2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案 第43课__圆的方程(含解析)
圆的方程的数学教案
圆的方程的数学教案篇一：圆的方程教学目标（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径．（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化．（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题．（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线．（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法．教学建议教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题．②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用．教法建议（1）圆是最简单的曲线．这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备．同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法．（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到*法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结．（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识．（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题．建议适当选择一些内容供学生研究．例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题．类似的还有圆系方程等问题．篇二：圆的一般方程教学目标：（1）掌握圆的一般方程及其特点．（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．（4）通过本节课学习，进一步掌握*法和待定系数法．教学重点：（1）用*法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．（2）用待定系数法求圆的方程．教学难点：圆的一般方程特点的研究．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程：【引入】前边已经学过了圆的标准方程把它展开得任何圆的方程都可以通过展开化成形如①的方程【问题1】形如①的方程的曲线是否都是圆？师生共同讨论分析：如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用*法，得②显然②是不是圆方程与是什么样的数密切相关，具体如下：（1）当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；（2）当时，②表示一个点；（3）当时，②不表示任何曲线．总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．圆的一般方程的定义：当时，①表示以为圆心、以为半径的圆，此时①称作圆的一般方程．即称形如的方程为圆的一般方程．【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同．（1）和的系数相同，都不为0．（2）没有形如的二次项．圆的一般方程与一般的二元二次方程③相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件．圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．【实例分析】例1：下列方程各表示什么图形．（1）；（2）；（（3）．学生演算并回答（1）表示点（0，0）；（2）*得，表示以为圆心，3为半径的圆；（3）*得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以为圆心，为半径的圆．例2：求过三点，，的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解．解：设圆的方程为因为、、三点在圆上，则有解得：，，所求圆的方程为可化为圆心为，半径为5．请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．。
圆的方程及性质课件-2023届高三数学一轮复习
3 3.
判断直线与圆的位置关系的两种方法 >0⇔相交，
(1)代数法：Δ＝判―b别 ―2－→式4ac ＝0⇔相切， <0⇔相离.
(2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：d<r⇔相交，d ＝r⇔相切，d>r⇔相离．
实际操作时，多用几何法．
练习 已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的
①两条切线方程； ②直线 AB 的方程； ③线段 PA 的长度； ④线段 AB 的长度．
圆的切线方程的求法 (1)代数法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到 一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0 进而求得 k(当 k 不存在时，切线方程为 x ＝x0)． (2)几何法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心 到切线的距离 d，然后令 d＝r，进而求出 k(当 k 不存在时，切线方程为 x＝x0)． （3）若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，则过点 M 的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝ r2.
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【思路】 根据直线与圆的位置关系的判断方法——几何法或代数法求解， 也可以利用直线所过的定点，结合该定点与圆的位置关系求解．
【解析】 ＋m2－5＝0，
方法一：由mx2x＋－（y＋y－1－1）m2＝＝05，，消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x
因为 Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交．
圆的定义 平面内到定点的距离___________的点的集合是圆，定点是圆心，定长是半 径． 注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为λ，即||PPAB||＝λ， ①当λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
高三第一轮复习圆的方程及求法
圆的方程及求法【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 主干知识归纳1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2．圆的方程：方法规律总结1．待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 2．几何法求圆的方程：利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径， 弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．3．求与圆有关的轨迹问题的四种方法【指点迷津】【类型一】确定圆的方程【例1】：求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程 【解析】： 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=+013211222222b a r b a r b a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧=-==534r b a ,∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.【例2】：已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程．【解析】：法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2.由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-+-+=+--0205)5(106)6(222E D F E D F E ,消去F 得⎩⎨⎧ D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎨⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0，标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝1)6(5----＝1，因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎨⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r ＝|AC |＝22)26()30(+-++＝5，所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.【类型二】与圆有关的轨迹问题【例1】：已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【例2】：已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】：(1)设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．答案：(1) x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2) (x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．例3．(2010·山东烟台调研)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0【解析】：由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)，所以过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理即得y 2＋4x －4y ＋8＝0. 答案：C.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1. 已知两点A (9，4)和B (3，6)，则以AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x －6)2＋(y －5)2＝10B ．(x ＋6)2＋(y ＋5)2＝10C ．(x －5)2＋(y －6)2＝10D ．(x ＋5)2＋(y ＋6)2＝10【解析】：线段AB 的中点坐标(6，5)为圆心坐标，半径=21|AB|=10答案：A.2. (2014·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1【解析】：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B.3. 若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)【解析】：曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2. 答案：D.4. 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞32B ．－32 ＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜32【解析】：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为(x +2a )2＋(y ＋a )2＝－43a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－43a 2－a ＋1＞0，∴3a 2＋4a －4＜0，∴－2＜a ＜32 .答案：D.5. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13【解析】：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：C. 二、填空题6. 经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________． 【解析】：由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1.7. 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________． 【解析】： ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1).8. 圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为______________． 【解析】：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝2. 三、解答题9. 已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0， (1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． 【解析】：(1)配方得：(x ＋m －1)2＋(y －2m )2＝9∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且⎩⎨⎧x ＝1－my ＝2m ，∴2x ＋y ＝2.∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．答案：(1) 圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3. (2) 圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．10. (2010·辽宁抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． ∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【二级目标】能力提升题组一、选择题1. 已知二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，是方程表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】：取A ＝C ＝4，D ＝2，E ＝2，F ＝1时，满足⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，但是4x 2＋4y 2＋2x ＋2y ＋1＝0不表示圆；方程13x 2＋13y 2＋x ＋y ＋1＝0表示圆，其中A ＝13，C ＝13，D ＝1，E ＝1，F ＝1，但不满足D 2＋E 2－4F ＞0.综上可知，选D ． 答案：D.2. (2010·浙江宁波调研)若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14【解析】：由题意知，圆C 的圆心坐标为(－4，－1)．又直线l 始终平分圆C ，所以直线l 必过圆心，故4＝4a ＋b ≥24ab ，故ab ≤1. 答案：C. 二、填空题3. (2009·扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．【解析】：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )， ∴ab ＋ab ＝1， ∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π， ∴面积的最小值为π.答案：π.【高考链接】1. （2016年浙江省文科第10题）已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a +2)y 2+4x+8y +5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 【解析】：由题可得a 2=a +2，解得a =－1或a =2当a =－1时，方程为x 2＋y 2+4x+8y －5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5 当a =2时，方程不表示圆 答案：(－2，－4)，5.2. （2009年上海第题）点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【解析】：设中点M 的坐标为(x ，y )，与之对应的圆上动点Q 的坐标为(x 0，y 0)，显然M 与Q 的对应关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋(－2)2，同时Q 满足在圆x 2＋y 2＝4上，即x 20＋y 20＝4；利用M 与Q 的对应关系将x 、y 代入，得中点M 的轨迹方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A.3. （2015年湖北省第16题）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【解析】:试题分析：设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1， 即01x =，半径0r y =.又因为2AB =，所以222011y +=，即0y r =，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+=，令0x =得：1)B .设圆C 在点B处的切线方程为1)kx y -=，则圆心C到其距离为：d ==，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x 1)y =+，于是令0y =可得x 1=，即圆C 在点B 处的切线在x轴上的截距为1--故应填22(1)(2x y -+=和1--答案：（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1--。
