2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.7 函数的图象 Word版含解析

2.7函数的图象
[知识梳理]
1．利用描点法作函数图象的流程
2．变换法作图
(1)平移变换
提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左
加右减，上加下减．
(2)对称变换
①y ＝f (x )――――――――――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――――――→关于y 轴对称
y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――――――――――→关于原点对称
y ＝－f (－x )；
④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――――――→关于y ＝x 对称
y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换
①y ＝f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图象
将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|；
②y ＝f (x )――――――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其
关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．
(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )
y ＝f (ax )；
②y ＝f (x )
――――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变
0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． 3．有关对称性的常用结论 (1)函数图象自身的轴对称
①f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；
②函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝
f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；
③若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b
2对称．
(2)函数图象自身的中心对称
①f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；
②函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；
③函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )；
④若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足条件f (a ＋x )＋f (b －x )＝c (a ，
b ，
c 为常数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2，c 2对称． (3)两个函数图象之间的对称关系
①函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b
2对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称；
②函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (x )的图象关于直线y ＝b 对称； ③函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． [诊断自测] 1．概念思辨
(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( ) (3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )
(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化
(1)(必修A1P75T10)函数y＝lg |x－1|的图象大致为()
答案 B
解析y＝lg |x－1|关于直线x＝1对称，排除A，D；因函数值可以为负值，故选B.
(2)(必修A1P113B组T2)如图，不规则图形ABCD中：AB和CD 是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()
答案 D
解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积
的增加速度又逐渐减慢．故选D.
3．小题热身
(1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()
A．e x＋1B．e x－1
C．e－x＋1D．e－x－1
答案 D
解析与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x ＋1)＝e－x－1.故选D.
(2)(2017·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()
答案 C
解析由函数的图象可知，－1<b<0，a>1，则g(x)＝a x＋b为增
函数，当x ＝0时，y ＝1＋b >0，且过定点(0，1＋b )．故选C.
题型1 函数图象的画法 典例1 作出下列函数的图象：
(1)y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；
(3)y ＝2x －1x －1
；(4)y ＝x 2－2|x |－1.
运用对称变换、翻折变换、平移变换等图象变换法．
解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x 图象中x ≥0的部分，
再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
的图象，如图a 实线部分．
(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图b.
(3)∵y ＝2＋1
x －1，故函数图象可由y ＝1x 图象向右平移1个单位，
再向上平移2个单位即得，如图c.
(4)∵y ＝⎩⎨⎧
x 2－2x －1，x ≥0，
x 2
＋2x －1，x <0，
且函数为偶函数，先用描点法作出
[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图d.
典例2 (2017·建邺区校级期中)已知函数f (x )＝
⎩⎨⎧
|log 4x |，0<x ≤4，
－1
2x ＋3，x >4.
(1)画出函数f (x )的图象；
(2)若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．
翻折法作图象，再结合图象解决问题．
解 (1)作函数f (x )的图象如下：
(2)根据a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，令a <b <c ，由f (x )
的解析式可知|log 4a |＝|log 4b |，可得log 4a ＋log 4b ＝0，即为ab ＝1，
abc ＝c ，由图象可得c 的范围是(4,6)． 故abc 的范围是(4,6)． 方法技巧
作函数图象的一般方法
1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．
3．描点法．当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．
冲关针对训练 作出下列函数的图象： (1)y ＝10|lg x |； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．
解 (1)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ； 当0<x <1时，lg x <0，y ＝10
|lg x |
＝10－lg x ＝10lg
1x ＝1
x .故y ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
x ，x ≥1，1x ，0<x <1.
这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)．
(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2
－x －2＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －122－9
4；
当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2
＋x ＋2＝－⎝ ⎛
⎭
⎪
⎫x －122
＋9
4.
∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －122＋94，x <2.
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).
题型2 识图与辨图
角度1 已知图象确定函数解析式
典例 (2018·贵州联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )
A ．f (x )＝ln |x |
x B ．f (x )＝e x
x C ．f (x )＝1
x 2－1 D ．f (x )＝x －1
x
根据函数的奇偶性、单调性判断．
答案 A
解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ；若函数为f (x )＝x －1
x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A.
角度2 已知解析式确定函数的图象
典例 (2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]上的图象大致为( )
根据函数的单调性，某点处的函数值正负等判断．
答案 D
解析 令f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，则f (2)＝8－e 2>0，A 错误；f (2)＝8
－e 2<1，B 错误；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x
，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，故f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14上递减，C 错误．故选D. 角度3 由实际问题中的变化过程探究函数图象
典例 (2014·
全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )
用特殊值法，排除法．
答案 C
解析 如图所示，过点M 作OP 的垂线，垂足为D .
当x ＝π2时，MD ＝0，排除A ，D ；
当x ＝π4或x ＝3π4时，MD 取得最大值为12，排除B.故选C.
