M 有特征值8λ=，其对应的一个特征向量e =11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，并且矩阵M 对应的变换
将点(1,2)-变换成点(2,4)-． （Ⅰ）求矩阵M ；
（Ⅱ）求它的另一个特征值及对应的一个特征向量．
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3x t y t
=-⎧⎪⎨=⎪⎩，
（t 为参数），在极坐标系
（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）
中，
曲线C 的极坐标方程为2
4s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围.
（３）（本小题满分7分）选修4-5:不等式选讲
已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A ． （Ⅰ）若a ＝1，求A ；
（Ⅱ）若A ＝R ，求a 的取值范围．
莆田四中2013-2014学年上学期第一次月考
高三数学（理科）试卷参考答案
一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
D
C
D
A
C
C
B
B
C
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11. -1 12. 2 13. 1 14. f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
x ＋π4 15. ①③
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解：}
{1x 3<>=或x x P …………………………………………………3分
{⨯
=⌝p }3
1≤⨯≤………………………………………………………4分
q {
}5+≤⨯≤a a x ……………………………………………………………7分
q p 是⌝∴的充分不必要条件。

q p ⊆⌝∴…………………………………………9分
⎩⎨⎧≤≥+∴13
5a a 等号不同时成立。

………………………………………………………12分
12≤≤-∴a ……………………………………………………………13分
17. 解：（Ⅰ）1cos 2()22
x
f x x a +=
++ 1
sin(2)62
x a π=+
++.…………………………………………………3分 所以T =π． ………………………………………………………4分 由
3222262k x k πππ+π≤+≤+π， 得263
k x k ππ
+π≤≤+π．
故函数()f x 的单调递减区间是2[,]63
k k ππ
+π+π（k ∈Z ）
．……………7分 （Ⅱ）因为63x ππ
-≤≤，
所以52666x πππ
-≤+≤．
所以1sin(2)126
x π
-≤+≤．……………………………………10分
因为函数()f x 在[,]63
ππ
-上的最大值与最小值的和
1113
(1)()2222
a a +++-++=，
所以0a =．……………………………………………………13分
18、解：（1）∵
平面
，∴
平面
BCD …………………………………1分
13C PBD P BCD BCD V V S PA --==⋅V 1132BC CD PA =⋅⋅⋅1111232=⨯⨯⨯⨯13
=
即四棱锥
的体积为
1
3。