高中数学《圆的方程》教案
高中数学《圆的方程》教案作为一位默默奉献的教育工作者，常常会需要准备好教案，通过教案准备可以更好地根据具体情形对教学进程做适当的必要的调剂。
优秀的教案都具有一些什么特点呢?这里给大家分享一些关于高中数学圆的方程教案，方便大家学习。
高中数学《圆的方程》教案1、教学目标(1)知识目标：1、在平面直角坐标系中，探索并掌控圆的标准方程;2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程;3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
(2)能力目标：1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的知道;3、增强学生用数学的意识。
(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交换的意识，在体验数学美的进程中激发学生的学习爱好。
2、教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其运用。
(2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②挑选恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3、教学进程(一)创设情境(启发思维)问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。
7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)将x=2。
7代入，得即在离隧道中心线2。
7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢?[学生活动]：探究圆的方程。
[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M(x，y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M合适的条件可表示为①把①式两边平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法(三)运用举例(巩固提高)I.直接运用(内化新知)问题三：1、写出下列各圆的方程(课本P77练习1)(1)圆心在原点，半径为3;(2)圆心在，半径为(3)经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II.灵活运用(提升能力)问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练43
随堂巩固训练(43)1. 经过点P(3，5)，且圆心为(0，1)的圆的方程为__x 2＋(y －1)2＝25__． 解析：圆的半径为（3－0）2＋（5－1）2＝5，所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝25.2. 以A(－1，2)，B(5，－6)为直径两端点的圆的标准方程为__(x －2)2＋(y ＋2)2＝25__． 解析：设以A(－1，2)，B(5，－6)为直径两端点的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则⎩⎨⎧a ＝－1＋52＝2，b ＝2－62＝－2，所以圆心C(2，－2)，所以r 2＝AC 2＝(－1－2)2＋(2＋2)2＝25，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.3. 已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是A(5，6)，C(3，－4)，则圆的方程为__(x －4)2＋(y －1)2＝26__．解析：由题意知圆心是(4，1)，圆的直径为AC ＝（5－3）2＋（6＋4）2＝226，半径为26，所以圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝26.4. 已知圆的方程为x 2＋y 2＋λx ＋(λ－2)y ＋5＝0，且定点P(2，3)在圆外，则实数λ的取值范围为__⎝⎛⎭⎫－125，－2∪(4，＋∞)__． 解析：圆的方程化为标准方程为⎝⎛⎭⎫x ＋λ22＋⎝⎛⎭⎫y ＋λ－222＝λ24＋（λ－2）24－5，圆的半径为λ24＋（λ－2）24－5>0，即λ24＋（λ－2）24－5>0，化简得λ2－2λ－8>0，解得λ>4或λ<－2.由点P(2，3)在圆外，可得4＋9＋2λ＋(λ－2)×3＋5>0，解得λ>－125.综上，可得－125<λ<－2或λ>4.5. 若圆C 的半径为1，圆心C 在第一象限，且圆C 与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则圆C 的标准方程是__(x －2)2＋(y －1)2＝1__．解析：由题意得半径为1，则圆心的纵坐标也是1，设圆心的坐标为(a ，1)，则|4a －3|42＋32＝1，解得a ＝2或a ＝－12.又a>0，所以a ＝2，故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 6. 已知过点A(4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B(2，1)，则圆C 的标准方程为__(x －3)2＋y 2＝2__．解析：设圆C 的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则圆心(a ，b)到直线x －y －1＝0的距离d ＝|a －b －1|2＝r ①.又圆C 过点A(4，1)，B(2，1)，所以(4－a)2＋(1－b)2＝r 2②，(2－a)2＋(1－b)2＝r 2③，由①②③解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝2.7. 若圆C 的半径为1，其圆心C 与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为__x 2＋(y －1)2＝1__．解析：因为圆心C 与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，所以圆心为(0，1)．又圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.8. 经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的一般方程为__x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0__．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，16＋4＋4D －2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，满足D 2＋E 2－4F ＝(－7)2＋(－3)2－4×2＝50>0，所以圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.9. 若一个三角形三边所在直线的方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为__⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝52__． 解析：由三角形三边所在的直线方程可得三角形的三个顶点分别是(1，2)，(2，2)，(3，1)．能够覆盖三角形且面积最小的圆是该三角形的外接圆．设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋2E ＋F ＝－5，2D ＋2E ＋F ＝－8，3D ＋E ＋F ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－3，E ＝－1，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－3x －y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝52. 10. 已知两个定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则动点P 的轨迹所包围的图形的面积为__4π__．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，由PA ＝2PB ，得(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹是以点(2，0)为圆心，2为半径的圆，其所包围的图形的面积为4π.11. 设△ABC 的顶点坐标分别为A(0，a)，B(－3a ，0)，C(3a ，0)，其中a>0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1) 求圆M 的方程；(2) 当a 变化时，圆M 是否过某一定点？请说明理由．解析：(1) 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为圆M 过三点A(0，a)，B(－3a ，0)，C(3a ，0)，所以⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a ， 所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a)y －3a ＝0.(2) 将圆M 的方程变形为(y ＋3)a －(x 2＋y 2＋3y)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3， 所以当a 变化时，圆M 过定点(0，－3)．12. 已知方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0(a ∈R )表示一个圆．(1) 求实数a 的取值范围；(2) 求该圆面积的取值范围；(3) 求圆心的轨迹方程．解析：(1) 将圆的方程变形为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a)2＝－34a 2－a ＋1， 所以r 2＝－34a 2－a ＋1>0，解得－2<a<23， 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，23. (2) 由(1)知r 2＝－34a 2－a ＋1＝－34⎝⎛⎭⎫a ＋232＋43，所以当a ＝－23时，r 2取得最大值43， 所以该圆面积的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，4π3. (3) 设圆心的坐标为(x ，y)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a 2，y ＝－a ，消去a ，得圆心的轨迹方程为2x －y ＝0(－13<x<1)． 评注：方程Ax 2＋By 2＋Cxy ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示一个圆的充要条件是“A ＝B ≠0，C＝0，且D 2＋E 2－4AF>0”；求半径的取值范围即二次函数求值域问题，求解时需配方；回忆求动点轨迹的步骤．13. 已知方程y －1＝1－x 2.(1) 画出方程表示的曲线；(2) 过点P(1，3)的直线l 与方程y －1＝1－x 2表示的曲线有两个公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1) 方程可化为(y －1)2＝1－x 2(y －1≥0且1－x 2≥0)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －1）2＝1，－1≤x ≤1，y ≥1.画出方程y －1＝1－x 2表示的曲线AB ，如图．(2) 如图，过点P 的直线l 在直线m ，n 处与曲线AB 相切，在直线h处与曲线AB 有两个交点，当l 在m ，h 之间旋转时，l 与曲线AB 仅一个公共点；当l 在n ，h 之间旋转时，l 与曲线AB 有两个交点．直线h 的斜率k h ＝3－11－（－1）＝1， 设直线n 的斜率为k n ，则直线n 的方程为y －3＝k n (x －1)，即k n x －y －k n ＋3＝0.因为圆心(0，1)到直线n 的距离为|2－k n |1＋k 2n＝1，解得k n ＝34，所以k ∈⎝⎛⎦⎤34，1. 点评：将方程转化为熟悉的曲线方程，从而画出图象，但必须注意转化的等价性．。
高考数学一轮复习教案第43课圆的方程
一、考纲要求1．掌握圆的标准方程和一般方程，理解方程中字母的实际意义；2．能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程。
注重数形结合。
3．会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用。
二、知识梳理回顾要求1． 阅读教材第107页~110页,了解以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆标准方程是什么，若该圆的圆心恰为坐标原点，则这个圆的方程又是什么。
2． 方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是什么，其中圆心半径分别是什么标准方程和一般方程怎么转化3． 对于书中第107页，能否看出推导标准方程的步骤。
4． 对于教材的例3，掌握用一般方程的办法求圆的方程，思考能否还有其他方法。
要点解析1、 以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆标准方程222)()(r b y a x =-+-，的圆心恰为坐标原点，则这个圆的方程222r y x =+2、 二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是2240D E F +->，圆心)2,2(E D --，半径F E D 42122-+ 3、 先建立平面直角坐标系，设点，列出关系式再化简得出。
4、圆的标准方程通过展开整理就得到圆的一般方程，圆的一般方程通过配方整理就会得到圆的标准方程。
【教学建议】只需要学生领悟到圆的一般方程与标准方程间的关系就行了。
三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评题1、若方程224250x y mx y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围为 ；若方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆，则实数a 的值为 。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆的方程
第3节圆的方程考试要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆.( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√解析 (2)当a ＝0时，x 2＋y 2＝a 2表示点(0，0)；当a ＜0时，表示半径为|a |的圆. 2.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(2，3)，3 B.(－2，3)， 3 C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，13 答案 D解析 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r ＝13.3.(2021·合肥模拟)已知A (1，0)，B (0，3)两点，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝104 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝104 答案 A 解析 |AB |＝12＋32＝10，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，半径r ＝102，∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104.4.(2022·银川模拟)若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.{－4，4}答案 A解析因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以表示点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，即（1－a）2＋[1－（－a）]2<2，两边平方得：(1－a)2＋(a＋1)2<4，化简得a2<1，解得－1<a<1.5.(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7答案 A解析由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.6.(易错题)若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则k的取值范围为________________.答案(－∞，1)∪(4，＋∞)解析根据题意，若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则λ＝0，方程为x2＋y2＋2kx＋4y＋5k＝0，∴(2k)2＋42－4×5k>0，即k2－5k＋4>0，解得k<1或k>4，故k的取值范围为(－∞，1)∪(4，＋∞).考点一圆的方程1.已知圆E 经过三点A (0，1)，B (2，0)，C (0，－1)，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254 答案 C解析 法一 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1.所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.