方法技巧
辨识函数图象的常见类型及求解策略
1．由图象确定解析式或解析式中参数满足的数量关系．求解关键是将从图象中得到的以下信息点转化为其参数满足的数量关系．
①图象与x 轴、y 轴的交点位置；②某一区间内函数值的正负；
③定义域；④函数的单调性；⑤函数的极值、最值；⑥函数图象的变化趋势．
2．由解析式确定函数图象的判断技巧
(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复．
3．由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
冲关针对训练
1．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2
－x ＋a 2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )
答案 B
解析 当a ＝0时，y ＝－x 与y ＝x 图象为D.
当a >0时，y ＝ax 2－x ＋a 2为开口向上抛物线，而对y ＝a 2x 3－2ax 2
＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′＝0，得x ＝13a 或x ＝1a ，
即y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 有2个极值点且为正，A ，C 都有可能．
当a<0时，抛物线开口向下，第二个函数的极值点为负，对称轴
x＝1
2a在两极值点中间，B不符合．故选B.
2．(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象()
A．y＝2x－x2－1
B．y＝2x sin x
4x＋1 C．y＝(x2－2x)e x
D．y＝
x ln x
答案 C
解析A中，∵y＝2x－x2－1＝2x－(x2＋1)，当x趋向于－∞时，2x的值趋向于0，x2＋1的值趋向于＋∞，∴当x趋向于－∞时，函数y＝2x－x2－1的值趋向于－∞，∴A中的函数不符合；B中，当x>0
时，y＝2x sin x
4x＋1
有无数个零点，与图象不符合；D中，y＝
x
ln x的定义域
是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D中函数不符合．故选C.
题型3函数图象的应用
角度1利用函数图象求解不等式(多维探究)
典例(2015·北京高考)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()
A．{x|－1<x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1<x≤1}
D．{x|－1<x≤2}
将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
答案 C
解析作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示．其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，结合图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．故选C.
[条件探究]若本典例中条件变为：关于x的不等式f(x)≥log2(x ＋a)在x∈(－1,2]时恒成立，试求实数a的取值范围．
解 在同一坐标系中分别作出f (x )和y ＝log 2(x ＋a )的图象，若要使f (x )≥log 2(x ＋a )在(－1,2]上恒成立，只需y ＝f (x )的图象在x ∈(－1,2]时恒在y ＝log 2(x ＋a )的图象上方即可．则需－a ≥1，即a ≤－1.
所以实数a 的取值范围为(－∞，－1]．
角度2 利用函数图象研究方程根的个数
典例 (2017·
安阳月考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；
当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．8
函数的零点转化为两函数的交点，再利用数形结合求解．
答案 B
解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－
x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π
时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在
[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，
由图可知共有四个交点．故选B.
方法技巧
函数图象应用的常见题型及求解策略
1．利用函数图象研究参数的取值范围时，将构造的函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合思想，动态地思考问题，求解参数的取值范围．
2．利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．3．利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
冲关针对训练
1．(2018·长春检测)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x ＋5的图象的交点个数为()
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
答案 B
解析 在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．
∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，
∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.故选B.
2．已知直线y ＝kx (k ∈R )与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x (x ≤0)，12x 2＋2(x >0)
的图象恰有三个不同的公共点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C ．(－∞，－2)
D ．(2，＋∞) 答案 D
解析 由图可知，当y ＝kx 在第一象限与f (x )相切时，有两个交
点，即当x >0时，y ＝kx 与y ＝12x 2＋2有一个交点，联立方程
⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，
y ＝12x 2＋2⇒12x 2－kx ＋2＝0，x >0时，Δ＝0，∴k ＝2.
要使y ＝kx 与函数f (x )的图象有三个交点，所以k 的取值范围为(2，＋∞)．故选D.
1.(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
答案 D
解析观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，所以对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C.
如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确．故选D.
2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y＝x2ln |x|
|x|的图象大致是
()
答案 D
解析从题设提供的解析式中可以看出x≠0，且当x>0时，y＝
x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e ，＋∞上单调递增．故选D. 3．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )
答案 B
解析 当点P 与C ，D 重合时，易求得P A ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP ⊥AB ，则x ＝π
2，易求得P A ＋PB ＝2P A ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π
2时，f (x )没有取到最大值，则C ，D 两项错误；又当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排
除A.故选B.
4．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|x |，x ≤m ，
x 2－2mx ＋4m ，x >m ，
其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．
答案 (3，＋∞)
解析 f (x )的大致图象如图所示，要满足存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.
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一、选择题
1．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x 的图象
( )
A ．向左平移3个单位长度
B ．向右平移3个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度
答案 D
解析 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1·
⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1
，故它的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D. 2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝ln |x －1|
|1－x |
的图象大致为( )
答案 D
解析 函数f (x )＝ln |x －1|
|1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图
象关于x ＝1对称，排除B ，C ；取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 1
2<0.故选D.
3．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )
答案 A
解析 依题意，得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数f (x )过定点
(0,0)，排除B ，D.故选A.
