2019-2020年高三年级第二次学情调查(数学)

2019-2020年高三年级第二次学情调查（数学）
一、填空题（每小题5分，共14题70分）
1．函数y ＝的定义域为▲。

2．已知集合，，则集合与集合的关系是▲。

3．若满足条件，则的最小值是▲。

4．已知sin（α＋）＝，则cos（－2α）的值为▲。

5．各项均为正数的等比数列｛a n｝中，a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= ▲。

6．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若＝（a－b,1）和＝（b－c,1）平行，且sinB＝，当△ABC的面积为时，则b等于▲。

7．在等差数列中，若，则该数列的前2011项的和为▲。

8．对于非空集合A．B，定义运算AB＝{x | x∈A∪B，且xA∩B}，已知两个开区间M＝（a，b），N＝（c，d），其中a．b．c．d满足a＋b＜c＋d，ab＝cd＜0，则MN等于
▲。

9．给出命题：已知、为实数，若，则．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是▲。

10．在，点D是边BC上的动点，，当取最大值时，的值为▲。

11．已知函数f （x）＝－x2－x4－x6 ，x1 ，x2 ，x3∈R且x1＋x2 ＜0，x2＋x3 ＜0，x3＋x1＜0，则f′（x1）＋f′（x2）＋f′（x3）的值是（f′（x）是f（x）的导数）▲0。

（填：
“，不确定”）
12．若函数f（x）对于任意的x都有f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x）且f（1）＝lg3－lg2，f （2）＝lg3＋lg5，则f（xx）＝▲。

13．（如右图）已知：A（－2，0），Ｂ（2，0），C（0，2），E（－1，0），F（1，0），一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点）
FD斜率的范围为▲。

13题图14题图14．如图，、分别是射线上的两点，给出下列向量：
①； ②； ③； ④； ⑤.
这些向量中以为起点，终点在阴影区域内的是 ▲ （写出所有符合条件的
向量的序号）。

二、解答题（共90分）
15．（14分）已知函数f (x )=3sin(2－π6)+2sin 2(－π12) (R) （1）求函数f (x )的最小正周期 ; （2）求使函数f (x )取得最大值的的集合.
16．（14分）已知函数
（1）判断并证明在上的单调性；
（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，
求的值，并求出不动点； （3）若在上恒成立 , 求的取值范围．
17．（15分）已知三次曲线C ：f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象关于点A （1，0）中心对称。

（1）求常数b 的值及c 与d 的关系；
（2）当x ＞1时，f （x ）＞0恒成立，求c 的取值范围。

18．（15分）如图，从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t，问：x取何值时，长方体的容积V有最大值？
19．（16分）已知m∈R，直线l：和圆C：。

(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧? 为什么?
x
x
x
x
x x
x
x
20．（16分）设｛a n｝是由正数组成的等差数列，S n是其前n项和
（1）若S n＝20，S2n＝40，求S3n的值；
（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p＋q＝2m，证明：不等式S p S q＜S成立；
（3）是否存在常数k和等差数列｛a n｝，使ka－1＝S2n－S n+1恒成立（n∈N*），若存在，试求出常数k和数列｛a n｝的通项公式；若不存在，请说明理由。

建湖县第二中学xx—2011届高三年级第二次学情调查
数学试题
命题老师：郑介宏审核：高三数学备课组
考试时间：xx年12月27日上午试卷满分：150分
一、填空题（每小题5分，共14题70分）
1．函数y＝的定义域为。

[1，2）
2．已知集合，，则集合与集合的关系是。

MN
3．若满足条件，则的最小值是－3。

4．已知sin（α＋）＝，则cos（－2α）的值为。

－
5．各项均为正数的等比数列｛a n｝中，a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= 。

6．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若＝（a－b,1）和＝（b－c,1）平行，且sinB＝，当△ABC的面积为时，则b等于。

2
7．在等差数列中，若，则该数列的前2011项的和为。

2011
8．对于非空集合A．B，定义运算AB＝{x | x∈A∪B，且xA∩B}，已知两个开区间M＝（a，b），
N ＝（c ，d ），其中a ．b ．c ．d 满足a ＋b ＜c ＋d ，ab ＝cd ＜0，则MN 等于 。

（a ，
c ）∪（b ，
d ）
9．给出命题：已知、为实数，若，则．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 。

1 10．在，点D 是边BC 上的动点，，当取最大值时，的值为 。

11．已知函数f （x ）＝－x 2－x 4－x 6 ，x 1 ，x 2 ，x 3∈R 且x 1＋x 2 ＜ 0，x 2＋x 3 ＜ 0，x 3＋x 1＜0，
则f ′（x 1）＋f ′（x 2）＋f ′（x 3）的值是（f ′（x ）是f （x ）的导数） 0（填：“，不确定”）。

一定大于零
12．若函数f （x ）对于任意的x 都有f （x ＋2）＝f （x ＋1）－f （x ）且f （1）＝lg3－lg2，
f （2）＝lg3＋lg5，则f （xx ）＝。

－1
13．已知：A （－2，0），Ｂ（2，0），C （0，2），E （－1，0），F （1，0），一束光线从F 点出
发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为 。

（4，＋∞）
14．如图，、分别是射线上的两点，给出下列向量： ①； ②； ③； ④； ⑤.
这些向量中以为起点，终点在阴影区域内的是 ▲ （写出所有符合条件的向量的序
号）。