法二 (几何法)因为圆E 经过点A (0，1)，B (2，0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上.又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0.则圆E 的半径为 |EB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋（0－0）2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.2.在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A.x 2＋(y －1)2＝4 B.x 2＋(y －1)2＝2 C.x 2＋(y －1)2＝8 D.x 2＋(y －1)2＝16答案 B解析 由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1，2)，设圆心(0，1)为点B ，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝（－1－0）2＋（2－1）2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.3.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且截直线x －y －3＝0所得的弦长为6，则圆C 的方程为________. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 法一 ∵所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴可设所求圆的圆心为(a ，－a ). ∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |. 又所求圆截直线x －y －3＝0所得的弦长为6，圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝（a －b －3）22＋32，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① ∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴|a －b |12＋（－1）2＝r .②又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.感悟提升 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 考点二 与圆有关的最值问题 角度1 利用几何意义求最值例1 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆. (1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k＝±3(如图1).所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2).所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 感悟提升把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度2利用对称性求最值例2 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.52－4B.17－1C.6－2 2D.17答案 A解析 P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3).所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.感悟提升 求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.角度3 建立函数关系求最值例3 (2022·衡水模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________. 答案 12解析 由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12. 感悟提升 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.训练1 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2，3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值.解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 2. 又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，∴|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，∴y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 考点三与圆有关的轨迹问题例4 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2). (2)设PQ 的中点为N (x ，y ). 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为 x 2＋y 2－x －y －1＝0.感悟提升 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.训练2 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程. 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，所以点P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆.直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1.圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(3，4)，5 B.(－3，4)，5 C.(－3，－4)，5 D.(3，－4)，5答案 D解析 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25，所以圆心坐标是(3，－4)，半径r ＝5.2.过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B.(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C.(x －1)2＋(y －1)2＝4 D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案 C解析 设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . 因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上， 所以b ＝2－a . 又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2， 所以a ＝1，b ＝1，所以r ＝2， 所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.3.如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，0) D.(0，－1)答案 D 解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大，此时圆心坐标为(0，－1). 4.(2022·太原期末)若k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0不表示圆，则k 的取值集合中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0表示圆的条件为(k －1)2＋(2k )2－4k >0， 即5k 2－6k ＋1>0，解得k >1或k <15.又知该方程不表示圆，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1.又因为k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，所以满足条件的k ＝45，即k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫45. 5.(2022·昆明调研)已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长为6，则圆C 的方程为( )A.x 2＋y 2－2x －4y －8＝0B.x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0C.x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0D.x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 答案 C解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，D 2＋E 2－4F >0， 将P ，Q 两点的坐标代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6得D 2－4F ＝36， ④ 由①②④得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0，故所求的圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.6.已知两点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( ) A.2，12(4－5) B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5 D.12(5＋2)，12(5－2) 答案 B 解析 如图，圆心(1，0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.7.(2021·郑州模拟)圆(x ＋2)2＋(y －12)2＝4关于直线x －y ＋8＝0对称的圆的方程为________________. 答案 (x －4)2＋(y －6)2＝4 解析 设对称圆的圆心为(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －12m ＋2＝－1，m －22－n ＋122＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝6，所以所求圆的圆心为(4，6)， 故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －6)2＝4.8.圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________. 答案2＋1解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1.9.(2022·贵阳调研)已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________. 答案 2 5解析 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，所以圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆.设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，此时，|P A |＋|PQ |取得最小值，由对称性可知|P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.10.已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)， 所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 11.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值.解(1)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋（－3）－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(3)x2＋y2＋2x－4y＋5＝（x＋1）2＋（y－2）2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34， ∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值34－1.12.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255C.355D.455答案 B解析 设圆心为P (x 0，y 0)，半径为r ，∵圆与x 轴，y 轴都相切， ∴|x 0|＝|y 0|＝r .又圆经过点(2，1)，∴x 0＝y 0＝r 且(2－x 0)2＋(1－y 0)2＝r 2， ∴(r －2)2＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝1或r ＝5.当r ＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离 d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255；当r ＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离 d ＝|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255.综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.13.(2022·郑州模拟)大约在2 000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有动点P 满足|OP |＝2，其中O 为坐标原点，若M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|PM |的最小值为________.答案 1解析 由题意可得点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上， 因为|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1<2， 所以点M 在圆内，所以|PM |min ＝r －|OM |＝2－1＝1.14.设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为 y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2， 所以|AB |＝|AF |＋|BF | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1， 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.故圆的半径为x 0＋p2＝4或12，因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案 第43课__圆的方程(含解析)
