高中数学 第3章 导数及其应用 3.2.2 函数的和、差、积、商的导数学业分层测评 苏教版选修11

学业分层测评(十六) 函数的和、差、积、商的导数
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1.设f (x )＝ln a 2x
(a >0且a ≠1)，则f ′(1)＝________.
【解析】 ∵f (x )＝ln a 2x
＝2x ln a ，∴f ′(x )＝(2x ln a )′＝(2x )′ln a ＋2x (ln a )′＝2ln a ，故f ′(1)＝2ln a .
【答案】 2ln a
2.函数y ＝(2＋x 3)2
的导数为________.
【导学号：24830077】
【解析】 ∵y ＝(2＋x 3)2
＝4＋4x 3
＋x 6
，∴y ′＝6x 5
＋12x 2
. 【答案】 6x 5
＋12x 2
3.(2016·宿迁高二检测)函数y ＝x
e
x 的导数是________.
【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x e x ′＝
x ′e x －x x
x
2
＝
1－x e
x . 【答案】
1－x e
x 4.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________.
【解析】 f ′(x )＝ln x ＋x ·1
x
＝ln x ＋1，因为f ′(x 0)＝2，所以ln x 0＋1＝2，ln x 0
＝1，x 0＝e.
【答案】 e
5.函数f (x )＝(x ＋1)2
(x －1)在x ＝1处的导数等于________.
【解析】 f (x )＝(x ＋1)2
(x －1)＝x 3
＋x 2
－x －1，f ′(x )＝3x 2
＋2x －1，f ′(1)＝3＋2－1＝4.
【答案】 4
6.已知f (x )＝x 2
＋2xf ′(1)，则f ′(0)的值为________.
【解析】 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.
【答案】 －4
7.(2016·扬州高二检测)若曲线y ＝e －x
上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点
P 的坐标是________.
【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x
.又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y 0＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2,2).
【答案】 (－ln 2,2)
8.设f (x )＝ax 2
－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12
，则a ＝________，b ＝________.
【解析】 ∵f ′(x )＝2ax －b cos x ，f ′(0)＝－b ＝1得b ＝－1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2
3πa ＋12＝
1
2
，得a ＝0. 【答案】 0 －1 二、解答题
9.求下列函数的导数：
(1)y ＝e x
·ln x; (2)y ＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3. (3)f (x )＝e x
1＋ax 2. 【解】 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x
·1x
＝e x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln x ＋1x .
(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2
－2x
3.
(3)f ′(x )＝e x
·1＋ax 2
－2ax
＋ax
22
10.已知函数f (x )＝x 3－4x 2
＋5x －4.
(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程.
【解】 (1)∵f ′(x )＝3x 2
－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2， ∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.
(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 3
0－4x 2
0＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2
－8x 0＋5，
∴切线方程为y －(－2)＝(3x 2
0－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 3
0－4x 2
0＋5x 0－4)， ∴x 3
0－4x 2
0＋5x 0－2＝(3x 2
0－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2
(x 0－2)＝0，解得x 0＝2或1，
∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.
能力提升]
1.一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为s ＝14t 4－4t 3＋16t 2
，则速度为零的
时刻是________.
【导学号：24830078】
【解析】 v ＝s ′＝t 3－12t 2
＋32t .令v ＝0，则t ＝0,4,8. 【答案】 0 s,4 s,8 s
2.已知点P 在曲线y ＝4
e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围
是________.
【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫4e x ＋1′＝－4e x
x ＋2＝
－4e x ＋1e x ＋2，－1≤－4
e x
＋1e
x ＋2
＜0， 即－1≤tan α＜0，由正切函数图象得α∈⎣⎢⎡⎭
⎪
⎫3π4，π.
【答案】 ⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫3π4，π
3.设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，则f (x )＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝(ax ＋b )sin x ]′＋(cx ＋d )cos x ]′
＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x
＝(a －d －cx )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .
为使f ′(x )＝x cos x ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧
a －d ＝0，
c ＝0，
a ＝1，
b ＋
c ＝0，
解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝0，
c ＝0，
d ＝1.
从而可知，f (x )＝x sin x ＋cos x . 【答案】 x sin x ＋cos x
4.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2
＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .
(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.
【解】 (1)由题意得f ′(x )＝x 2
－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2
－1≥－1， 即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是－1，＋∞). (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪
⎧
k ≥－1，－1
k
≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，
故由－1≤x 2
－4x ＋3＜0或x 2
－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪2＋2，＋∞).。