①③ 二、解答题（共90分）
15．（14分）已知函数f (x )=3sin(2－π6)+2sin 2(－π12) (R) （1）求函数f (x )的最小正周期 ; （2）求使函数f (x )取得最大值的的集合. 16解：(1) f ()=3sin(2－π6)+1－cos2(－π12) = 2[32sin2(－π12)－12 cos2(－π
12)]+1 =2sin[2(－π12)－π
6]+1
= 2sin(2x －π
3) +1 …………………………………………5分
∴ T =2π
2 =π …………………………………………7分
(2)当f (x )取最大值时， sin(2x －π3)=1，有 2x －π3 =2k π+π
2 ……………12分
即=k π+ 5π
12 (kZ ) …………………………………………13分 ∴所求的集合为{x ∈R |x = k π+ 5π
12 ， (kZ )}．………………………14分
16．（14分）已知函数
（1）判断并证明在上的单调性；
（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，
求的值，并求出不动点； （3）若在上恒成立 , 求的取值范围． 16解：（1）
对任意的------------------------------------------- 1分
2
1212121)1
1()11()()(x x x x x a x a x f x f -=---=--------------------------------- 3分
∵ ∴
∴，函数在上单调递增。

-----------------4分
（2）解：令， ------------------------------------5分
令（负值舍去）--------------------------------------7分
将代入得
22011
0210122
x x x x x -+=⇒-+=∴=---------9分 （3）∵ ∴ ----------------------------------------12分
∵ ∴（等号成立当） --------------------13分 ∴
的取值范围是
------------------------------------------14分
17．（15分）已知三次曲线C ：f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象关于点A （1，0）中心对称。

（1）求常数b 的值及c 与d 的关系；
（2）当x ＞1时，f （x ） ＞0恒成立，求c 的取值范围。

17解：．（1）由图象关于A （1，0）对称得f （x ）＋f （2－x ）＝0恒成立…………………………5分
即：（2b＋b）x2－4（b＋3）x＋2d＋2c＋4b＋8＝0恒成立
∴
∴………………………………………………………………………7分
（2）f（x）＞0得
x3－3x2＋cx＋2－c＞0恒成立
x3－3x2＋2＋（x－1）c＞0
∴x2－2x－2＋c＞0恒成立
而x＞1时x2－2x－2＋c＞－3＋c≥0
∴c≥3………………………………………………………………………………14分
18．（15分）（12分）如图，从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t，问：x取何值时，长方体的容积V有最大值？
18解：长方体的体积V＝4x（x－a）2，（o＜x＜a）由≤ t 得0＜x≤
而V′＝12（x－）（x－a）……………………………………………………………6分
∴V在（0，）增，在（，a）递减……………………………………………7分
∴若≥即t≥，当x＝时，V取最大值a3……………………………………9分
若＜即0＜t＜，当x＝时，
V取最大值……………………………………………………………15分
19．（16分）已知m∈R，直线l：和圆C：。

(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧? 为什么?
19解：（1）直线的方程可化为，直线的斜率，………………4分
因为，所以，当且仅当时等号成立．
所以，斜率的取值范围是．……………………………………………………8分
（2）不能．…………………………………………………………………………………9分由（Ⅰ）知的方程为，其中．……………………………………10分
圆的圆心为，半径．…………………………………………………11分
圆心到直线的距离．由，得，即．
从而可知，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于．…………13分所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧．…………………………………………16分x
x x
x
x x
x
x
20．（16分）设｛a n ｝是由正数组成的等差数列，S n 是其前n 项和 （1）若S n ＝20，S 2n ＝40，求S 3n 的值；
（2）若互不相等正整数p ，q ，m ，使得p ＋q ＝2m ，证明：不等式S p S q ＜S 成立；
（3）是否存在常数k 和等差数列｛a n ｝，使ka －1＝S 2n －S n+1恒成立（n ∈N *），若存在，试
求出常数k 和数列｛a n ｝的通项公式；若不存在，请说明理由。

20解：（1）在等差数列｛a n ｝中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列，
∴S n ＋（S 3n －S 2n ）＝2（S 2n －S n ）
∴S 3n ＝3 S 2n －3 S n ＝60…………………………………………………………………5分 （2）S p S q ＝pq （a 1＋a p ）（a 1＋a q ）＝pq ［a ＋a 1（a p ＋a q ）＋a p a q ］
＝pq （a ＋2a 1a m ＋a p a q ）＜（）2［a ＋2a 1a m ＋（）2］ ＝m 2（a ＋2a 1a m ＋a ）＝［m （a 1+a m ）］2
＝S………………………………………………………………………10分
（3）设a n ＝pn ＋q （p ，q 为常数），则k a －1＝kp 2n 2＋2kpqn ＋kq 2－1
S n+1＝p （n ＋1）2＋（n ＋1） S 2n ＝2pn 2＋（p ＋2q ）n
∴S 2n －S n+1＝pn 2＋n －（p ＋q ），…………………………………………………………12分 依题意有kp 2n 2＋2kpqn ＋kq 2－1＝ pn 2＋n －（p ＋q ）对一切正整数n 成立，
∴⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧+-=--==③q p kq ②p q kpq ①p kp )(1,222,23
22 由①得，p ＝0或kp ＝； 若p ＝0代入②有q ＝0，而p ＝q ＝0不满足③，
∴p≠0由kp＝代入②，
∴3q＝，q＝－代入③得，－1＝－（p－），将kp＝代入得，∴ p＝，
解得q＝－，k＝………………………………………………………………………………15分
故存在常数k＝及等差数列a n＝n－使其满足题意……………………………………16分。