第43课 圆 的 方 程1. 掌握圆的标准方程和圆的一般方程，理解方程中各字母参数的实际意义.2. 能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程. 注重数形结合的思想方法，并灵活运用平面几何的知识解决有关圆的问题.3. 会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用.1. 阅读：必修2第107～110页.2. 解悟：①圆的标准方程和一般方程的结构有什么特征？其中各参数有怎样的含义？②方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆需要什么条件？③圆的标准方程和一般方程如何转化？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第111页练习第3、4、5题.基础诊断1. 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 的值为 －1 ；若方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为 ⎝⎛⎭⎫－∞，14∪(1，＋∞) . 解析：若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2≠0，⎝⎛⎭⎫2a a ＋22－4aa ＋2>0，解得a ＝－1.若x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则4m 2－5m ＋1>0，解得m<14或m>1.2. 已知A ，B 两点的坐标分别为(0，4)，(4，6)，则以AB 为直径的圆的标准方程为 (x －2)2＋(y －5)2＝5 . 解析：由题意得，圆心即AB 的中点(2，5)，半径为12AB ＝12（0－4）2＋（4－6）2＝5，故以AB 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －5)2＝5.3. 已知圆过点(1，2)，圆心在y 轴上，半径为1，则该圆的方程为 x 2＋(y －2)2＝1 Ｗ.解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4. 如果点P(1，1)在圆(x －a)2＋(y －a)2＝4的内部，那么实数a 解析：由题意得(1－a)2＋(1－a)2<4，解得1－2<a<1＋ 2.范例导航 考向❶ 确定圆的方程例1 分别求满足下列条件的圆的方程：(1) 已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上； (2) 经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)；(3) 已知圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋39＝0，直线l ：3x －4y ＋5＝0，求圆C 关于直线l 对称的圆的方程. 解析：(1) 设所求圆的圆心C(a ，b)，因为CA ＝CB ＝r ，点C 在直线3x －y －2＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）2＋（b －1）2＝（a ＋1）2＋（b －3）2，3a －b －2＝0，解得a ＝2，b ＝4，r ＝10.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10.(2) 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为该圆经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)，分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，故所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.(3) 由已知得，圆C 的圆心为C(－2，6)，半径为1. 设圆D 与圆C 关于直线l 对称，设D(a ，b)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧3·a －22－4·b ＋62＋5＝0，b －6a ＋2＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2， 故所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1.圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5). (1) 若圆的面积最小，求圆C 的方程；(2) 若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程. 解析：(1) 要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径， 圆心C(0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋4)2＝5. (2) 因为k AB ＝12，AB 的中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以圆心为(－1，－2)，则半径r ＝10，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 考向❷ 含参的圆的方程问题例2 已知圆C 的方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0.(1) 若圆C 上任意点A 关于直线l ：x ＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值； (2) 求圆心C 到直线ax ＋y －a 2＝0距离的取值范围. 解析：(1) 将圆C 的方程配方得(x －a)2＋(y ＋1)2＝a 2－a.由题意知圆心C(a ，－1)在直线l ：x ＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，所以a ＝7. (2) 由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.由方程得圆心C (a ，－1)到直线ax ＋y －a 2＝0的距离d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1.因为a ＞1或a ＜0，所以a 2＋1＞1，所以0＜d ＜1，所以所求距离的取值范围为(0，1).已知圆C 经过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1. (1) 求圆C 的方程；(2) 过原点O 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1交圆C 于E ，F 两点，l 2交圆C 于G ，H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值.解析：(1) 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则点C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. 因为圆C 经过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，－D 2＝2＋m 2，－E2－0－D 2－m＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝5，F ＝－6，m ＝－3，故圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.(2) 由(1)得圆心C ⎝⎛⎭⎫－12，－52，R ＝52，设圆心C 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2， 则d 21＋d 22＝OC 2＝132. 又因为⎝⎛⎭⎫EF 22＋d 21＝R 2，⎝⎛⎭⎫GH 22＋d 22＝R 2， 两式相加，得EF 2＋GH 2＝74≥2EF·GH ，当且仅当EF ＝GH ＝37时取等号， 所以S 四边形EGFH ＝12EF·GH ≤372，即四边形EGFH 面积最大为372.【备用题】 已知点(x ，y)在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上.求：(1) x ＋y 的最大值和最小值； (2) yx 的最大值和最小值；(3) x 2＋y 2的取值范围.答案：(1) x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. (2) y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(3) x 2＋y 2的取值范围是[14－213，14＋213].自测反馈1. 当m ＝ 2 时，方程mx 2＋my 2－4(m －1)x ＋4y ＝0表示的圆的面积最小.解析：因为mx 2＋my 2－4(m －1)x ＋4y ＝0，化为标准方程为⎣⎡⎦⎤x －2（m －1）m 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2m 2＝4（m －1）2＋4m 2，所以R 2＝4（m 2－2m ＋2）m 2＝4⎝⎛⎭⎫2m 2－2m ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1m －122＋2，当1m －12＝0，即m ＝2时，R 2取最小值，此时圆的面积最小. 2. 已知点P(2，1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，P 关于直线x ＋y －1＝0对称的点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为 (0，1) ，半径为 2 .解析：由题意知圆心C ⎝⎛⎭⎫－a 2，1在直线x ＋y －1＝0上，所以－a2＋1－1＝0，得a ＝0，所以圆心C(0，1)，半径r＝（2－0）2＋（1－1）2＝2.3. 已知圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，下列结论正确的是①②③Ｗ.(填序号)①当a2＋b2＝r2时，圆C必过原点；②当a＝r时，圆C与y轴相切；③当b＝r时，圆C与x轴相切；④当b<r 时，圆C与x轴相交.解析：①②③正确；当b<r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<r时，圆与x轴相交，而b<r不能保证|b|<r，故④错.4. 已知圆C：x2＋(y＋4)2＝4，点A(－2，0)，B(2，0)，P(x，y)是圆C上的任意一点，则PA2＋PB2的取值范围为[16，80]Ｗ.解析：PA2＋PB2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8.又因为P(x，y)是圆C上的任意一点，设x2＋y2＝r2，则r∈[OC－2，OC＋2]，即r∈[2，6]，所以x2＋y2∈[4，36]，所以PA2＋PB2∈[16，80].1. 熟练掌握圆的标准方程和圆的一般方程，熟练掌握由圆的标准方程和一般方程求圆心和半径.2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同样用代数方法(方程)研究圆时，确定一个圆需要三个独立的条件，反映在圆的标准方程中，有三个参数a，b，r；反映在圆的一般方程中也有三个参数D，E，F.在求圆的方程时要根据具体条件选择适当的形式通过待定系数法解方程(组)得到.3. 你还有哪些体悟，写下来：。
(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教案(含解析)
§9.3圆的方程考情考向分析以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程概念方法微思考1．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( ×)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( ×)(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √)题组二教材改编2．[P111练习T4]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．答案(2，－3)解析由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．3．[P111习题T1(3)]已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为(a,0)，易知(a－5)2＋(－1)2＝(a－1)2＋(－3)2，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三 易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－22)∪(22，＋∞)解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1<a <1解析 ∵点(1,1)在圆内， ∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝1解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a ,1)(a >0)， 又圆与直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)． ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型一 圆的方程例1求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解 方法一 设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∴k CB ＝6＋E28＋D 2.∵圆C 与直线l 相切，∴k CB ·k l ＝－1， 即6＋E28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0， ② 又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. 方法二 设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ， 可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)， 即3x －y －18＝0.①由A (－2，－4)，B (8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)． 又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)， 即x ＋y －4＝0.②由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252， ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 跟踪训练1(1)(2018·如皋模拟)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a×33＝－1，(a －2)2＋(b －3)2＝a 2＋(b －3)2，解得a ＝1，b ＝0，则r ＝2， 即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，② 又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．②又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.题型二 与圆有关的最值问题例2已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法． ①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． 跟踪训练2已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. 求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，其在y 轴上的截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.题型三 与圆有关的轨迹问题例3已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练3设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________． 答案 (－2，－4)解析 由题意得a 2＝a ＋2，a ＝－1或2. 当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54不表示圆．2．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________． 答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1)．3．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是______________． 答案 (x －1)2＋(y ＋2)2＝25解析 设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.5．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为________． 答案 (x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1解析 到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.6．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________________． 答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ， 则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 7．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________________． 答案 (x －1)2＋(y －3)2＝4解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.8．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－3，－1]∪[1,3]解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22， 由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1. ∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．9．平面内动点P 到两点A ，B 的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝12，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________________． 答案 x 2＋y 2＋203x ＋4＝0解析 由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y2(x －2)2＋y2＝12， 化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0.10．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.11．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上， (1)求yx的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值和最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2. (1)(转化为斜率的最值问题求解)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径， 可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145.所以y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2， 即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.12．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足PA ＝2PB . (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求QM 的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线， 连结CQ ，则QM ＝CQ 2－CM 2＝CQ 2－16， 当QM 最小时，CQ 最小，此时CQ ⊥l 1，CQ ＝|5＋3|2＝42， 则QM 的最小值为32－16＝4.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝PB 2＋PA 2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝PB 2＋PA 2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为__________________________． 答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．若圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是________． 答案323解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39， ∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称， ∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0， ∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)， ∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝323， 当且仅当3b a ＝3ab，即a ＝b 时取等号．16．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，求x 2＋y 2的最大值． 解x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2.综上可知，x2＋y2的最大值为2 2.21。
