导数计算ppt

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公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
〈2〉导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
练习：求函数 y＝－sin2x(1－2sin24x)的导数．
y′＝－
1
cosx.
2
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学习目标：
• 1.了解常见函数的导数公式的推导过程。 • 2．掌握常见函数的导数公式及导数运算法
则。 • 3．熟练的应用导数公式及运算法则解决一
些简单的问题。 • 【本节重点】常见函数的导数公式及导数
运算法则． • 【本节难点】公式的推导．
复习
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公式2.若f (x) xn (n Q),则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) co,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex;
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一、合作探究——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 : y f (x) C, y f (x x) f (x) C C, y 0, x f (x) C lim y 0. x0 x
公式1: C 0 (C为 常 数 ) .
(3)y′＝1x＋x22＋x33′＝(x－1＋2·x－2＋3·x－3)′＝－x－2
－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
练习：求下列函数的导数：
(1)y=x³-2x+3
(2)y＝x2－2＋x3－3
(1)y′ =3x²－2 (2)y′ =4x＋9x²
(3)y＝(2x2＋3)(3x－2) (3) y′ =18x²－8x＋9
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lim
x0
f
( x0
x) x
f (x0 )
2.求函数的导数的步骤:
(1)求 函 数 的 增 量 y f ( x x) f ( x);
(2)求平均变化率 : y f (x x) f (x) ;
x
x
(3)求极限，得导函数y f ( x) lim y . x0 x
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就 是 曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
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法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第 一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第 一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
请同学们求下列函数的导数:
2) y f (x) x, y ' 1 x0
3) y f (x) x2, y ' 2x
4) y
f
(x)
1, x
y
'
1 x2
x2
公式2: (xn ) nxn1(n Q)
二、新课讲解：
〈1〉基本初等函数的导数公式：
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
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[例 2] 求函数 y＝sin4x4＋cos44x的导数．
[解析] ∵y＝sin44x＋cos44x ＝(sin24x＋cos24x)2－2sin24xcos24x ＝1－12sin22x＝1－12·1－2cosx＝34＋14cosx， ∴y′＝34＋14cosx′＝－14sinx.
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
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f g
(x) (x)
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
结论：
1）常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，
即： cf x' cf 'x
2）n个函数和（差）的导数等于n个函数导数的和 （差），即：
f1(x) f2(x) fn(x)' f1 '(x) f2 '(x) fn '(x)
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三、典型例题： • [例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)(x－1)； (2)y＝x2sinx；
(3)y＝1x＋x22＋x33；
解： (1)方法一：y′＝(x+1) ′(x-1)+(x+1)(x-1) ′=(x-1)+(x+1)=2x 方法二：y＝x2-1 y′＝(x2-1) ′=(x2) ′-1′=2x (2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx ＋x2cosx.
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