………………………………………………………4分 （2）连结交于，连结。

………………………………………5分 ∵四边形是正方形，∴是的中点。

又∵是的中点，∴ ……………………………………6分 ∵平面，平面 …… ……………………7分 ∴平面。

……………………………………………………8分 （3）不论点在何位置，都有。

…………………………………9分 证明如下：∵四边形是正方形，∴。

∵底面，且平面，∴。

………10分 又∵，∴ 平面。

………………………………11分 ∵不论点在何位置，都有平面。

∴不论点
在何位置，都有。

…………………………………13分
19．解：（Ⅰ）1b c ==Q
2222a b c ∴=+=…………………………………………………………………3分
所以椭圆方程为2
2
12
x y +=
………………………………………………4分
（Ⅱ）由已知直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：)2(-=x k y
由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12
)
2(2
2y x x k y 得 0288)21(2
222=-+-+k x k x k 由0∆>得：2
1
2
k <，即22(,22k ∈-
----6分 设
1122(,),(,)
A x y
B x y ，
22121222
882
,1212k k x x x x k k -+=⋅=++………………………………5分
（1）若O 为直角顶点，则0OA OB ⋅=u u u r u u u r
，即12120x x y y +=有 ，
Q 1212(2)(2)y y k x k x =-⋅-，所以上式可整理得，
2222
82401212k k k
k -+=++
，解，得k =
(k ∈…………8分 （2）若A 或B 为直角顶点，不妨设以A 为直角顶点，1
OA k k
=-
，则A 满足： 1(2)y x k y k x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，解得222
2121
k x k k
y k ⎧=⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
，代入椭圆方程，整理得，42210k k +-=
解得，k =
(22
k ∈-
…………………10分
∴k k ==OAB 为直角三角形．………13分.
21.解：（1）由2
()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数的定义域为}0|{>x x ， 且
22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x
-++--'=-++== .…………………1分
因为2a >，所以12a
>. 当01x <<或2a x >时，()0f x '>；当12
a
x <<时，()0f x '<，
所以()f x 的单调递增区间为(0,1),(,)2
a
+∞ (4)
分
（2）当4a =时，2(1)(2)
()x x f x x
--'=
.
所以，当x 变化时，)(/
x f ，)(x f 的变化情况如下：
x
（0,1） 1 （1,2） 2 （2，)∞+
)(/x f
+
—
+
)(x f 单调递增 )(x f 取极大值 单调递减
)(x f 取极小值 单调递增
所以51ln 41611)(2
-=+⨯-==）（极大值f x f ，
82ln 42ln 42622)(2-=+⨯-==）（极小值f x f .…………………………………7分
函数)(x f 的图象大致如下：
所以若函数m x f y -=)(有三个不同的零点，则
()
4ln 28,5m ∈--.…………………………9分
（3）由题意,当4a =时，4
()26f x x x
'=+
-， 则在点P 处切线的斜率=切k 64
2)(0
00/
-+
=x x x f . 所以()2
0000004()2664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭
200004
264ln 4x x x x x ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭
..……………………………………………………10分
令
()()()()()22
000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ϕ⎛
⎫=-=-+-+
----+ ⎪⎝
⎭
， 则
0()0
x ϕ=，
()()()0000000
4
4222262621x x x x x x x x x
x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+--+
-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭. 当02x <时，
()x ϕ在002,
x x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，所以当002,x x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
0()()0.x x ϕϕ<=
从而有002,
x x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
0)(0<-x x x ϕ；
当0x >时，
()x ϕ在002,x x ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，所以当002,x x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，0()()0.x x ϕϕ>=
从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()
0x x x ϕ<-
；所以在)+∞U 上不
存在“类对称点”.
当0x =时
，(2
2
()x x x
ϕ'=
，所以()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，故
()
0.x x x ϕ>-………13分
所以x =. ………………………………14分
21．(１) 解：（Ⅰ）设M =a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则由a b c d ⎛⎫
⎪
⎝⎭
11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=811⎡⎤⎢⎥⎣⎦得a b c d +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=88⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，即a +b =c +d =8． 由a b c d ⎛⎫
⎪
⎝⎭12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,得2224a b c d -+-⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，从而-a +2b =-2，-c +2d =4．
由a +b =8及-a +2b =-2，解得a =6，b =2； 由c +d =8及-c +2d =4，解得c =4，
b =4
所以M =6244⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，…………………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知矩阵M 的特征多项式为
26
2
()(6)(4)8101644
f λλλλλλλ--=
=---=-+-- 令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为8与2． 当2λ=时，
(6)20
204(4)0x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨
-+-=⎩
∴矩阵M 的属于另一个特征值1-的一个特征向量为
12⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦． (7)
分
（2） 解：①直线l
0y -+=.
曲线C 的直角坐标方程为：2
2
430x y x +-+=【或
22(2)1x y -+=】. …………3分
②曲线C 的标准方程为2
2
(2)1x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为1； ∴圆
心
(2,0)
C 到直线
l
的距离
为:022
d +=
= …………………………6分
所以点P 到直线l 的距离的取值范围是[1,1]22
-+ ……7分 (３) 解：（Ⅰ）当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，综合得x ≤－3．
当－3<x ≤1
2
时，原不等式化为－x ＋4≥2x ＋4，综合得－3<x ≤0．
当x >1
2时，原不等式为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2． 综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}． (3)
分
（Ⅱ）当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．
当x >－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或x ≤
a －1
3
，
所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －1
3
，得a ≤－2，综上，a 的取值范围为a ≤－2． (7)
分。