圆的方程(高三数学第一轮复习)
C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2=16
能力提高训练：
1、已知过点A(1,4),B(3-2)且圆心到直线AB的 距离为 10 , 求这个圆的方程. 2、一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上,且 直线y=x截圆所得弦长为2,求此圆的方程.
（A）5 2 （B）10 2 （C）15 2 （D）20 2
圆的方程(高三数学第一轮复习)
能力提高训练：
5、已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求: (1) y 的最大值和最小值;
x
(2)y-x的最小值; (3)x2+y2的最大值与最小值.
6.若圆（x-3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-
例3. 已知圆O1:x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y3=0相交于P, Q两点, 若yOP⊥OQ,求m的值.
P
O1
Q
O
x
解: 由方程组
x2 y2 x 6 y m 0,
x
2
y
3
0.
消x,得
5 y2 20 y 12 m 0.
设直线与圆的交点坐标为P(x1, y1) , Q(x2 , y2),
基础练习训练：
1、写出满足下列条件的圆的方程: (1)圆心在原点,半径为3 (2)经过点B(3,1),圆心在点C(-2,-4) (3)以A(2,5),B(0,-1)直径 (4)过三点A(1,12),(7,10),(-9,2)
基础练习训练：
江苏专版2020版高考数学一轮复习第九章解析几何第三节圆与方程教案理含解析苏教版
第三节圆与方程1．圆的定义及方程点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0＜a ＜1，则原点与圆的位置关系是________．解析：将圆的一般方程化成标准方程，得(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0＜a ＜1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2＞0，即0＋a2＋0＋12＞2a ，所以原点在圆外．答案：原点在圆外2．圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________． 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12AB ＝12[1－－1]2＋4－22＝ 2.所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝23．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．[小题纠偏]若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－12＋12－4m ＞0，1＋－12－1－1＋m ＞0，解得0＜m ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12考点一 圆的方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·东台中学检测)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心坐标为(a,0)，则a －52＋－12＝a －12＋－32，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：(x －2)2＋y 2＝102．(2018·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为____________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的标准方程为____________． 解析：因为AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)， 所以A (0,2)，B (2,0)，AB ＝0－22＋2－02＝2 2.所以点A ，B 的中点为(1,1)，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24．(2019·盐城中学测试) 圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程． 解：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径， 所以圆心为(0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋4)2＝5. (2)因为k AB ＝12，AB 的中点为(0，－4)，所以直线AB 的中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式得半径r ＝10， 因此所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2019·涞水月考)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求y x的最大值与最小值．解：方程(x －3)2＋(y －3)2＝6表示以(3,3)为圆心，6为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值， 此时|3k －3|k 2＋1＝6，解得k ＝3±2 2.所以y x的最大值为3＋22，最小值为3－2 2. 角度二：截距型最值问题2．(2018·东海高级中学测试)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，则2x －y 的最大值为________．解析：令b ＝2x －y ，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值． 由|2×2＋1－b |5＝1，解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋ 5. 答案：5＋ 53．(2019·启东模拟)已知非负实数x ，y 满足x ≠y ，且x 2＋y 2x ＋y≤4，则S ＝y －2x 的最小值是________．解析：由x 2＋y 2x ＋y≤4，得x 2＋y 2≤4(x ＋y )，移项配方得(x －2)2＋(y －2)2≤8，此不等式表示以C (2,2)为圆心，以22为半径的圆及其内部在第一象限与x 轴、y 轴正半轴的部分(除去y ＝x )．将S ＝y －2x 变形为y ＝2x ＋S ，当直线l ：y ＝2x ＋S 与圆相切于第一象限时，S 取得最小值，由圆的切线性质，圆心C (2,2)到l 的距离等于半径长，即|2＋S |5＝22，解得S ＝－2－210(S ＝－2＋210舍去)．故S ＝y －2x 的最小值是－2－210.答案：－2－210 角度三：距离型最值问题4．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.[通法在握]与圆有关的最值问题的3种常见转化法 (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[演练冲关]1．(2019·淮安检测)已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0可化为(x －2)2＋(y －3)2＝1，则圆心坐标为(2,3)，圆的半径r ＝1.因为x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在圆心与原点连线与圆的两个交点处取得最值，又圆心到原点的距离为2－02＋3－02＝13，所以x 2＋y 2的最小值为(13－1)2＝14－213.答案：14－2132．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,0)，B (1,0)．若动点C 满足AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________．解析：设C (x ，y )，则(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋2y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8.其中y ≠0，从而S △ABC ＝12×2×|y |≤22，即△ABC 的面积的最大值是2 2.答案：2 2考点三 圆的方程的简单应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领](2018·扬州调研)设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a ＞0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 因为圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，所以⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0.(2)因为圆M 的方程可化为(x 2＋y 2＋3y )－(3＋y )a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3y ＝0，3＋y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.所以圆M 过定点(0，－3)．[由题悟法]圆的方程是一个二元二次方程，所以有时候我们可从函数和方程的角度对其相关问题进行分析，也可利用方程中x ，y 的取值范围来确定有关函数的值或范围．[即时应用]已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求P Q ―→·M Q ―→的取值范围．解：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q(x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且P Q ―→·M Q ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以P Q ―→·M Q ―→＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 所以P Q ―→·M Q ―→的取值范围为[－4,0]．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若圆的半径为3，圆心与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆的标准方程为________． 答案：x 2＋y 2＝92．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆O ：x 2＋y 2＋2x ＝0上任意一点，点Q(2a ，a ＋3)(a ∈R)，则线段P Q 长度的最小值为________．解析：圆O ：x 2＋y 2＋2x ＝0，即 (x ＋1)2＋y 2＝1，表示以(－1，0)为圆心、半径为1的圆，则点Q(2a ，a ＋3)到圆心(－1，0)的距离d ＝2a ＋12＋a ＋32＝5a 2＋10a ＋10＝5a ＋12＋5，所以当a ＝－1时，d 取得最小值为5，故线段P Q 长度的最小值为5－1.答案：5－13．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为________． 解析：由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2得，a 2＋b 2＝2.所以点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2. 答案：24．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心， 又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝15．(2019·兴化月考)经过点(2,0)且圆心是直线x ＝2与直线x ＋y ＝4的交点的圆的标准方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(2,2)，则圆心坐标为(2,2)．又点(2,0)在圆上，所以半径r ＝2，则圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝46．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则P Q 的最小值为________．解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为M Q ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·无锡调研)设两条直线x ＋y －2＝0,3x －y －2＝0的交点为M ，若点M 在圆 (x －m )2＋y 2＝5内，则实数m 的取值范围为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则M (1,1)，由交点M 在圆(x －m )2＋y 2＝5的内部，可得(1－m )2＋1＜5，解得－1＜m ＜3. 故实数m 的取值范围为(－1,3)． 答案：(－1,3)2．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析：设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．过两点连线的直线方程为kx －y ＋1－2k ＝0，当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值，由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案：33，－333．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝24．(2018·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________________．解析：根据题意，设圆C 的圆心为(m ，－2m )，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －22＋－2m ＋12＝r 2，|m －2m －1|2＝r ，解得m ＝1，r ＝2，所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝25．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m ＝________.解析：因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.答案：－16．在平面直角坐标系xOy 内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＜－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)7．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π4 8．(2018·滨海中学检测)已知点P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，若圆C 上存在点Q ，使得∠CP Q ＝30°，则正数a 的取值范围是________．解析：由圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2，得圆心为C (a ，a )，半径r ＝2a ，∴CP ＝a 2＋a －22，设过P 的一条切线与圆的切点是T ，则CT ＝2a ，当Q 为切点时，∠CP Q 最大．