4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝
A
sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (π)＝( )
A ．4
B ．2 3
C ．2 D. 3 答案 A
解析 由函数的图象可得A ＝2，根据半个周期T 2＝12·2πω＝5π12＋π
12，解得ω＝2.
由图象可得当x ＝－π
12时，函数无意义，即函数的分母等于零，
即sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0.
再由|φ|<π2，可得φ＝π6，
故函数f (x )＝2
sin ⎝
⎛
⎭
⎪
⎫2x ＋π6，∴f (π)＝4.故选
A.
5．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
log 12
x ，x >0，2x ，x ≤0，
若关于x 的
方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．(1，＋∞)
D ．(0,1]
答案 D
解析 作出函数y ＝f (x )与 y ＝k 的图象，如图所示： 由图可知k ∈(0,1]．故选D.
6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x ·2x 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )
A ．①④②③
B ．①④③②
C ．④①②③
D ．③④②①
答案 A
解析 ①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |
在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x >0时，其函数值y ≥0；④y ＝x ·2x 在定义域上为非奇非偶函数，且当x >0时，其函数值y >0，且当x <0时，其函数值y <0.故选A.
7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )
答案 D
解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．
函数y ＝x －1
x 是奇函数，y ＝cos x 为偶函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x
为奇函数，所以排除A ，B ；取x ＝π，则f (π)＝⎝
⎛⎭
⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫π－1π<0，故排除C.故选D.
解法二：(特值排除法)f (π)＝⎝
⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故可排除
A 、C ；而f (－π)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－π－1－π·cos(－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π>0，故排除B.故选D. 8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，同一坐标系中，f (x )和f ′(x )的大致图象是( )
答案 C
解析 由f (x )＝x cos x ，得 f ′(x )＝cos x －x sin x ，
当x ＝0时，f (0)＝0，f ′(0)＝1，排除B ，D ；
当f ′(x )>0时，f (x )是增函数，曲线是上升的，f ′(x )<0时，f (x )是减函数，曲线是下降的，判断出C 是正确的，排除A.故选C.
9．(2018·郑州模拟)函数y ＝1
1－x 的图象与函数y ＝2sinπx (－
2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
答案 D
解析 图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝1
1－x 与
y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象，y ＝
－1x －1
的对称中心是(1,0)，也是y ＝
2sinπx (－2≤x ≤4)的中心，当－2≤x ≤4它们的图象在x ＝1的左侧有4个交点，则x ＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2.故选D.
10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )
看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0
有两个
“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)
B ．(0,1) C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)
答案 B
解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．
可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，
使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．
当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，
则km －1＝ln m ，k ＝1
m ，解得m ＝1，k ＝1，
可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.
二、填空题
11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|lg x |，x >0，
2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )
－3f (x )＋1的零点个数是________．
答案 5
解析 由2f 2
(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝1
2或f (x )＝1
作出函数y ＝f (x )的图象．
由图象知y ＝1
2与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．
因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．
12．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为F ，G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函
数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函
数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．
答案 g (x )＝2|x |
解析 画出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
(x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图
象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.
13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2
－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．
答案 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12
解析 先画出y ＝x 2
－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.
函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y
＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.
14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f (x )对任意实数x 满足f (x )＝－f (x ＋1)，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，若关于x 的方程f (x )＝kx 有3个不同的实数根，则k 的取值范围是________．
答案 (5－26，1)∪{－3＋22}
解析 因f (x )＝－f (x ＋1)，故f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为
2的周期函数，画出函数y ＝f (x )，x ∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f (x )＝－f (x ＋1)及周期性，画出函数y ＝f (x )的图象如图，易知仅当直线y ＝kx 位于l 1与l 2之间(不包括l 1，l 2)或与l 3重合时满足题意，对y ＝x (1－x )求导得y ′＝1－2x ，y ′|x ＝0＝1，∴l 2的斜率为1.以下求l 3的斜率：当1≤x ≤2时，易得f (x )＝－f (x －1)＝－(x －1)[1－(x －1)]＝x 2－3x ＋2，令x 2－3x ＋2－kx ＝0，得x 2－(3＋k )x ＋2＝0，令Δ＝(3＋k )2－8＝0，解得k ＝－3±22，由此易知l 3的斜率为－3＋2 2.同理，由2≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋5x －6，可得l 1的斜率为5－2 6.综上，5－26<k <1或k ＝－3＋22，故应填(5－26，1)∪{－3＋22}．
三、解答题
15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；
(2)写出f (x )的单调递增区间；
(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．
解 (1)函数f (x )的图象如图所示．
(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]．
(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，
当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.
16．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.
(1)作出函数f (x )的图象；
(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．
解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，
∴f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，
∴f (x )的图象如图所示． (2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，
[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．
(3)由f(x)的图象知，当0<m<1时，f(x)＝m有四个不相等的实根，所以M＝{m|0<m<1}．。