8.1空间几何体的结构及直观图、表面积与体积 5年高考3年模拟(山东版)教学案

专题八立体几何
【真题典例】
8.1空间几何体的结构及直观图、表面积与体积
挖命题
【考情探究】
考点内容解读5年考情预测热度
考题示例考向关联考点
1.空间
几何体的结构及其直观图认识柱、锥、台、球及
简单组合体的结构特
征,能画出简单空间几
何体的直观图
2018课标Ⅰ,7直观图
侧面展开最短路
径
★★☆
2017山东,13
组合体的体
积
圆柱体积
2016课标Ⅲ,10球的切接问球的体积
题
2.几何体的表面积理解球、柱体、锥体、
台体的表面积计算公
式
2018课标Ⅰ,5
圆柱的表面
积
轴截面及表面积
★★★
2016课标Ⅰ,6球的表面积几何体的切割
2015课标Ⅰ,11
组合体表面
积
球与圆柱的表面
积
3.几何
体的体积理解柱体、锥体、台体、
球的体积计算公式
2018课标Ⅰ,10长方体体积线面角★★★
分析解读 1.理解多面体、棱柱、棱锥、棱台的概念,牢记它们的几何特征.2.理解圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的形成过程,正确把握轴截面、中截面的含义及掌握将圆柱、圆锥、圆台的空间问题转化为平面问题的方法.3.理解柱体、锥体、台体、球的侧面积、表面积和体积的概念,熟练掌握柱体、锥体、台体、球的表面积公式和体积公式.4.高考对本节内容的考查以计算几何体的表面积和体积为主,分值约为5分,属中档题.
破考点
【考点集训】
考点一空间几何体的结构及其直观图
1.(2018江西九江二模,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰直角三角形,AB=BC=1.点D为侧棱BB1上的动点.若△ADC1周长的最小值为√3+√5,则三棱锥C1-ABC外接球的表面积为.
答案3π
2.(2018安徽全椒中学期中,14)如图所示,在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P,使得AP+D1P最小,则AP+D1P的最小值为.
答案√2+√2
考点二几何体的表面积
1.(2017河北沧州月考,11)已知四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为正方形,△PAD为等腰直角三角形,PA=PD=√2,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为()
A.10π
B.4π
C.16π
D.8π
答案 D
2.(2016课标Ⅱ,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()
π C.8π D.4π
A.12π
B.32
3
答案 A
3.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O的表面积为()
A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
答案 C
考点三几何体的体积
1.(2018四川南充模拟,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面
ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为()
A.32√3π
B.48π
C.24π
D.16π
答案 A
2.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=π
2
,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()
A.2π
3B.4π
3
C.5π
3
D.2π
答案 C
炼技法
【方法集训】
方法1几何体表面积的求解方法
1.(2016课标Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面
体的表面积为()
A.18+36√5
B.54+18√5
C.90
D.81
答案 B
2.(2016课标Ⅰ,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若
该几何体的体积是28π
3
,则它的表面积是()
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π 答案 A
方法2 几何体体积的求解方法
1.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .
答案
43
2.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1(如图所示),并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍. (1)若AB=6 m,PO 1=2 m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO 1为多少时,仓库的容积最大?
解析 (1)由PO 1=2知O 1O=4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB=6,
所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积
V 锥=1
3·A 1B 12
·PO 1=13
×62
×2=24(m 3
);
正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱=AB 2
·O 1O=62
×8=288(m 3
).
所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312(m 3
).
(2)设A 1B 1=a(m),PO 1=h(m),则0<h<6,O 1O=4h(m).连接O 1B 1.
因为在Rt △PO 1B 1中,O 1B 12+P O 12=P B 12
,
所以(
√2a
2
)2
+h 2
=36,即a 2
=2(36-h 2).
于是仓库的容积V=V 柱+V 锥=a 2
·4h+13
a 2
·h=133
a 2
h =263
(36h-h 3
),0<h<6,
从而V'=26
3
(36-3h 2
)=26(12-h 2
). 令V'=0,得h=2√3或h=-2√3(舍). 当0<h<2√3时,V'>0,V 是单调增函数; 当2√3<h<6时,V'<0,V 是单调减函数. 故h=2√3时,V 取得极大值,也是最大值. 因此,当PO 1=2√3 m 时,仓库的容积最大.
评析本题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.