∵圆C 上存在点Q 使得∠CP Q ＝30°，∴CTCP ≥sin 30°，即2a a 2＋a －22≥12， 整理可得3a 2＋2a －2≥0，解得a ≥7－13或a ≤－7－13(舍去)．又点 P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，∴a 2＋(2－a )2＞2a 2，解得a ＜1.故正数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－13，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－13，1 9．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD ＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径CD ＝410，所以PA ＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值；(2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22， 解上式得，16－210≤t ≤16＋210，所以所求的最大值为16＋210.(2)记点Q(－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线M Q 的斜率k ， 所以直线M Q 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线M Q 与圆C 有公共点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宁海中学模拟)如果直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝mx ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝m x ＋1＋1的图象恒过点(－1,2)，代入直线2ax －by ＋14＝0，可得－2a －2b ＋14＝0，即a ＋b ＝7.∵定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，∴a 2＋b 2≤25.设b a＝t ，则b ＝at ，代入a ＋b ＝7，可得a ＝71＋t ，b ＝7t 1＋t ，代入a 2＋b 2≤25，可得()1＋t 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫71＋t 2≤25，∴12t 2－25t ＋12≤0，∴34≤t ≤43.故b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，43 2．(2018·启东中学检测)已知点A (0,2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T ，使得∠MAT ＝45°，则实数a 的取值范围是________．解析：圆M 的方程可化为(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2.圆心为M (a ，a )，半径为2a . 当A ，M ，T 三点共线时，∠MAT ＝0°最小， 当AT 与圆M 相切时，∠MAT 最大．圆M 上存在点T ，使得∠MAT ＝45°，只需要当∠MAT 最大时，满足45°≤∠MAT ＜90°即可． MA ＝a －02＋a －22＝2a 2－4a ＋4， 此时直线AT 与圆M 相切，所以sin ∠MAT ＝MTMA ＝2a 2a 2－4a ＋4.因为45°≤∠MAT ＜90°，所以22≤sin∠MAT ＜1， 所以22≤2a 2a 2－4a ＋4＜1， 解得3－1≤a ＜1.答案：[3－1,1)3．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为6 3 m ，行车道总宽度BC 为211m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．解：(1)以EF 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，1 m 为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系．则E (－33，0)，F (33，0)，M (0,3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，因为F (33，0)，M (0,3)都在圆上， 所以⎩⎨⎧ 332＋b 2＝r 2，02＋3－b 2＝r 2，解得b ＝－3，r 2＝36. 所以圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2)设限高为h ，作CP ⊥AD 交圆弧于点P ，则CP ＝h ＋0.5.将点P的横坐标x＝11代入圆的方程，得11＋(y＋3)2＝36，解得y＝2或y＝－8(舍去)．所以h＝CP－0.5＝(y＋DF)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．答：车辆的限制高度为3.5 m.。
2022年教学教材《2021江苏高中数学一轮学案 圆的方程》优秀教案
第三节圆的方程[最新考纲]1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程点M0，0与圆－a2＋－b2＝r2的位置关系：1假设M0，0在圆外，那么0－a2＋0－b2＞r22假设M0，0在圆上，那么0－a2＋0－b2＝r23假设M0，0在圆内，那么0－a2＋0－b2＜r2错误!圆的三个性质1圆心在过切点且垂直于切线的直线上；2圆心在任一弦的中垂线上；3两圆相切时，切点与两圆心三点共线．一、思考辨析正确的打“√〞，错误的打“×〞1确定圆的几何要素是圆心与半径．2方程2＋2＝a2表示半径为a的圆．3方程2＋2＋4m－2＋5m＝0表示圆．4方程A2＋B＋C2＋D＋E＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0 [答案]1√2×3×4√二、教材改编1．圆2＋2－4＋6＝0的圆心坐标和半径分别是A．2,3，3B．－2,3，错误!C．－2，－3，13 D．2，－3，错误!D[圆的方程可化为－22＋＋32＝13，所以圆心坐标是2，－3，半径r＝错误!]2．点A1，－1，B－1,1，那么以线段AB为直径的圆的方程是A．2＋2＝2 B．2＋2＝错误!C．2＋2＝1 D．2＋2＝4A[AB的中点坐标为0,0，|AB|＝错误!＝2错误!，所以圆的方程为2＋2＝2]3．过点A1，－1，B－1,1，且圆心在直线＋－2＝0上的圆的方程是A．－32＋＋12＝4 B．＋32＋－12＝4C．－12＋－12＝4 D．＋12＋＋12＝4C[设圆心C的坐标为a，b，＋－2＝0上，所以b＝2－a又|CA|2＝|CB|2，所以a－12＋2－a ＋12＝a＋12＋2－a－12，所以a＝1，b＝＝2所以方程为－12＋－12＝4]4．在平面直角坐标系中，经过三点0,0，1,1，2,0的圆的方程为．2＋2－2＝0[设圆的方程为2＋2＋D＋E＋F＝0∵圆经过点0,0，1,1，2,0，∴错误!解得错误!∴圆的方程为2＋2－2＝0]考点1圆的方程求圆的方程的2种方法1几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2待定系数法：①假设条件与圆心a，b和半径r有关，那么设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．1[一题多解]圆E经过三点A0,1，B2,0，C0，－1，且圆心在轴的正半轴上，那么圆E的标准方程为\u＝－a2＋－b2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．实数，满足方程2＋2－4＋1＝01求错误!的最大值和最小值；2求－的最大值和最小值；3求2＋2的最大值和最小值．[解]原方程可化为－22＋2＝3，表示以2,0为圆心，错误!为半径的圆．1错误!的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设错误!＝，即＝当直线＝与圆相切时，斜率取最大值或最小值，此时错误!＝错误!，解得＝±错误!如图1．所以错误!的最大值为错误!，最小值为－错误!图1图2图32－可看作是直线＝＋b在轴上的截距，当直线＝＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时错误!＝错误!，解得b＝－2±错误!如图2．所以－的最大值为－2＋错误!，最小值为－2－错误!32＋2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，2＋2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值如图3．又圆心到原点的距离为错误!＝2，所以2＋2的最大值是2＋错误!2＝7＋4错误!，2＋2的最小值是2－错误!2＝7－4错误!与圆有关的斜率型、截距型、距离型最值问题一般根据相应几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．点A－1,0，B0,2，点，n，故错误!解得错误!故A′－4，－2．连接A′C交圆C于Q图略，由对称性可知|的轨迹方程．[解]1法一：设C，，因为A，B，C三点不共线，所以≠0因为AC⊥BC，所以AC·BC＝－1，又AC＝错误!，BC＝错误!，所以错误!·错误!＝－1，化简得2＋2－2－3＝0因此，直角顶点C的轨迹方程为2＋2－2－3＝0≠0．法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D1,0，由直角三角形的性质知|CD|＝错误!|AB|＝2由圆的定义知，动点C的轨迹是以D1,0为圆心，2为半径的圆由于A，B，C三点不共线，所以应除去与轴的交点．所以直角顶点C的轨迹方程为－12＋2＝4≠0．2设M，，C0，0，因为B3,0，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得＝错误!，＝错误!，所以0＝2－3，0＝2由1知，点C的轨迹方程为－12＋2＝4≠0，将0＝2－3，0＝2代入得2－42＋22＝4，即－22＋2＝的轨迹方程为－22＋2＝1≠0．此类问题在解题过程中，常因无视对特殊点的验证而造成解题失误．[教师备选例题]过原点的动直线与圆C1：2＋2－6＋5＝0相交于不同的两点A，B1求圆C1的圆心坐标；2求线段AB的中点M的轨迹C的方程．[解]1由2＋2－6＋5＝0得－32＋2＝4，所以圆C1的圆心坐标为3,0．2设M，，因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，所以C1M ·AB＝－1，当≠3时可得错误!·错误!＝－1，整理得错误!错误!错误!点坐标为3,0，代入上式成立．设直线的方程为＝，与2＋2－6＋5＝0联立，消去得：1＋22－6＋5＝0令其判别式Δ＝－62－41＋2×5＝0，得2＝错误!，此时方程为错误!2－6＋5＝0，解上式得＝错误!，因此错误!<≤错误!错误!错误!错误!－3,4，动点N在圆2＋2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONN的中点坐标为错误!因为平行四边形的对角线互相平分，所以错误!＝错误!，错误!＝错误!，整理得错误!又点N0，0在圆2＋2＝4上，所以＋32＋－42＝4所以点与轨迹相交于两点错误!和错误!，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为圆＋32＋－42＝4，除去两点错误!和错误!。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案 第44课__直线与圆的位置关系(含解析)
第44课 直线与圆的位置关系(1)1. 理解直线与圆的位置关系，会利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，能够根据所给关系解决相关问题.2. 熟练掌握圆的几何性质的运用，通过数形结合解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等问题，体会用代数法处理几何问题的思想.1. 阅读：必修2第112～114页.2. 解悟：①了解直线和圆有哪些位置关系；用直线与圆的方程怎么判断直线和圆的关系？试用数学语言进行表述；②已知圆心到直线的距离为d ，试写出直线与圆相交形成的弦AB 的长度；③求切线方程及切线长度的注意点和具体方法是什么？3. 践习：在教材空白处完成必修2第115页练习第1、5、6题.基础诊断1. 已知直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 解析：将圆化为标准方程(x －1)2＋y 2＝3，所以圆心(1，0)，半径r ＝ 3.因为直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，所以圆心到直线3x －y ＋m ＝0的距离等于半径，即|3＋m|3＋1＝3，解得m ＝3或－3 3.2. 若过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 2x －y ＝0 Ｗ.解析：由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx.圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心为(1，2)，半径r ＝1.又因为直线与圆相交所得的弦长为2，为直径，所以直线y ＝kx 过圆心，所以k ＝2，直线方程为2x －y ＝0.3. 已知直线3x －4y ＋a ＝0与圆x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0有公共点，则实数a 的取值范围是 [－12，8] .解析：将圆化为标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心(2，1)，半径为2.因为直线与圆有公共点，设圆心到直线的距离为d ，所以d ≤r ，即|6－4＋a|33＋42≤2，解得－12≤a ≤8.4. 若圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－65，0 . 解析：原问题可转化为圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4和圆x 2＋y 2＝1相交，可得两圆圆心之间的距离d ＝（2a －0）2＋（a ＋3－0）2＝5a 2＋6a ＋9，所以2－1<5a 2＋6a ＋9<2＋1，解得－65<a<0.范例导航考向❶ 直线与圆的位置关系问题例1 分别求当正数a 取何值时，直线x ＋y －2a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a 2－a ＋1＝0：(1) 相切；(2) 相离；(3) 相交.解析：将圆方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a 2－a ＋1＝0化为标准方程，得(x －a)2＋(y ＋1)2＝a ，圆心坐标为(a ，－1)，圆心到已知直线的距离为d ＝|a －1－2a ＋1|2＝a2，半径为r ＝ a.(1) 当d ＝r ，a2＝a ，即a ＝2时，直线与圆相切. (2) 当d>r ，a2>a ，即a>2时，直线与圆相离.(3) 当d<r ，a2<a ，即0<a<2时，直线与圆相交.已知圆C ：x 2＋y 2＝8，定点P(4，0)，直线l 过点P 且倾斜角为α.(1) 若直线l 与圆C 相切，则α的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，3π4 ；(2) 若直线l 与圆C 相交，则α的取值范围是 ⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π ； (3) 若直线l 与圆C 相离，则α的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫π4，3π4 .解析：因为直线l 过点P(4，0)，设直线l ：y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0，则圆心到直线l 的距离为d ＝|4k|k 2＋1. (1) 若直线l 与圆C 相切，则d ＝|4k|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝－1，所以倾斜角为π4或3π4.(2) 若直线l 与圆C 相交，则d ＝|4k|k 2＋1<22，解得－1<k<1，所以倾斜角范围为⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π. (3) 当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为π2，此时直线l 与圆C 相离；当直线的斜率存在时，则d ＝|4k|k 2＋1>22，解得k>1或k<－1，所以倾斜角为⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4，综上，倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π4，3π4. 考向❷ 直线与圆的交点及弦长问题例2 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.(1) 证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2) 求直线l 被圆C 截得的最短弦长. 解析：方法一：(1) 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，（x －1）2＋（y ＋1）2＝12， ① 消去y 并整理，得(k 2＋1)x 2－(2－4k)x －7＝0. ② 因为Δ＝(2－4k)2＋4(k 2＋1)·7>0恒成立，所以方程②总有两个不相等的实数根， 即方程组①有两组解，即直线与圆总有两个交点， 所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.(2) 由(1)知，直线与圆总有两个不同的交点，设为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由②式知x 1＋x 2＝2－4k k 2＋1，x 1x 2＝－7k 2＋1，所以直线l 被圆C 截得的弦长 AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k k 2＋12－4·⎝⎛⎭⎫－7k 2＋1 ＝28－4k ＋11k 2k 2＋1＝211－4k ＋3k 2＋1.