2020届高中数学分册同步讲义(必修1) 第1章 1.3.2 第2课时 奇偶性的应用原卷版

第2课时 奇偶性的应用
学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值、解不等式.
知识点一 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a ，b ]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b ，－a ]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x ).
特别提醒：若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0.
知识点二 奇偶性与单调性
若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性.
1.奇函数f (x )＝1
x ，当x >0时的解析式与x <0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)
上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同.( × ) 2.对于偶函数f (x )，恒有f (x )＝f (|x |).( √ )
3.若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.( √ )
题型一 利用函数的奇偶性求解析式
命题角度1 求对称区间上的解析式
例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式.
跟踪训练1已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，求f(x)的解析式.
命题角度2构造方程组求解析式
例2设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝1
x－1，求函数f(x)，g(x)的解析式.
跟踪训练2设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.
题型二利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()
A.f(π)>f(－3)>f(－2)
B.f(π)>f(－2)>f(－3)
C.f(π)<f(－3)<f(－2)
D.f(π)<f(－2)<f(－3)
跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为() A.f(1)>f(－10) B.f(1)<f(－10)
C.f(1)＝f(－10)
D.f(1)和f(－10)关系不定
(2)已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(－4)<f(－2)，则下列不等式一定成立的是()
A.f(－1)<f(3)
B.f(2)<f(3)
C.f(－3)<f(5)
D.f(0)>f(1)
题型三利用函数的奇偶性与单调性解不等式
例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数.若f(－3)＝0，则f(x)
x<0的解集为________.
(2)已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在区间[0,1)上为增函数.若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围.
跟踪训练4设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围.
函数奇偶性与单调性的综合应用
典例已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间；
(3)求当f(x)＝1时的x值.
1.f(x)＝x2＋|x|()
A.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C.不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
2.已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x －1，则当x <0时，f (x )等于( ) A.x ＋1 B.x －1 C.－x －1 D.－x ＋1
3.定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )<f (b )，则一定可得( ) A.a <b B.a >b
C.|a |<|b |
D.0≤a <b 或a >b ≥0
4.如果奇函数f (x )在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f (x )在区间[－5，－1]上是( ) A.增函数且最小值为3 B.增函数且最大值为3 C.减函数且最小值为－3 D.减函数且最大值为－3
5.已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.
一、选择题
1.设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ，x ≥0，g (x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( )
A.6
B.－6
C.2
D.－2
2.已知奇函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x )<f (1)的x 的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(0,1) D.[－1,1)
3.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
4.若函数f (x )是R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( ) A.f (－3)>f (0)>f (1) B.f (－3)>f (1)>f (0) C.f (1)>f (0)>f (－3) D.f (1)>f (－3)>f (0)
5.已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( ) A.a ≤－2 B.a ≥2 C.a ≤－2或a ≥2 D.－2≤a ≤2
6.已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )
A.4
B.2
C.1
D.0
7.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )
x ＜0的解集为( )
A.(－1,0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(0,1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－1,0)∪(0,1)
8.设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( ) A.f (－x 1)>f (－x 2) B.f (－x 1)＝f (－x 2) C.f (－x 1)<f (－x 2)
D.f (－x 1)与f (－x 2)的大小不确定
二、填空题
9.若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的单调递减区间是________.
10.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫
13的x 的取值范围是________.
11.设偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )＋f (－x )]<0的解集为________.
三、解答题
12.已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3. (1)试求f (x )在R 上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
13.已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝17
4.
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1
2上的单调性并证明.
14.已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.
15.已知函数f (x )＝ax ＋1
x 2(x ≠0，a ∈R ).
(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f (x )在(2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围.。