方法3 与球有关的表面积、体积的求解方法
1.(2018四川达州模拟,8)如图(2),需在正方体的盒子内镶嵌一个小球,使得镶嵌后三视图均为图(1)所示,且面A 1BC 1截得小球的截面面积为2π3
,则该小球的体积为( )
A.π
6B.4π
3
C.32π
3
D.8√2π
3
答案 B
2.(2017课标Ⅲ,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
A.π
B.3π
4C.π
2
D.π
4
答案 B
3.(2017江西七校联考,10)如图,ABCD是边长为2√3的正方形,点E,F分别为边BC,CD的中点,将
△ABE,△ECF,△FDA分别沿AE,EF,FA折起,使B,C,D三点重合于点P,若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上,则该球的表面积是()
A.6π
B.12π
C.18π
D.9√2π
答案 C
过专题
【五年高考】
A组山东省卷、课标卷题组
考点一空间几何体的结构及其直观图
1.(2018课标Ⅰ,7,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()
A.2√17
B.2√5
C.3
D.2
答案 B
圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积
2.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个1
4
为.
答案2+π
2
考点二几何体的表面积
1.(2016课标Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
答案 C
2.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()
A.1
B.2
C.4
D.8
答案 B
,SA与圆锥底面所成角为45°.
3.(2018课标Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为7
8
若△SAB的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为.
答案40√2π
考点三几何体的体积
1.(2018课标Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为()
A.8
B.6√2
C.8√2
D.8√3
答案 C
2.(2017课标Ⅱ,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()
A.90π
B.63π
C.42π
D.36π
答案 B
3.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()
A.1
8B.1
7
C.1
6
D.1
5
答案 D
4.(2017课标Ⅰ,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.
答案4√15
5.(2014山东,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体
积为V2,则V1
V2
=.
答案1
4
B组其他自主命题省(区、市)卷题组
考点一空间几何体的结构及其直观图
(2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()
A.3√2
B.2√3
C.2√2
D.2
答案 B
考点二几何体的表面积
1.(2015安徽,7,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()
A.1+√3
B.2+√3
C.1+2√2
D.2√2
答案 B
2.(2014江苏,8,5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,
且S1
S2=9
4
,则V1
V2
的值是.
答案3
2
考点三几何体的体积
1.(2018天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.
答案 112
2.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .
答案 √7
C 组 教师专用题组
1.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )
A.13+23π
B.13+√23π
C.13+√26π
D.1+√26π 答案 C
2.(2013课标Ⅰ,6,5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )
A.500π
3 cm3 B.866π
3
cm3 C.1 372π
3
cm3 D.2 048π
3
cm3
答案 A
3.(2013湖南,7,5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面
积不可能
．．．等于()
A.1
B.√2
C.√2-1
2D.√2+1
2
答案 C
4.(2013辽宁,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()
A.3√17
2B.2√10 C.13
2
D.3√10
答案 C
5.(2013江苏,8,5分)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=.
答案1
24
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2017广东六校联盟联考,11)一个正三棱锥的四个顶点都在直径为2的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是()
A.2√3
B.3√3
4C.√3
4
D.√3
3
答案 C
2.(2017河南部分重点中学联考,9)设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,∠BAC=90°,AA1=2√2,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是()
A.4π
B.8π
C.12π
D.16π
答案 D
3.(2017河南洛阳期中,9)在四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为()
A.11π
B.28π
3C.10π
3
D.40π
3
答案 D
二、填空题(每小题5分,共30分)
4.(2019届江苏南师大附中高三上期中,10)若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为2 cm 的半圆,则该圆锥的体积为cm3.
答案√3
3
π
5.(2019届江苏如东高级中学高三第二次学情检测,8)在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面ABCD的中心,SO=2,侧棱SA=2√3,则该棱锥的体积为.
答案32
3
6.(2019届广东江门高三调研,15)球O是正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球,若正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为
S1,球O的表面积为S2,则S1
S2
=.
答案2
π
7.(2019届河北邢台高三上第四次月考,16)在四面体A-BCD中,AB=AC=AD=BC=BD=2,若四面体A-BCD的外接
π,则CD=.
球的体积V=8√2
3
答案2√2
8.(2018江西南昌二中1月模拟,16)在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为3的等边三角形,SA=√3,SB=2√3,二面角S-AB-C的大小为120°,则此三棱锥的外接球的表面积为.
答案21π
9.(2018湖南师大附中模拟,16)在体积为4
的三棱锥S-ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,SA=SC,且平面SAC⊥平
3
面ABC,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是.
答案9
π
2。