令t ＝4k ＋3k 2＋1，则tk 2－4k －3＋t ＝0，当t ＝0时，k ＝－34，此时AB ＝211；当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16＋4t (3－t )≥0，解得－1≤t ≤4(t ≠0)， 故t 的最大值为4，此时AB 取得最小值27.综上，直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.方法二：(1) 圆心C (1，－1)到已知直线l 的距离为d ＝|k ＋2|1＋k 2，圆C 的半径r ＝23，r 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k 2.令t ＝11k 2－4k ＋8＝11⎝⎛⎭⎫k －2112＋8411≥8411>0， 从而r 2－d 2>0，即d <r ，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.(2) 由平面几何知识，得直线l 被圆C 截得的弦长：AB ＝2r 2－d 2＝211k 2－4k ＋81＋k 2，下同方法一.方法三：(1) 已知圆的圆心C (1，－1)，半径r ＝23， 直线l ：y ＝kx ＋1经过定点P (0，1)，因为PC ＝12＋22＝5<23＝r ，所以点P (0，1)在圆的内部， 所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.(2) 由平面几何知识，得过圆内定点P (0，1)的弦，只有和PC 垂直时最短， 所以P (0，1)为弦AB 的中点，由勾股定理，得AB ＝212－5＝27， 故直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1，1)的直线l 与圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝ 12Ｗ.解析：因为点M 在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5上，圆心C (－1，2)，所以直线l 与直线MC 垂直，所以直线MC 平行于直线ax ＋y －1＝0，所以－a ＝1－21－（－1）＝－12，即a ＝12.考向❸ 直线与圆相切问题例3 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点.(1) 若AM ⊥l ，过点A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小； (2) 若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围. 解析：(1) 圆M 的圆心M(1，1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ， 所以k AM ＝1，所以直线AM 的方程为y ＝x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A(3，3). 如图，连结MP ，因为∠PAM ＝12∠PAQ ，sin ∠PAM ＝PM AM ＝2（3－1）2＋（3－1）2＝22，所以∠PAM ＝45°，所以∠PAQ ＝90°.(2) 过A(a ，b)作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点. 因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要作∠DAE ≥60°. 因为AM 平分∠DAE ，所以只要30°≤∠DAM<90°，即12≤sin ∠DAM<1，即2（a －1）2＋（b －1）2≥12， 且2（a －1）2＋（b －1）2<1.又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5， 即点A 横坐标的取值范围是[1，5].已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.解析：将圆C 的方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以C(1，1)，半径r ＝1.因为四边形PACB 面积S ＝2×12×PA ×AC ＝PA ＝PC 2－1，所以当PC 取最小值时，四边形PACB 的面积S 取最小值.因为P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，所以PC 最小即为圆心到直线的距离，即PC min ＝|3＋4＋8|32＋42＝155＝3，所以四边形PACB 面积最小值为S ＝2 2.自测反馈1. 已知过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2＝3截得的弦长为22，则直线l 的方程为 x ＝－1或3x －4y －5＝0 .解析：由题意得圆心到所求直线的距离为1，当直线斜率不存在时，直线为x ＝－1，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线为y ＋2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，所以|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y－5＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－1或3x －4y －5＝0.2. 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC ，BD ，则四边形ABCD Ｗ.解析：将圆的方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心为(1，3)，半径为10.因为点E 在圆内，所以过点E 最长的弦为直径AC ，最短的弦为过点E 且与直径AC 垂直的弦，则AC ＝210，BD ＝210－[（1－0）2＋（3－1）2]＝25，所以四边形ABCD 的面积为12AC·BD ＝10 2.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是 (－13，13) .解析：由题意知圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2.因为圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c＝0的距离为1，所以圆心到直线的距离小于1，即|c|122＋52<1，所以－13<c<13. 4. 从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P(3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 35.解析：将圆的方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心坐标(1，1)，半径为1.由题意知过点P(3，2)的两条切线斜率存在，设切线方程为y －2＝k(x －3)，即kx －y －3k ＋2＝0，所以圆心到切线的距离等于半径，即|－2k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝43.设两直线的夹角为α，所以tan α＝43，所以cos α＝11＋tan 2α＝35，即两条切线夹角的余弦值为35.1. 直线与圆有相离、相切、相交三种关系，可以用直线和圆的方程联立方程组，消去y 后观察二次方程的Δ即可，若Δ>0，则直线与圆相交；若Δ＝0，则直线与圆相切；若Δ<0，则直线与圆相离.2. 用点到直线的距离公式可以写出圆心到直线的距离d ，比较d 与半径r 的关系：若d>r ，则直线和圆相离；若d<r ，则直线与圆相交；若d ＝r ，则直线与圆相切.3. 弦长与切线长问题往往转化为弦心距、点到切线的距离与半径，利用直角三角形处理.4. 你还有哪些体悟，写下来：。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案 第40课__直线的方程(含解析)
___第40课__直线的方程____1. 了解确定直线位置的几何要求(两个点或一点和方向)．2. 掌握直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程．3. 熟悉直线方程各形式的特征，理解各形式之间的关系，会由已知直线方程求相关的特征量.1. 阅读：必修2第80～86页，温习直线方程的五种形式．2. 解悟：①直线方程的各种形式需要怎样的条件？各有怎样的适用范围？②直线方程各种形式之间有怎样的区别与联系？③教材第82页的探究内容所蕴含的意义是什么？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第83页练习第3题；第85页练习第2、4题；第87页练习第4、5题.基础诊断1. 已知点A(－4，6)，B(－2，4)，则直线AB 的一般式方程为__x ＋y －2＝0__．解析：易知直线斜率存在．设直线AB ：y ＝kx ＋b ，将点A(－4，6)，B(－2，4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝－4k ＋b ，4＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2，所以直线AB ：y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0. 2. 过点(1，2)且倾斜角的正弦值为45的直线方程是__y ＝43x ＋23或y ＝－43x ＋103__．解析：由题意知sin α＝45，因为α∈[0，π)，所以tan α＝43或－43，即直线的斜率为43或－43.当斜率为43时，直线方程为y ＝43x ＋23；当斜率为－43时，直线方程为y ＝－43x ＋103.3. 过点(3，－4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是__y ＝－43x 或x ＋y ＋1＝0__．解析：当直线过原点(0，0)时，因为直线过点(3，－4)，所以直线方程为y ＝－43x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya＝1，将点(3，－4)代入，得a ＝－1，所以直线方程为x ＋y ＋1＝0.4. 给出下列命题：①经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示；②经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b ；③不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示；④经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示，其中正确命题的个数为__1__．解析：①过点P 0(x 0，y 0)且垂直于x 轴的直线不能用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示，故①错；②经过点A(0，b)且垂直于x 轴的直线不能用方程y ＝kx ＋b 表示，故②错；③垂直于两坐标轴的直线不能用方程x a ＋yb ＝1表示，故③错；④经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示，故④正确．范例导航考向❶ 求直线方程例1 已知直线l 过点A(5，2)．(1) 若直线l 的斜率为2，求直线l 的方程；(2) 若直线l 经过点B(3，－2)，求直线l 的方程．解析：(1) 因为直线l 过点A(5，2)，斜率为2，由点斜式方程得y －2＝2(x －5)，故所求直线l 的方程为2x －y －8＝0.(2) 因为直线l 过点A(5，2)，点B(3，－2)，由两点式方程得y －2－2－2＝x －53－5，故所求直线l 的方程为2x －y－8＝0.若直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线的方程为__4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0__．解析：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1.又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a＝－4或a ＝9，故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 考向❷ 含有参数的直线方程例2 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R)．(1) 求证：直线l 过定点；(2) 若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围． 解析：(1) 直线l 的方程化简为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， 所以无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2，1)．(2) 当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2kk≤0，1＋2k ≥0，k >0，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，若直线l 在x 轴上的截距是－3，则m ＝__－53__；若直线l 的斜率是－1，则m ＝__－2__．解析：因为直线l 在x 轴上的截距为－3，令y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝－53.若直线l 的斜率为－1，则⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.考向❸ 直线方程的简单运用例3 已知直线l 过点P(2，1)，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，若O 为坐标原点，求△OAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解析：方法一：因为直线l 过点P(2，1)，若斜率不存在，则直线与y 轴无交点，所以直线的斜率存在. 若k ＝0，则直线与x 轴无交点，所以k ≠0.又直线与x ，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，所以k<0.设直线方程为y －1＝k(x －2)，分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B(0，1－2k)， 则S △OAB ＝12·OA·OB ＝12⎝⎛⎭⎫2－1k (1－2k) ＝－2k －12k ＋2≥2＋2（－2k ）·1－2k＝4，当且仅当－2k ＝1－2k，即k ＝－12时，等号成立，即△OAB 面积的最小值为4.此时，直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.方法二：设 A ，B 两点的坐标分别为A(a ，0)，B(0，b)，a>0，b>0，由直线的截距式方程得直线l 的方程为x a ＋y b＝1. 因为直线l 过点P(2，1)，所以2a ＋1b ＝1.因为22a ·1b≤1，所以ab ≥8， 当且仅当2a ＝1b ，即a ＝4，b ＝2时取等号，所以S △OAB ＝12ab ≥4.此时，直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.如图，互相垂直的两条道路l 1，l 2相交于点O ，点P 与l 1，l 2的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B 两点．(1) 当∠BAO ＝45°时，试求OA 的长；(2) 若使△AOB 的面积最小，试求OA ，OB 的长．解析：以l 1为x 轴，l 2为y 轴，建立平面直角坐标系，则O(0，0)，P(3，2)． (1) 由∠BAO ＝45°知，OA ＝OB ，可设A(c ，0)， B(0，c)(c ＞0)， 直线l 的方程为x c ＋yc ＝1.因为直线l 过点P(3，2)，所以3c ＋2c ＝1，则c ＝5，即OA ＝5千米．(2) 设A(a ，0)，B(0，b)(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.因为直线l 过点P(3，2)，所以3a ＋2b ＝1，b ＝2a a －3>0，则a ＞3，从而S △ABO ＝12ab ＝12a·2a a －3＝a 2a －3.令a －3＝t ，t ＞0，则a 2＝(t ＋3)2＝t 2＋6t ＋9， 故有S △ABO ＝t 2＋6t ＋9t ＝t ＋9t＋6≥29t·t ＋6＝12，当且仅当t ＝3时，等号成立， 此时a ＝6，b ＝4，所以OA ＝6千米，OB ＝4千米．自测反馈1. 若两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标分别满足3x 1－5y 1＋6＝0和3x 2－5y 2＋6＝0，则经过这两点的直线的方程为__3x －5y ＋6＝0__．解析：因为两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标分别满足3x 1－5y 1＋6＝0和3x 2－5y 2＋6＝0，两点确定一条直线，所以经过这两点的直线方程为3x －5y ＋6＝0.2. 直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5，直线方程为__x ＝5或3x －4y ＋25＝0__．解析：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x ＝5，满足原点到直线的距离为5；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －10＝k(x －5)，即kx －y －5k ＋10＝0.由点到直线的距离公式可得|－5k ＋10|k 2＋1＝5，解得k ＝34，所以直线的方程为3x －4y ＋25＝0.综上，直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.3. 若直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y －2m ＝0在x 轴上的截距是3，则实数m 的值是__－6__． 解析：令y ＝0，所以(m ＋2)x ＝2m ，将x ＝3代入，得m ＝－6.4. 已知直线l 过点(3，4)，且在第一象限和两坐标轴围成的三角形的面积是24，则直线l 的截距式方程是__x 6＋y8＝1__． 解析：由题意，可设直线l 的截距式方程为x a ＋yb ＝1，则有⎩⎨⎧3a ＋4b ＝1，12ab ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝8，所以直线l 的截距式方程为1. 确定一条直线需要两个独立的条件，一是方向(斜率或倾斜角)；二是位置(一个定点)．2. 求直线的方程主要有两种方法：①直接法，根据已知条件，选择适当的形式，直接写出直线的方程；②待定系数法，先设出直线方程，根据已知条件求出待定的系数，再代入，求出直线方程．3. 你还有哪些体悟，写下来：。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第1课__集合及其基本运算(1) 含解析
____第1课__集合及其基本运算(1)____1. 理解元素和集合之间的关系；理解集合相等的含义．2. 会求集合的交集、并集、补集.1. 阅读：阅读必修1第5～10页．2. 解悟：①集合中元素的三个性质；②常见数集的符号；③集合相等的定义；④子集、真子集的定义；⑤空集的定义．3. 践习：在教材空白处，完成第7页练习第2、5题；第10页习题第6、7题.基础诊断1. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝__{0，1}__．2. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪∁U B ＝__{1，2，5}__．解析：由题意得∁U B ＝{1，5}， 所以A ∪∁U B ＝{1，2，5}．3. 已知全集U ＝{1，3，5，7，9}，A ＝{1，5，9}，B ＝{3，5，9}，则∁U (A ∪B)的子集个数为__2__．解析：由题意得A ∪B ＝{1，3，5，9}， 所以∁U (A ∪B)＝{7}， 所以∁U (A ∪B)的子集个数为2.4. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__2__． 解析：因为A ∪B ＝{0，1，2，3}， A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，所以a ＝2.范例导航考向❶ 利用数轴求集合的交集、并集、补集例1 设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|132≤2－x ≤4，B ＝{|2＋2m －3m 2<0}，m>0. (1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若A ⊇B ，求实数m 的取值范围． 解析：由题意得，集合A ＝{|－2≤≤5}，因为m>0，所以B ＝{|－3m<<m}． (1) 当m ＝2时，B ＝{|－6<<2}， 所以A ∩B ＝{|－2≤<2}．(2) A ＝{|－2≤≤5}，B ＝{|－3m<<m}，因为A ⊇B ，所以⎩⎨⎧－3m ≥－2，m ≤5，所以m ≤23，所以0<m ≤23.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.全集I ＝R ，集合A ＝{|y ＝2x －1}，B ＝{y |y ＝lg(2－2＋2)}，则A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞． 解析：由题意得，集合A ＝{|y ＝2x －1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≥12，集合B ＝{y |y ＝lg(2－2＋2)}＝{y |y ≥0}，所以∁I B ＝{y |y <0}，所以A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.考向❷ 对空集的分类讨论例2 已知集合A ＝{|－2≤≤7}，B ＝{|m ＋1<<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是{}m|m ≤4.已知集合A ＝{|2－2－3＝0}，B ＝{|m －1＝0}，若B ⊆A ，则m 的值为__0，－1，3__．解析：由题意得，集合A ＝{－1，3}．因为B ⊆A ，所以当B 为∅时，m ＝0；当B 不为∅时，m ＝－1或m ＝13.综上，m 的值为0，－1，13.例3 若集合A＝{|a2＋a＋1＝0}中只有一个元素，求实数a的值．解析：当a＝0时，不合题意，舍去；当a≠0时，由题意得，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.综上所述，a＝4.若集合A＝{|a2＋a＋1＝0}只有一个子集，求实数a的取值范围．解析：由题意得，集合A为空集．①若a＝0，符合题意；②若a≠0，则Δ＝a2－4a<0，解得0<a<4.综上，a的取值范围是[0，4)．自测反馈1. 设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，若A∩B＝{3}，则实数a的值为__1__．解析：因为A∩B＝{3}，所以a＋2＝3或a2＋4＝3，解得a＝1，此时B＝{3，5}，符合题意，故实数a的值为1.2. 已知全集U＝R，集合M＝{|－2≤－1≤2}和N＝{|＝2－1，＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有__2__个．解析：由图可知，阴影部分表示的是M∩N.由M＝{|－2≤－1≤2}得M＝{|－1≤≤3}．集合N表示的是正奇数集，所以M∩N＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．3. 下面四个命题中，正确命题的序号为__②__．①某班个子较高的同学构成集合A；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程2－2＋1＝0的解集是{1，1}；④∅与{∅}表示同一个集合．解析：①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．4. 已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，2，12，集合B ＝{y|y ＝2，∈A}，则A ∩B ＝__{1}__．解析：由题意得，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，4，14，所以A ∩B ＝{1}．1. 集合中元素的性质指确定性、无序性、互异性．2. 要特别注意空集，尤其是在分类讨论中不能遗漏．3. 你还有哪些体悟，写下;：。
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第43课 圆 的 方 程1. 掌握圆的标准方程和圆的一般方程，理解方程中各字母参数的实际意义.2. 能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程. 注重数形结合的思想方法，并灵活运用平面几何的知识解决有关圆的问题.3. 会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用.1. 阅读：必修2第107～110页.2. 解悟：①圆的标准方程和一般方程的结构有什么特征？其中各参数有怎样的含义？②方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆需要什么条件？③圆的标准方程和一般方程如何转化？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第111页练习第3、4、5题.基础诊断 1. 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 的值为 －1 ；若方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为 ⎝⎛⎭⎫－∞，14∪(1，＋∞) . 解析：若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2≠0，⎝⎛⎭⎫2a a ＋22－4aa ＋2>0，解得a ＝－1.若x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则4m 2－5m ＋1>0，解得m<14或m>1.2. 已知A ，B 两点的坐标分别为(0，4)，(4，6)，则以AB 为直径的圆的标准方程为 (x －2)2＋(y －5)2＝5 .解析：由题意得，圆心即AB 的中点(2，5)，半径为12AB ＝12（0－4）2＋（4－6）2＝5，故以AB 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －5)2＝5.3. 已知圆过点(1，2)，圆心在y 轴上，半径为1，则该圆的方程为 x 2＋(y －2)2＝1 Ｗ.解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4. 如果点P(1，1)在圆(x －a)2＋(y －a)2＝4的内部，那么实数a 解析：由题意得(1－a)2＋(1－a)2<4，解得1－2<a<1＋ 2.范例导航 考向❶ 确定圆的方程例1 分别求满足下列条件的圆的方程：(1) 已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上； (2) 经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)；(3) 已知圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋39＝0，直线l ：3x －4y ＋5＝0，求圆C 关于直线l 对称的圆的方程. 解析：(1) 设所求圆的圆心C(a ，b)，因为CA ＝CB ＝r ，点C 在直线3x －y －2＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）2＋（b －1）2＝（a ＋1）2＋（b －3）2，3a －b －2＝0，解得a ＝2，b ＝4，r ＝10.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10.(2) 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为该圆经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)，分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，故所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.(3) 由已知得，圆C 的圆心为C(－2，6)，半径为1. 设圆D 与圆C 关于直线l 对称，设D(a ，b)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧3·a －22－4·b ＋62＋5＝0，b －6a ＋2＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，故所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1.圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5). (1) 若圆的面积最小，求圆C 的方程；(2) 若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程. 解析：(1) 要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径， 圆心C(0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋4)2＝5. (2) 因为k AB ＝12，AB 的中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以圆心为(－1，－2)，则半径r ＝10，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 考向❷ 含参的圆的方程问题例2 已知圆C 的方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0.(1) 若圆C 上任意点A 关于直线l ：x ＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值； (2) 求圆心C 到直线ax ＋y －a 2＝0距离的取值范围. 解析：(1) 将圆C 的方程配方得(x －a)2＋(y ＋1)2＝a 2－a.由题意知圆心C(a ，－1)在直线l ：x ＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，所以a ＝7. (2) 由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.由方程得圆心C (a ，－1)到直线ax ＋y －a 2＝0的距离d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1.因为a ＞1或a ＜0，所以a 2＋1＞1，所以0＜d ＜1，所以所求距离的取值范围为(0，1).已知圆C 经过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1. (1) 求圆C 的方程；(2) 过原点O 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1交圆C 于E ，F 两点，l 2交圆C 于G ，H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值.解析：(1) 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则点C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. 因为圆C 经过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，－D 2＝2＋m 2，－E2－0－D 2－m＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝5，F ＝－6，m ＝－3，故圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.(2) 由(1)得圆心C ⎝⎛⎭⎫－12，－52，R ＝52，设圆心C 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2， 则d 21＋d 22＝OC 2＝132. 又因为⎝⎛⎭⎫EF 22＋d 21＝R 2，⎝⎛⎭⎫GH 22＋d 22＝R 2， 两式相加，得EF 2＋GH 2＝74≥2EF·GH ，当且仅当EF ＝GH ＝37时取等号， 所以S 四边形EGFH ＝12EF·GH ≤372，即四边形EGFH 面积最大为372.【备用题】 已知点(x ，y)在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上.求：(1) x ＋y 的最大值和最小值； (2) yx 的最大值和最小值；(3) x 2＋y 2的取值范围.答案：(1) x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. (2) y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(3) x 2＋y 2的取值范围是[14－213，14＋213].自测反馈1. 当m ＝ 2 时，方程mx 2＋my 2－4(m －1)x ＋4y ＝0表示的圆的面积最小.解析：因为mx 2＋my 2－4(m －1)x ＋4y ＝0，化为标准方程为⎣⎡⎦⎤x －2（m －1）m 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2m 2＝4（m －1）2＋4m 2，所以R 2＝4（m 2－2m ＋2）m 2＝4⎝⎛⎭⎫2m 2－2m ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1m －122＋2，当1m －12＝0，即m ＝2时，R 2取最小值，此时圆的面积最小.2. 已知点P(2，1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，P 关于直线x ＋y －1＝0对称的点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为 (0，1)，半径为 2 .解析：由题意知圆心C ⎝⎛⎭⎫－a 2，1在直线x ＋y －1＝0上，所以－a2＋1－1＝0，得a ＝0，所以圆心C(0，1)，半径r ＝（2－0）2＋（1－1）2＝2.3. 已知圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，下列结论正确的是 ①②③ Ｗ.(填序号)①当a 2＋b 2＝r 2时，圆C 必过原点；②当a ＝r 时，圆C 与y 轴相切；③当b ＝r 时，圆C 与x 轴相切；④当b<r 时，圆C 与x 轴相交.解析：①②③正确；当b<r 时，圆心到x 轴的距离为|b|，只有当|b|<r 时，圆与x 轴相交，而b<r 不能保证|b|<r ，故④错.4. 已知圆C ：x 2＋(y ＋4)2＝4，点A(－2，0)，B(2，0)，P(x ，y)是圆C 上的任意一点，则PA 2＋PB 2的取值范围为 [16，80] Ｗ.解析：PA 2＋PB 2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8.又因为P(x ，y)是圆C 上的任意一点，设x 2＋y 2＝r 2，则r ∈[OC －2，OC ＋2]，即r ∈[2，6]，所以x 2＋y 2∈[4，36]，所以PA 2＋PB 2∈[16，80].1. 熟练掌握圆的标准方程和圆的一般方程，熟练掌握由圆的标准方程和一般方程求圆心和半径.2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同样用代数方法(方程)研究圆时，确定一个圆需要三个独立的条件，反映在圆的标准方程中，有三个参数a ，b ，r ；反映在圆的一般方程中也有三个参数D ，E ，F.在求圆的方程时要根据具体条件选择适当的形式通过待定系数法解方程(组)得到.3. 你还有哪些体悟，写下来：。